第一篇：好評(píng)簡潔的實(shí)習(xí)證明

實(shí)習(xí)證明

茲有**學(xué)校**同學(xué)于**年**月**日至**年**月**日在__________ 公司__________部門實(shí)習(xí)。期間，工作積極，成績突出。

該同學(xué)不斷加強(qiáng)專業(yè)知識(shí)和理論知識(shí)的學(xué)習(xí)，工作中，嚴(yán)格要求自己，關(guān)心集體，較好地完成了各項(xiàng)工作，現(xiàn)已結(jié)束。

特此證明。

實(shí)習(xí)單位

第二篇：費(fèi)馬點(diǎn)簡潔證明

費(fèi)馬點(diǎn)(fermat point)

一、前言

費(fèi)馬(pierre de fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務(wù)員，他利用閒暇的時(shí)間研究數(shù)學(xué)，他從未發(fā)表他的研究發(fā)現(xiàn)，但是他幾乎與同時(shí)代的所有歐洲的大數(shù)學(xué)家保持通信。曾經(jīng)，費(fèi)馬是歐洲所有數(shù)學(xué)研究進(jìn)展之交換中心。有一天，他要回答一個(gè)收到的問題，『要找出三角形裡最小點(diǎn)的位置，這個(gè)最小點(diǎn)是指這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離總和為最短』。

「在平面上找一個(gè)點(diǎn)，使此點(diǎn)到已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和為最小」，這個(gè)點(diǎn)就是所謂的費(fèi)馬點(diǎn)(fermat point)，這個(gè)問題可以應(yīng)用在，例如有三個(gè)城市，然後要蓋一個(gè)交通中心到這三個(gè)城市的距離最短這一類的問題。

二、找費(fèi)馬點(diǎn)

在平面上一三角形abc，試找出內(nèi)部一點(diǎn)p，使得pa?pb?pc為最小。首先，讓我們先找到p點(diǎn)的性質(zhì)，再來研究怎麼做出p點(diǎn)。

p點(diǎn)有什麼性質(zhì)呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學(xué)裡，我們學(xué)過三角形的內(nèi)心、外心、重心以及垂心，p點(diǎn)和這些心之間有關(guān)聯(lián)嗎？還是和有些線段長、角度大小有關(guān)係呢？

?apb、?bpc和?cpa很接近，這三個(gè)角度有何關(guān)聯(lián)？

【解法1】

1如右圖，以b點(diǎn)為中心，將?apb旋轉(zhuǎn)60?到?c"bp" ○

因?yàn)樾�轉(zhuǎn)60?，且pb?p"b，所以?p"pb為一個(gè)正三角形?pb?p"p

因此，pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc

由此可知當(dāng)c"、p"、p、c四點(diǎn)共線時(shí)，pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc為最小

2若c"?p"?p共線時(shí)，則 ○

???bp"p?60???c"p"b??apb?120

同理，若p"?p?c共線時(shí)，則??bpp"?60???bpc?120?

所以p點(diǎn)為滿足?apb??bpc??cpa?120?的點(diǎn)

。

但是，該用什麼方法找出p點(diǎn)呢？

a"

以?abc三邊為邊，分別向外作正三角形abc"、a"bc、ab"c

連接aa"、bb"、cc"

aa"、bb"、cc"三線共點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為p，即為所求

【證明1】

(在解法1曾提到若pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc，即c"p"pc四點(diǎn)共線時(shí)，小值，所以p要在cc"上。)

a"

??abb"??ac"c??1??2

則?dpb~?dac"，得?3??4?60? 在pc"上取點(diǎn)p"，使得bp?bp"??bpp"為正三角形

則?abp??c"bp"，得ap?c"p"

所以pa?pb?pc?p"c"?p"p?pc?c"c

【證明2】 pa?pb?pc?c"c有最

所以?cpa"?60? a" ?apb??bpc??cpa?120?，又a"bpc四點(diǎn)共圓(??bpc??ba"c?180?)

故?apc??cpa"?180?，因此p在aa"上 同理可證p在bb"、cc"上，

故p為aa"、bb"、cc"三線交點(diǎn)

三、畫出費(fèi)馬點(diǎn)

經(jīng)過上面的討論，可以知道，在平面上?abc，想找出一點(diǎn)p，使pa?pb?pc為最小，方法為：分別以ab、bc為邊長做出正三角形?abc"及?a"bc，連接aa"、cc"，兩線交於一點(diǎn)p，p點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。

使用上述方法需要注意到一點(diǎn)，?abc的每一個(gè)內(nèi)角均小於120?，如果其中有一內(nèi)角大於120?，那麼p點(diǎn)就是?abc最大內(nèi)角的頂點(diǎn)。

