第一篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、

利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個角等于，由于利用代數(shù)的方法，只要能計算出待證直角的對邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、

利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、

利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

4、

圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

5、

利用菱形的對角線互相垂直證明

菱形的對角線互相垂直。

6、

利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線垂直.

贊同

35

|評論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，(更多精彩內(nèi)容請訪問首頁www.hmlawpc.com)那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

。

第二篇：證明垂直習題

線面、面面垂直的判定及性質(zhì)

一、選擇題

1、已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線． ②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線． ③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面．

④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．

其中正確的個數(shù)是（） a．３ｂ．２ｃ．１

ｄ．０

2、已知直線l?平面?，有以下幾個判斷：①若m?l，則m//?；②若m??，則m//l；

③若m//?，則m?l；④若m//l，則m??．上述判斷中正確的是（）

ａ．①②③ｂ．②③④ｃ．①③④ｄ．①②④

3、直線a不垂直于平面?，則?內(nèi)與a垂直的直線有（）

ａ．0條 ｂ．1條ｃ．無數(shù)條ｄ．?內(nèi)所有直線

4、在空間四邊形abcd中，若ab?bc，ad?cd，e為對角線ac的中點，下列判斷正確的是（）

ａ．平面abd?平面bdcｂ．平面abc?平面abd ｃ．平面abc?平面adc

ｄ．平面abc?平面bed

二、填空題

1、已知直線a，b和平面?，且a?b，a??，則b與?的位置關系是．

2、?，?是兩個不同的平面，m，n是平面?及?之外的兩條不同的直線，給出四個論斷：

①m?n；②???；③n??；④m??．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作

為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題．

3、設o為平行四邊形abcd對角線的交點，p為平面ac外一點且有pa?pc，pb?pd，則po與平面abcd的關系是．

第 1 頁（共 6 頁三、解答題

1、如圖所示，abcd為正方形，sa?平面abcd，過a且垂直于sc的平面分別交sb，sc，sd于e，f，g．

求證：ae?sb，ag?sd．

s

2、如圖所示，四棱錐p?abcd的底面是正方形，pa?底面abcd，ae?pd，ef//cd，am?ef．

求證：mf⊥ab，mf⊥pc

p

a

）第 1 頁（共 6 頁）

3、如圖，直角△abc所在平面外一點s，且sa?sb?sc，點d為斜邊ac的中點． （1）求證：sd?平面abc；

（2）若ab?bc，求證：bd?面sac．

4、如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，ef⊥a1d，ef⊥ac，求證：ef∥bd1.

c1

ac

a

5、已知：如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線段ab?4，ac，

bd分別在平面?和平面?內(nèi)，且ac?ab，db?ab，ac?3，bd?12，求cd長．

6、如圖，在四棱錐p?abcd中平面pad⊥平面abcd，ab?ad，?dab?60?，e，f分別是ap,ab的中點，

求證：（1）ef∥平面pcd，（2）平面bef⊥平面pad

7、如圖，四棱錐p?abcd中，底面abcd是矩形，m，n分別為pa，bc的中點，

pd?平面abcd，pd?ab?

2,cd?1

（1）求證：mn∥平面pcd （2）求證：mc?bd

8、如圖，已知ab?面acd，de?面acd，ac?ad，de?2ab，f為cd中點 （1）求證：af∥面bce （2）求證：面bce?

面cde

9、如圖，在四面體abcd中，cd?cb，ad?bd，e，f分別是ab,bd的中點， 求證：（1）ef∥面acd （2）面efc?

