第一篇：向量證明重心

向量證明重心

三角形abc中，重心為o，ad是bc邊上的中線，用向量法證明ao=2od

(1).ab=12b，ac=12c。ad是中線則ab+ac=2ad即12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c-6b。od=xad=6xb+6xx。(2).e是ac中點。作df//be則ef=ec/2=ac/4=3c。平行線分線段成比od/ad=ef/af即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).od=2b+2c，ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od。

2

設bc中點為m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p為三角形abc的重心。上來步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要條件是pa+pb+pc=0

3

如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設三角形abc的三條中線分別為ad、be、cf，求證ad、be、cf交于一點o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1

證明：用歸一法

不妨設ad與be交于點o，向量ba=a,bc=b,則ca=ba-bc=a-b

因為be是中線，所以be=(a+b)/2,向量bo與向量be共線，故設bo=xbe=(x/2)(a+b)

同理設ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形abo中，ao=bo-ba

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以a0：ad=bo：be=2：3

故ao：od=bo：oe=2:1

設ad與cf交于o",同理有ao’：o"d=co":o"f=2:1

所以有ao:od=ao":o"d=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’

因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1

證畢!

4

設三角形abc的頂點a,b,c的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)證明：三角形abc的重心(即三條中線的交點)m的坐標(x,y)滿足：x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3

設:ab的中點為d.∴dx=(x1+x2)/2，又m為三角形的重心,∴cd=3md,∴x3-(x1+x2)/2=3===>x=(x1+x2+x3)/3同理:y=(y1+y2+y3)/3

5

如圖。設ab=a(向量)，ac=b,ad=(a+b)/2,ao=tab=ta/2+tb/2.

be=b/2-a.ao=a+sbe=(1-s)a+sb/2.

t/2=1-s,t/2=s/2.消去s.t=2/3.ao=(2/3)ab.od=(1/3)ab,ao=2od.

如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1

設三角形abc的三條中線分別為ad、be、cf，求證ad、be、cf交于一點o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1

證明：用歸一法

不妨設ad與be交于點o，向量ba=a,bc=b,則ca=ba-bc=a-b

因為be是中線，所以be=(a+b)/2,向量bo與向量be共線，故設bo=xbe=(x/2)(a+b)

同理設ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b

在三角形abo中，ao=bo-ba

所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b

因為向量a和b線性無關，所以

-y=x/2-1

y/2=x/2

解得x=y=2/3

所以a0：ad=bo：be=2：3

故ao：od=bo：oe=2:1

設ad與cf交于o",同理有ao’：o"d=co":o"f=2:1

所以有ao:od=ao":o"d=2:1,注意到o和o’都在ad上，因此o=o’

因此有ao：od=bo：oe=co:of=2:1

證畢!

第二篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知a，b，c是不共線的三點，g是△abc內一點，若ga?gb?gc?0．求

證：g是△abc的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因為ga?gb?gc?0，所以ga??(gb?gc)．

????????????????????以gb，gc為鄰邊作平行四邊形bgcd，則有gd?gb?gc，

????????所以gd??ga．

????????又因為在平行四邊形bgcd中，bc交gd于點e，所以be?ec，

????????????????ge?ed．所以ae是△abc的邊bc的中線，且ga?2ge．

故g是△abc的重心．

點評：①解此題要聯(lián)系重心的性質和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知d，e，f分別為△abc的邊bc，ac，ab的中點．求證： ????????????ad?be?cf?0．

證明：如圖2的所示，

????????????????????????????????????????????ad?ac?cd????????????????2ad?ac?ab?cd?bd，即2ad?ac?ab． ad?ab?bd??

????????????????????????同理2be?ba?bc，2cf?ca?cb．(請收藏好 范 文，請便下次訪問：www.hmlawpc.com是bc的中點，

????????????b?aab?ac?bc?c?b．則，c?a，

?????1??????1??1?am?abb?c?a?(c?b)?(c?b?2a)． 222

??????21????aga(c?b?2a．

) 33

????????????11故og?oa?ag?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點評：重心問題是三角形的一個重要知識點，充分利用重心性質及向量加、減運算的幾何意義是解決此類題的關鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形abcd的中心為o，

????1????????????????p為該平面上任意一點，則po?(pa?pb?pc?pd)． 4

?????????????????????????????????????po?pa?ao，po?pb?bo，po?pc?co，證法1：

????????????po?pd?do，

?????????????????p?bp?c pd?4po?pa，???? ????1????????????????即po?(pa?pb?pc?pd)． 4

????1????????????1????????證法2：?po?(pa?pc)，po?(pb?pd)， 22

????1?????????????????po?(pa?pb?pc?pd)． 4

點評：（1）證法1運用了向量加法的三角形法則，證法2運用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若p與o重合，則上式變?yōu)閛a?ob?oc?od?0．

第三篇：三角形重心向量性質的引申及應用

三角形重心向量性質的引申及應用

新化縣第三中學肖雪暉

平面向量是高中數(shù)學實驗教材中新增的一章內容．加入向量，一些傳統(tǒng)的中學數(shù)學內容和問題就有了新的內涵．在數(shù)學教學中引導學生積極探索向量在中學數(shù)學中各方面的應用，不僅可深人了解數(shù)學教材中新增內容和傳統(tǒng)內容的內部聯(lián)系，構建合理的數(shù)學知識結構，而且有利于拓展學生的想像力，激發(fā)創(chuàng)新活力，顯現(xiàn)出向量作為一個工具在數(shù)學中的重要性．下面就向量與三角形的重心關系加以引申和應用．

三角形重心向量形式的充要條件：設o為?abc所在平面上一點，o為?abc的重

?????????????心?oa?ob?oc?0

證明：先證必要性：

????????????????????如圖1以ob,oc為鄰邊作平行四邊形obdc,則od?ob?oc.