第三篇：201*簡潔的實(shí)習(xí)心得體會(huì)

201*簡潔的實(shí)習(xí)心得體會(huì)

心得體會(huì)就是一種讀書、實(shí)踐后所寫的感受文字。讀書心得同學(xué)習(xí)禮記相近;實(shí)踐體會(huì)同經(jīng)驗(yàn)總結(jié)相類。 學(xué)習(xí)的方法每個(gè)人都有，并且每個(gè)人都需要認(rèn)真地去考慮和研究它。心得體會(huì)這種學(xué)習(xí)方法對(duì)于一個(gè)人來說也許是優(yōu)秀的，但沒有被推廣普及的必要。因?yàn)閷W(xué)習(xí)的方法因人而異，方法的奏效是它與這個(gè)人相適應(yīng)的結(jié)果。方法，也是個(gè)性化的。借鑒他人的學(xué)習(xí)方法并不是不可以，但找尋適用于自己的學(xué)習(xí)方法才是最重要的。以下是由

光陰似箭，轉(zhuǎn)眼間，時(shí)間如白駒過隙般迅速地從手中溜走。在這一個(gè)月的實(shí)習(xí)當(dāng)中，我領(lǐng)悟到了很多的東西;同時(shí)對(duì)我的感觸也很深;給我以后的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

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實(shí)習(xí)對(duì)我們每個(gè)人都是非常重要的，通過實(shí)踐和我們學(xué)的理論結(jié)合，就變得容易懂了.實(shí)習(xí)雖然枯燥,而我卻多學(xué)了一些東西。在實(shí)習(xí)中，老師告訴我要想學(xué)好這一樣?xùn)|西，必須具有較強(qiáng)的實(shí)際操作技能，因此要求我們要勤于動(dòng)手，熟練操作，切實(shí)掌握實(shí)際操作技能。同時(shí)還要求勤于思考，善于將學(xué)到的內(nèi)容與實(shí)際結(jié)合，并不斷歸納、總結(jié)，逐步培養(yǎng)觸類旁通的能力。這樣才能成為一位合格的人才，才能把這一樣?xùn)|西學(xué)好。

這次實(shí)習(xí)，我學(xué)到了很多的知識(shí),認(rèn)識(shí)很多的朋友與老師,同時(shí)也參加了一些活動(dòng)。從同學(xué)們的身上，我學(xué)到了樂于助人及充滿朝氣;從老師的身上，我學(xué)到了兢兢業(yè)業(yè)，辦事認(rèn)真;經(jīng)過活動(dòng)，我明白了自己應(yīng)該要大膽、不要害羞，要樂于參加活動(dòng)等等。

總之，在這將近一個(gè)月里，我經(jīng)歷了許多，也學(xué)到了不少!最后，我要謝謝老師和同學(xué)們，謝謝他們對(duì)我的支持與幫助，是他們讓我懂得了更多!

第四篇：對(duì)一道國外數(shù)學(xué)競賽試題的簡潔證明與命題的推廣

對(duì)一道國外數(shù)學(xué)競賽試題的簡潔證明與命題的推廣

深圳市蛇口中學(xué)王遠(yuǎn)征（518067）

(敬請(qǐng)期待公文素材庫更好文章：www.hmlawpc.com)

試題：已知任意實(shí)數(shù)x,y滿足0?

求證：

11?x

2

x?1,0?y?1，

?

11?y

2

?

21?xy

（第19屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

證明：因?yàn)??x?1,0?y?1，所以0?x2?1,0?y2?1， 把

11?x

2

,

11?y

2

分別看作是首項(xiàng)為1，公比分別是x2,y2的兩個(gè)等比數(shù)列的和。

于是逆用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式與基本不等式定理（若

a,b?r,則a?b

2

2

?2ab）得：

2

4

6

2n

11?x

2

?

11?y

2

22

?1?x?x?x???x

4

?

???1?y?y?y???y

2n

??

?y

2462n

??

?

?2?x?y

????x

2

2

?y

3

4

???x

3

6

?y

6

?????x

n

n

2n

???

?2?2xy?2xy?2xy???2xy???

21?xy

對(duì)該命題進(jìn)行推廣可得到一批和諧優(yōu)美的不等式。 由二元推廣到多元，由二次推廣到高次得如下命題： 命題1。如果0?ai?1，i?1,2,3,?,n,n,m?n，那么：

n

?1?a

i?1

mi

?1?

n

n

mni

?a

i?1

n

證明：因?yàn)??ai?1，所以0?a

n

mi

?1，0?

?a

i?1

i

?1

?1?a

i?1

mi

?1?a1?a1

?

m2m

?a1

3m

???1?a2?a2

m

??

m2m

?a2

3m

?????1?an?an

??

m2m

?an

3m

??