面bcd

a

10、如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e是dd1的中點， （1）求be和面abb1a1所成角的正弦值

（2）在棱c1d1是否存在一點f，使得b1f∥面a1be？并證明你的結(jié)論

c1

ac

第三篇：利用全等證明垂直問題

利用全等證明垂直問題

1. 如圖，ad⊥bc于d，ad=bd，de=dc。 猜想并證明be和ac有何關系？

圖19

2.如圖：在△abc中，be、cf分別是ac、ab兩邊上的高，在be上截取bd=ac，在cf的延長線上截取cg=ab，連結(jié)ad、ag。 猜想 ad與ag的關系，并證明。a g

fe

b

c

作業(yè)：1.如圖，ad是△abc的角平分線，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e、f，連接ef，ef與ad交于g，ad與eg垂直嗎？證明你的結(jié)論。（6分）

2.如圖, 已知: 等腰rt△oab中,∠aob=900, 等腰rt△eof中,∠eof=900, 連結(jié)ae、bf. 求證: (1) ae=bf;(2) ae⊥bf.

3.兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，b，c，e在同一條直線上，連結(jié)dc．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：dc⊥be．

c

圖1

圖2

利用全等證明線段的相等以及和、差、倍、分問題

1.如圖，△abc中，ab=ac，d是ab上一個動點，df⊥bc于點f，交ca延長線于點e，

（1）試判斷ad、ae的大小關系，并說明理由；（2）當點d在ba的延長線上時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請說明理由。

f

備用圖

2.在△abc中，∠c=90°，ac=bc，過點c在△abc的外部作直線mn（如圖（1））， am⊥mn于m，bn⊥mn于n。（1）求證：mn=am+bn。（2）若將條件改為“過點c 在△abc內(nèi)作直線mn”，其它條件不變，問結(jié)論（1）是否仍然成立？如不成立， 它們之間又滿足怎么的關系，請畫出圖形并證明。

m

c

n

a

b

3.如圖23，△abc中，d是bc的中點，過d點的直線gf交ac于f，交ac的平行線bg于g點，de⊥df，交ab于點e，連結(jié)eg、ef.⑴求證：bg=cf ⑵請你判斷be+cf與ef的大小關系，并說明理由。

4.如圖,ad⊥bc,bd=dc,點c在ae的垂直平分線上,ab+bd與de的長度有什么關系?

并加以證明。（10分）a

bdce5. 已知：三角形abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為bc的中點，（1）如圖，e，

f分為ab,ac上的點，且be＝af，求證：△def為等腰直角三角形．（2）若e，f分別為ab,ca延長線上的點，仍有be＝af，其他條件不變，那么，△def是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．

4. 如圖在?afd和?ceb中，點a，e，f，c在同一條直線上

??d

有下面四個論斷：（1）ad =cb ， （2）ae =cf ， （3）?b

一道數(shù)學問題，并寫出解答過程.

利用全等證明角的相等以及和、差、倍、分問題

1.如圖22⑴，ab=cd，ad=bc，o為ac中點，過o點的直線分別與ad、bc相

交于點m、n，那么∠1與∠2有什么關系？請說明理由。

若過o點的直線旋轉(zhuǎn)至圖⑵、⑶的情況，其余條件不變，那么圖⑴中的∠1與∠2的關系成立嗎？請說明理由。

，

（4）ad //bc .請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，編

2．（201*年綿陽市）如圖，△abc中，e、f① ad平分∠bac，② de⊥ab，df⊥ac，

③ ad⊥ef．以此三個中的兩個為條件，另一個為結(jié)論，可構(gòu)成三個命題，

即：

①② ? ③，①③ ? ②，②③ ? ①．

（1）試判斷上述三個命題是否正確（直接作答）； （2）請證明你認為正確的命題．

22．如圖，給出五個等量關系：①ad?bc ②ac?bd ③ce?de ④?d??c⑤?dab??cba．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論，推出一個

正確

的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明．

已知：

求證：證明：

22．如圖，給出五個等量關系：①ad?bc ②ac?bd ③c

e?de am④?d??c

17．本題9分，工人師傅要檢查人字梁的∠b和∠c是否相等，但他手邊沒有量角器，只有一個刻度尺．他是這樣操作的： ①分別在ba和ca上取be?cg； ②在bc上取bd?cf；

