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如何證明面面垂直(精選多篇)

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第一篇:如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設p是三角形abc所在平面外的一點,p到a,b,c三點的距離相等,角bac為直角,求證:平面pcb垂直平面abc

過p作pq⊥面abc于q,則q為p在面abc的投影,因為p到a,b,c的距離相等,所以有qa=qb=qc,即q為三角形abc的中心,因為角bac為直,所以q在線段bc上,所以在面pcb上有線段pq⊥平面abc,故平面pcb⊥平面abc

2

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°,即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論:直徑所對的圓周角是直角,一個三角形的一邊中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時,兩直線經(jīng)過平移后相交成直角,則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊,那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直,那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮):

ⅰ.平行關系:

線線平行:1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行:1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行,一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行:1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關系:

線線垂直:1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直,那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直:1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面,那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個,那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。

第二篇:怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便,下面#后的代表向量。

#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.

對角線的點積:#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd

兩組對邊平方和分別為:

ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bc

ad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba

則ab2+cd2=ad2+bc2等價于#bd·#bc=#bd·#ba等價于#ac·#bd=0

所以原命題成立,空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成

一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2

一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°,即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論:直徑所對的圓周角是直角,一個三角形的一邊中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時,兩直線經(jīng)過平移后相交成直角,則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊,那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直,那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮):

ⅰ.平行關系:

線線平行:1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4(更多請關注:www.hmlawpc.com).面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行:1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行,一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行:1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

ⅱ.垂直關系:

線線垂直:1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直,那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直:1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面,那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個,那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線,那么這兩個平面垂直。

第三篇:第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

一、二面角

二面角??l??,若?的一個法向量為m,?的一個法向量為n,則cos?,??,二面角的大小為?m,n?或???m,n?

例1.如圖,正三棱柱abc?a1b1c1中,e為bb1的中點,aa1?a1b1,求平面a1ec與平面a1b1c1所成銳角的大小。

例2.(05年全國)如圖,在四棱錐v-abcd

vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd. (1)證明ab⊥平面vad;

(2)求面vad與面vbd所成的二面角的大。

練習:如圖,棱長為1的正方體 abcd?a1b1c1d1中,e是cc1的中點,

求二面角b?b

1e?d的余弦值。

12

二.證面面垂直

若平面?的一個法向量為,平面?的一個法向量為,且?,則???。

例3.在四棱錐p-abcd中,側(cè)面pcd是正三角形,且與底面abcd垂直,已知底面是面積為23的菱形,

?adc?600,m是pb的中點。

(1)求證:pa?cd

(2)求二面角p?ab?d的度數(shù); (3)求證:平面pab?平面cdm。

練習:(04年遼寧)已知四棱錐p-abcd中,底面abcd是菱形,?dab?60?,pd?平面abcd,pd=ad,點e為ab的中點,點f為 pd的中點。

(1)證明平面ped⊥平面pab;

(2)求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.

作業(yè):

1.(04年廣東)如圖,在長方體abcd?a1b1c1d1中,

已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分別是線段ab,bc上的點,且eb?fb?1。 (ⅰ)求二面角c-de-c1的正切值;

(ⅱ)求直線ec1與fd1所成角的余弦值。

13

2.(05年全國)已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形,ab∥dc,?dab?90?,pa?底面abcd,且pa=ad=dc=

ab=1,m是pb的中點。 2

(1)證明:面pad⊥面pcd; (2)求ac與pb所成的角;

(3)求面amc與面bmc所成二面角的大小。

3.已知四棱錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形,側(cè)棱pa?底面abcd,pa=2,m、n分別是ad、bc的中點,mq?pd于q

(1)求證:平面pmn?平面pad;

(2)求pm與平面pcd所成角的正弦值; (3)求二面角p?mn?q的余弦值。

4.(06年全國)如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ab=bc, d、e分別為bb1、ac1的中點.

(1)證明:ed為異面直線bb1與ac1的公垂線; (2)設aa1=ac=2ab,求二面角a1-ad-c1的大小.

14

c

b1 d

e

c

a

b

5. (04年浙江)如圖,已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互

相垂直,ab=,af=1,m是線段ef的中點。

(1)求證:am//平面bde; (2)求二面角a?df?b的大。

(3)試在線段ac上確定一點p,使得pf與bc所成的角是60?。

6.(05年湖南)如圖1,已知abcd是上.下底邊長分別為2和6,高為的等腰梯形,將它沿對稱軸oo1折成直二面角,如圖2.