?

?n?a1?a2???an

n

m

n

?

mm

???a

2mn

2m1

?a2

2m

???an

2m

???a

3m1

?a2

3m

???an

3m

???

?n?n?(ai)n?n?(ai)

i?1

i?1

??

?1?

n

n

mni

?a

i?1

特別地，當(dāng)m?n時(shí)，有：

命題2。如果0?ai?1，i?1,2,3,?,n,n,m?n，那么：

n

?1?a

i?1

ni

?1?

n

n

i

?a

i?1

對(duì)偶地，發(fā)現(xiàn)還有如下幾個(gè)正確的命題。

命題3。如果任意實(shí)數(shù)x,y滿足0?x?1,0?y?1，

11?x

那么：?

11?y

?

21?xy

（1）

證明：事實(shí)上不等式（1）等價(jià)于

21?xy

?

2?x?y

22

1?xy?x?y

?21?x?y?xy

?

2222

???1?xy??x

?y?2?0

?

??x?y??1?xy??0此不等式顯然成立。故不等式（1）成立。

根據(jù)如下定理：

如果正值函數(shù)f?x?在

1n

n

?

r+上有意義，且對(duì)任意的xi?r，那么：

?

i?1

?

f?xi??f???

n

?

i?1

?xi? ??

可得命題1的對(duì)偶命題：

n

命題4。如果0?ai?1，i?1,2,3,?,n,n,m?n，那么：?

i?1

11?a

mi

?1?

n

n

mni

?a

i?1

sunday, april 27, 201*

第五篇：淘寶好評(píng)

寶貝質(zhì)量不錯(cuò)，嘿嘿最近太忙了，都忘記了，不好意思 產(chǎn)品本身還是很不錯(cuò)的，就是韻達(dá)快遞實(shí)在讓人無語，建議老板換一個(gè)快遞 還能說什么呢～～有生之年能碰到老板這個(gè)店，夠幸福的．．

寶貝質(zhì)量還不錯(cuò)，貨發(fā)到的也很及時(shí)。

老熟客了,東西還是一如既往的好,貨真價(jià)實(shí)，很劃算

第一次發(fā)錯(cuò)貨了，不過能夠馬上換,值得表揚(yáng)！ 哈哈，很喜歡，以后還會(huì)光顧的

真的不好意思，由于我的粗心大意給老板帶來了不少麻煩，非常感謝了

第二次買了 貨不錯(cuò)啊老板人很好 昨天在公司拿到了，回家后試了試，基本和想象的一樣。 雖然還沒有到手上，不過爸爸說不錯(cuò) 最近太忙了，確認(rèn)晚了，東西是很好的，呵呵。 很棒的衣服，很好的服務(wù)，謝謝

發(fā)貨很快，顏色、質(zhì)地很好，就是有些薄。總體來說不錯(cuò)，繼續(xù)支持！

買了很多東西 都非常滿意 很好的賣家 我會(huì)常來的 折扣卡可以升到頂級(jí)了吧

不錯(cuò) 面料很薄 春夏交替季節(jié)穿合適

物流公司的態(tài)度比較差,建議換一家！不過店長人還不錯(cuò)！ 真不錯(cuò)，老公喜歡就是好！

剛好穿的褲子，很好!

很亮的粉紅色，質(zhì)量做工更是沒的說�；仡^看看有個(gè)可愛的買家說買了件校服，哈哈……估計(jì)他買了白色的。 真是很值得哦.... 什么都很好..

衣服很舒服,寄得很快,2天就到了.

東西還ok，但是有點(diǎn)臟了，希望下次發(fā)貨的時(shí)候多注意一下 貨物還算可以，樣式不錯(cuò)，很合身，只是一些細(xì)節(jié)上還很一般，沒有想像中那么好。 老客戶了啊，希望以后有更多好東東 還好選大一個(gè)碼，超修身，很棒！ 寶貝不錯(cuò)，朋友很喜歡，謝謝 實(shí)物的色和圖片稍有差異，但還是挺滿意的。 物有所值

店已經(jīng)收藏了很久，不過是第一次下手。應(yīng)該說還不錯(cuò)。

衣服很好 面料很舒服,下次記得送點(diǎn)小禮品哦。

賣家人很好 這個(gè)還沒用 看包裝應(yīng)該不錯(cuò)

褲子太棒咯，很喜歡這顏色，另外謝謝long送的襪子l

還不錯(cuò).質(zhì)量挺好的.速度也快.

沒想到這么快就到了，尺寸正好，老板服務(wù)熱心.

效果很不錯(cuò)，很好

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