③量出de的長a米，fg的長b米．

如果a?b，則說明∠b和∠c是相等的．他的這種做法合理嗎？為什么？ ⑤?dab??cba．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結(jié)論， 推出一個正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明．8

分 o n b

已知： e

求證：

證明：

b

16．如圖9所示，△abc是等腰直角三角形，∠acb＝90°，ad是bc邊上的中線，過c作ad的垂線，交ab于點e，交ad于點f，求證：∠adc＝∠．

a b

22. 如圖,有一池塘,要測池塘兩端a、b的距離,可先在平地上取一個可以直接到達e

和b的點c,連結(jié)ac并延長到d,使cd=ca.連結(jié)bc并延長到e,使ec=cb,圖9

a

連結(jié)de,量出de的長,就是a、b的距離.寫出你的證明．

d

f

第四篇：證明垂直位置關系

第五課時學案垂直的證明方法

命題預測

從近幾年的高考試題來看，線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)等是高考的熱點,題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質(zhì)；主觀題考查較全面，在考查上述知識的同時，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問題、解決問題的能力．

預測201*年高考仍將以線面垂直、面面垂直為主要考查點，重點考查學生的空間想象以及邏輯推理能力．

考點1 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1、（08天津）如圖，在四棱錐p?abcd中，底面abcd是矩形． 已知ab?3,ad?2,pa?2,pd?22,?pab?60?． （ⅰ）證明ad?平面pab；

（ⅱ）求異面直線pc與ad所成的角的大小； （ⅲ）求二面角p?bd?a的大�。�

變式1：如圖，已知三棱錐a－bpc中,ap⊥pc,ac⊥bc，m為ab中點，d為pb中點，且△pmb為正三角形．求證：(1)md∥平面apc；(2)bc⊥平面apc.

變式2：（12全國理）如圖，四棱錐p-abcd中，底面abcd為菱形，pa⊥底面abcd，

ac=2pa=2，e是pc上的一點，pe=2ec.

（ⅰ）證明：pc⊥平面bed；

（ⅱ）設二面角a-pb-c為90°，求pd與平面pbc所成角的大小.

變式3：（06福建）如圖，四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點

，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad?

（i）求證：ao?平面bcd；（ii）求異面直線ab與cd所成角的大��；（iii）求點e到平面acd的距離。

b

e

變式4：（11大綱理） 如圖，四棱錐s?abcd中， ab?cd,bc?cd，側(cè)面sab為等邊三角形，ab?bc?2,cd?sd?1．

（�。┳C明：sd?平面sab;（ⅱ）求ab與平面sbc所成角的大小．

例2、（08二）如圖，正四棱柱abcd?a1b1c1d1中，aa1?2ab?4，點e在cc1上

ac1

且c1e?3ec．（�。┳C明：a1c?平面bed；（ⅱ）求二面角a1?de?b的大�。甧c

例3、（04湖北）在棱長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e 是棱bc的中點，點f是棱cd上的動點。（1）試確定點f的位置，使得d1e⊥平面ab1f；

（2）當d1e⊥平面ab1f時，求二面角c1―ef―a的大小。

例4、（12北京理）如圖1，在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點，且de∥bc，de=2，將△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd,如圖2. (i)求證：a1c⊥平面bcde；

(ii)若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大小；

(iii)線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由

（�。┳C明：面pad⊥面pcd；

考點2 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1、(201*〃高考江蘇卷)如圖，在四棱錐p－abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab＝ad， ∠bad＝60°，e，f分別是ap，ad的中點．求證：(1)直線ef∥平面pcd； (2)平面bef⊥平面pad

變式1：如圖，在直三棱柱:abc－a1b1c1中,aa1＝ab＝bc＝3，ac＝2，d是ac的中點． (1)求證：b1c∥平面a1bd；

(2)求證：平面a1bd⊥平面acc1a1； (3)求三棱錐a－a1bd的體積．

變式2：（08湖南）如圖，四棱錐p-abcd的底面abcd是邊長為1的菱形，∠bcd＝60°，e是cd的中點，pa⊥底面abcd，pa＝2.

