對集合一點新認識

【摘要】： 空集（Ø）是一類特殊集合，在集合研究中處于基礎(chǔ)地位。本文運用邏輯演繹方法，從理論上通過對空集的重新認識闡述，敘述了空集的現(xiàn)行概念、與非空集（Ø）關(guān)系及悖論性；初步定義“嵌套集”的相關(guān)概念及推廣。

【關(guān)鍵詞】： 空集；悖論性；嵌套性；循環(huán)節(jié)

一、對空集（Ø）的認識

1．空集（Ø）的現(xiàn)有定義

不含任何元素的集合稱為空集，記作Ø。

2.空集（Ø）與非空集（Ø）之間的關(guān)系

現(xiàn)行教材的規(guī)定：

空集（Ø）是一切集合的子集；空集（Ø）是一切非空集（Ø）的真子集。

空集（Ø）與非空集（Ø）之間定義了2種關(guān)系，即“子集”，“ 真子集”關(guān)系；或Ø C Ø Ø C Ø

3．悖論性，“空集的二重性”

若給定空集（Ø）與集合A={1，2，Ø}，那么存在如下命題：

（I） Ø ∈A ，理由：集合的定義；

（II）Ø C A 或Ø C A，理由：空集的性質(zhì)（規(guī)定）。

前者反映集合與元素之間關(guān)系的唯一性；要么屬于，要么不屬于；后者反映集合與集合之間關(guān)系的明確性，定義出“包含”、“不包含”、“真包含”等意義。

由此說明空集（Ø）的二元性：在同一條件下，既是集合又是元素，從而說明集合、元素概念的矛盾性（并不完備）。

二、對非空集（Ø）的認識

給定2個集合A={1，2}，B={1，2，A}。試確定二者之間的關(guān)系。顯然，從集合與元素之間的關(guān)系出發(fā)，有A ∈ B；若從集合與集合之間的關(guān)系考慮，A與B之間滿足“真包含”關(guān)系，即B C A。前者肯定了集合與元素之間的關(guān)系，后者肯定了集合與集合之間的關(guān)系。那么在同一條件下集A與集B究竟應(yīng)該明確如何關(guān)系呢？目前中學(xué)教材尚無定論。當問題出現(xiàn)時，老師和學(xué)生就不好把握。

三、“屬于”“ ∈ ”，“子集”“ C ”，“真子集”“ C ”在同一條件下的地位分析

[例證]：給定集合A、B，

A={1，2}

B={1，2，A}

從現(xiàn)有的教材我們可以看出，集合與元素之間的從屬關(guān)系在前，集合與集合之間的（真）子集關(guān)系在后。這2種關(guān)系是相對獨立的。

討論：

1O.如果肯定了A ∈ B,那么就否定了A與B的子集關(guān)系；

2O.如果肯定了A C B,則否定了A ∈ B，也就是不能肯定A與B的從屬關(guān)系，進而否定了集合的定義。

分析：

由于集合與元素之間的從屬關(guān)系在前，是鋪墊、是基石，因而先要作出肯定。為了避開或解決它們之間的矛盾，排除以子集為元素的情況。我們規(guī)定A C B<=>任意a ∈ A,則a ∈ B, 且A ；T3式,循環(huán)節(jié) 。然后建立代數(shù)方程求解。

作者：老**職業(yè)技術(shù)學(xué)校 陳中林