(1)證明:ac⊥bo1;

(2)求二面角o-ac-o1的大小。

7.(06年山東)如圖,已知四棱錐p-abcd的底面abcd為 等腰梯形,ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交于點o,且頂點 p在底面上的射影恰為點o,又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求異面直線pd與bc所成角的余弦值; (2)求二面角p-ab-c的大; (3)設點m在棱pc上,且pc⊥平面bmd.

15

pm

??,問?為何值時, mc

第四篇:面面垂直證明例題

數(shù)學面面垂直例題

例4答案:

例8答案:取ac的中點為o,連接op、ob。 ao=oc,pa=pc,故po垂直

ac

第五篇:本節(jié)課學生學習的起點是如何利用判定定理證明線面、面面垂直。障...

本節(jié)課學生學習的起點是如何利用判定定理證明線面、面面垂直。障礙點是線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化,并能靈活應用相互轉(zhuǎn)化。因此本節(jié)課的重點是如何靈活應用線線、線面、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化完成垂直關系的證明

課題:垂直關系

教學分析

垂直關系是一種非常重要的位置關系,它不僅應用較多,而且是平行關系的轉(zhuǎn)化手段,可以說垂直關系是立體幾何的核心內(nèi)容之一,也是高考熱點內(nèi)容。

垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用。在鞏固線線垂直和面面垂直的基礎上,討論垂直的性質(zhì)定理及其應用時,要注意是立體幾何最難的定理,往往是一個復雜問題的開端,先由面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直,否則無法解決問題。

三維目標

1.探究垂直的判定定理,培養(yǎng)學生的空間想象能力。

2.掌握垂直的判定定理的應用,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。

3.探究垂直的性質(zhì)定理,進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力。

4.垂直的性質(zhì)定理的應用,培養(yǎng)學生的推理能力。

5.通過垂直的性質(zhì)定理的學習,培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思想。

重點難點

教學重點:(1)垂直關系的判定定理及其應用 (2)垂直的性質(zhì)定理

教學難點:(1)應用判定定理解決問題(2)性質(zhì)定理的應用

課時安排:1課時.

教學手段:多媒體.

教學過程:

一、知識回顧

1、線面垂直的判定方法

(1)定義——如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,則直線與平面垂直。

(2)判定定理——如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則直線與平面垂直。

?

?l?b?a???l???b??a?b?a?l?a

2線面垂直的性質(zhì)

(1)如果一條直線和一個平面垂直則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。

(2)性質(zhì)定理——如果兩條直線同垂直于一個平面,則這兩條直線平行。

3、面面垂直的判定方法

(1)定義-----如果兩個平面所成的二面角是直二面角,則這兩個平面垂直。

(2)判定定理-----如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直α⊥β,α∩β=l???m⊥β. 用符號表示為mα,m⊥l?

4面面垂直的性質(zhì)

如果兩個平面垂直,則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面

二、課堂演練

1.在三棱錐v-abc中,va=vc,ab=bc,則下列結(jié)論一定成立的是()

a.va⊥bcb.a(chǎn)b⊥vc

c.vb⊥acd.va⊥vb

2.設l、m、n均為直線,其中m、n在平面α內(nèi),則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的()

a.充分不必要條件b.必要不充分條件

c.充要條件d.既不充分也不必要條件

3.關于直線m、n與平面α、β,有以下四個命題:

①若m∥α,n⊥β且α⊥β,則m∥n.

②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m⊥n;

③若m⊥α,n∥β且α∥β,則m⊥n;

④若m∥α,n∥β且α⊥β,則m∥n;

其中真命題的序號是()

a.①②

c.①④b.③④ d.②③第4題圖

4.△abc,∠abc=90°,pa⊥平面 abc,則圖中直角三角形的個數(shù)是________.

三、典例精析

例1如圖,ab是圓o的直徑,c是異于a,b的圓周上的任意一點,pa垂直于圓o所在的平面。求證:(1)bc⊥面pac(2)若ah⊥pc,則ah⊥面pbc

?c b 例2如圖,已知pa┴ 矩形abcd所在平面,m、n分別是ab、pc的中點 求證: (1)mn┴cd(2) 若?pda?

p 45,求證:mn面pcd

四、小結(jié):三種垂直關系的轉(zhuǎn)化

m d c

五、作業(yè):課時作業(yè)

六、教學反思:本節(jié)課重點是利用判定定理證明線面、面面垂直,及三種垂直關系的轉(zhuǎn)化

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