（�。┳C明：平面pbe⊥平面pab;

（ⅱ）求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.

變式3：（09北京）如圖，四棱錐p?abcd的底面是正方形，

pd?底面abcd，點e在棱pb上.

（ⅰ）求證：平面aec?平面pdb；

（ⅱ）當pd?

且e為pb的中點時，求ae與平面pdb所成

的角的大小.

變式4：（05）已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，?dab?90?

,pa?底面abcd，

且pa=ad=dc=

12

ab=1，m是pb的中點。

（ⅱ）求ac與pb所成的角；

（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的大小。

例2、（12高考江蘇）如圖，在直三棱柱abc?a1b1c1中，a1b1?a1c1，d，e分別是棱bc，cc1上的點（點d 不同于點c），且ad?de，f為b1c1的中點． 求證：（1）平面ade?平面bcc1b1；（2）直線a1f//平面ade．

變式：（11遼寧理） 如圖，四邊形abcd為正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=2pd． （i）證明：平面pqc⊥平面dcq； （ii）求二面角q—bp—c的余弦值．

例3、如圖，四棱錐p－abcd中,底面abcd是∠dab＝60°的菱形,側(cè)面pad為正三角形,其所在平面垂直于底面abcd.(1)求證：ad⊥pb； (2)若e為bc邊的中點，能否在棱pc上找到一點f，使平面def⊥平面abcd？并證明你的結(jié)論．

第五篇：高中立體幾何證明垂直的專題訓練

高中立體幾何證明垂直的專題訓練

深圳龍崗區(qū)東升學�！�— 羅虎勝

立體幾何中證明線面垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為 線線垂直，而證明線線垂直一般有以下的一些方法： （1） 通過“平移”。

（2） 利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)。 （3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直徑所對的圓周角是直角，等等。

(1)通過“平移”,根據(jù)若a//b,且b?平面?,則a?平面?

1．在四棱錐p-abcd中，△pbc為正三角形，ab⊥平面pbc，ab∥cd，ab=

dc，2

e為pd中點.求證：ae⊥平面pdc.

分析：取pc的中點f，易證ae//bf，易證

bf⊥平面pdc

2．如圖，四棱錐p－abcdabcd，∠pda=45°，點e為棱ab的中點． 求證：平面pce⊥平面pcd；

分析：取pc的中點g，易證eg//af，又易證af于是eg⊥平面pcd,則平面pce⊥平面pcd

（第2題圖）

3、如圖所示，在四棱錐p?ab中，

a?b平面,pab//cd,pd?ad,e是pb的中點，f是cd上的點，且

df?

ab,ph為?pad中ad邊上的高。 2

（1）證明：ph?平面abcd；

（2

）若ph?1，ad?fc?1，求三棱錐e?bcf的體積； （3）證明：ef?平面pab.

分析：要證ef?平面pab，只要把fe平移到dg，也即是取ap的中點g，易證ef//gd, 易證dg⊥平面pab

4.如圖所示, 四棱錐p?abcd底面是直角梯形

ba?ad,cd?ad,cd?2ab,pa?底面abcd,

e為pc的中點, pa＝ad。 證明: be?平面pdc;

分析：取pd的中點f，易證af//be, 易證af⊥平面pdc

（2）利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)

5、在三棱錐p?abc中，ac?bc?2， ?acb?90?，pc?ac．a(chǎn)p?bp?ab，（ⅰ）求證：pc?ab；

（ⅱ）求二面角b?ap?c的大��；

p

a

c

b

6、如圖，在三棱錐p?abc中，⊿pab是等邊三角形，∠pac=∠pbc=90 o 證明：ab⊥pc

因為?pab是等邊三角形，?pac??pbc?90?, 所以rt?pbc?rt?pac,可得ac?bc。 如圖，取ab中點d，連結(jié)pd,cd, 則pd?ab,cd?ab, 所以ab?平面pdc, 所以ab?pc。

（3）利用勾股定理

7、如圖，四棱錐p?abcd的底面是邊長為1

的正方形，pa?cd,pa?1,pd?求證:pa?平面abcd；

_ b

_ a

_d

_c

8、如圖1，在直角梯形abcd中，ab//cd，ab?ad，且ab?ad?

cd?1． 2

現(xiàn)以ad為一邊向形外作正方形adef，然后沿邊ad將正方形adef翻折，使平面

adef與平面abcd垂直，m為ed的中點，如圖2．（1）求證：am∥平面bec；

（2）求證：bc?平面bde；

e

m

e

c

f

mc

b

a

9、如圖，四面體abcd中，o、

e分別是bd、bc的中點，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad? （1）求證：ao?平面bcd；

（2）求異面直線ab與cd所成角的大��；

（1）證明：連結(jié)oc?bo?do,ab?ad,?ao?bd.

b

e

?bo?do,bc?cd,?

co?bd.

在?aoc中，由已知可得ao?1,co? 而ac?2,

?ao2?co2?ac2,??aoc?90o,即ao?oc.

?bd?oc?o, ?ao?平面bcd

,bc?cd，側(cè)面sab為等邊三角形，

10、如圖，四棱錐s?abcd中，ab?bc

ab?bc?2,cd?sd?1．

（�。┳C明：sd?平面sab;

（ⅱ）求ab與平面sbc所成角的大�。�

解法一：

（i）取ab中點e，連結(jié)de，則四邊形

bcde為

矩形，de=cb=2，連結(jié)se，則se?ab,se?又sd=1，故ed?se?sd，所以?dse為直角。

由ab?de,ab?se,de?se?e，得ab?平面sde，所以ab?sd。sd與兩條相交直線ab、se都垂直。

所以sd?平面sab。

（4）利用三角形全等或三角行相似

11．正方體abcd—a1b1c1d1中o為正方形abcd的中心，m為bb1的中點， 求證：d1o⊥平面mac.

分析：法一：取ab的中點e，連a1e,oe,易證△abm≌a1ae, 于是am⊥a1e,又∵oe⊥平面abb1a1∴oe⊥am, ∴am⊥平面oea1d1∴am⊥d1o

法二：連om,易證△d1do∽obm,于是d1o⊥om

12．如圖，正三棱柱abc—a1b1c1的所有棱長都為2， d為cc1中點. 求證：ab1⊥平面a1bd；

分析： 取bc的中點e，連ae,b1e,易證△dcb≌△ebb1，

從而bd⊥eb1

13、.如圖，已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1中， 過點b作b1c的垂線交側(cè)棱cc1于點e，交b1c于點f， 求證：a1c⊥平面bde；

（5）利用直徑所對的圓周角是直角

ab是圓o的直徑，c是圓周上一點，pa⊥平面abc. ）求證：平面pac⊥平面pbc；

（2）若d也是圓周上一點，且與c分居直徑ab的兩側(cè)，試寫出圖中所有互

相垂直的各對平面.

p

a

15、如圖，在圓錐po中，已知poo的直徑ab?2,c是狐ab的中點，d為

ac的中點．證明：平面pod?平面pac;

16、如圖，在四棱錐p?abcd中，底面abcd是矩形，pa?平面abcd．以bd的中點o為球心、bd為直徑的球面交pd于點m．

求證：平面abm⊥平面pcd； ．

證：依題設，ｍ在以ｂｄ為直徑的球面上，則ｂｍ⊥ｐｄ. 因為ｐａ⊥平面ａｂｃｄ，則ｐａ⊥ａｂ，又ａｂ⊥ａｄ， 所以ａｂ⊥平面ｐａｄ，則ａｂ⊥ｐｄ，因此有ｐｄ⊥平面ａｂｍ，所以平面ａｂｍ⊥平面ｐｃｄ.

b

6

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