?????????????????????????????????又oa?ob?oc?0，則ob?oc??oa，所以?oa?od,

o為ad的中點，且a、o、d共線.

又e為od的中點,因此，o是中線ae的三等分點，且oa?2ae 3

即o為?abc的重心.

再證充分性:設bo、oc與ac、ab分別交于f、g點，則由三角形的中線公式可得， ?????????????ae?bf?cg?0

????2????????2????????2????又o為?abc的重心，得ao?ae,bo?bf,co?cg 333

?????????????所以oa?ob?oc?0

引申1若o為?abc內任一點，則有

?????????????s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0

?????????????????????????證明：如圖2,設oa1??1oa,ob1??2ob,oc1??3oc,

?????????????且o為?abc的重心，則?1oa??2ob??3oc?0

且s?aob?s?boc?s?aoc,記為s,那么，

s?oab

s1oa?obsin?aob1??.??12oa1?ob1sin?aob2

s即s?

aob??1?2.

同理可得s?obc?s

?2?3，s?oac?s?1?3.

?????????????所以?1:?2:?3?s?obc:s?oac:s?oab.則s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0

引申2如圖3,已知點g是?abc的重心，過g作直線與ab、ac兩邊分別交于m、n ?????????????????11兩點，且am?xab,an?yac,則??3 xy

?????????????證明：點g是?abc的重心，知ga?gb?gc?0,

??????????????????????????????1???得?ag?(ab?ag)?(ac?ag)?0有ag?(ab?ac) 3

又m、n、g三點共線（a不在直線am上）,于是存在?,?，使得

??????????????????????????????1???ag??am??an)(且????1),有ag??xab??yac?(ab?ac) 3

?????111???3 得?于是得1xy?x??y??3?運用引申1、引申2可以解決許多數(shù)學問題，使解題過程簡單。

例1. 設設o為?abc所在平面上一點，角a、b、c所對邊長分別為a,b,c則o為?abc

??????????????的內心的充要條件為：aoa?bob?coc?0

證明：必要性，由o為?abc的內心，得o到?abc三邊的距離相等，記為r, 則s?oab?111111ab?r?cr,s?obc?bc?r?ar,s?oac?ac?r?br, 222222

所以s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b

???????????????????????????由引申1得s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0，即aoa?bob?coc?0

???????????????????????????充分性：由aoa?bob?coc?0及s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0，

得s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b

設o到?abc三邊的距離分別為r1,r2,r3, 則s?oab?111cr1,s?obc?ar2,s?oac?br3, 222

所以ar1:br2:cr3?a:b:c,

可得r1?r2?r3,即o為?abc的內心。

??????????????所以o為?abc的內心的充要條件為：aoa?bob?coc?0

例2.已知在?abc中，過重心g的直線交ab于p, 交ac于q,設?apq的面積為s1，

?????????????????abc的面積為s2，且ap?ppb,aq?qqc,則

（1）pq?_______________ p?q

（2）s1的取值范圍是_________________ s2

????????11appaqq???3 解析：（1）因為,?,由引申2得pqab1?pac1?q

1?p1?q

即1?p1?q11pq??3，推出??1,所以?1,故填1. pqpqp?q

（2）由題可知s2ab?ac(1?p)(1?q)1????2. s1ap?aqpqpq

11?411s94s1pq21?()?,所以2<2?,即?1?,故填[,). 由0<92pq24s149s22

運用引申1、2，還可以輕松解答下列問題.

?????????????1. 已知點o為?abc內一點，且存在正數(shù)?1,?2,?3使?1oa??2ob??3oc?0

設?aob,?aoc的面積分別為s1,s2,求s1:s2.

?????????????2. 已知點p是?abc內一點，且滿足pa?2pb?3pc?0，求?abp與?abc的面積的

比.

?????????????3. 已知點o在?abc內部且滿足oa?2ob?3oc?0,求?abc與凹四邊形aboc的

面積的比.

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△abc，p為平面上的點，則

(1)p為外心

(2)p為重心

(3)p為垂心

證明 (1)如p為△abc的外心(圖1)，

則 pa=pb=pc，

(2)如p為△abc的重心，如圖2，延長ap至d，使pd=pa，設ad與bc相交于e點．

由重心性質

∴ 四邊形pbdc為平行四邊形．

bc和pd之中點．

心．

(3)如圖3，p為△abc的垂心

同理pa⊥ac，故p為△abc之垂心．

由上不難得出這三個結論之間的相互關系：

∴ △abc為正三角形．

∴ △abc為正三角形，且o為其中心．

第五篇：向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯

向量與三角形內心、外心、重心、垂心知識的交匯

一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1； （2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直； （3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等； （4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。 二、四心與向量的結合

（1）oa?ob?oc?0?o是?abc的重心.

證法1：設o(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)

?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?

?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0

oa?ob?oc?0?

x1??x?????

?y?y1???

x2?x33y2?y33

?o是?abc的重心.

證法2：如圖

?oa?ob?oc ?oa?2od?0

?ao?2od

?a、o、d三點共線，且o分ad

為2：1

?o是?abc的重心

bdc

（2）oa?ob?ob?oc?oc?oa?o為?abc的垂心.

證明：如圖所示o是三角形abc的垂心，be垂直ac，ad垂直bc， d、e是垂足.

oa?ob?ob?oc?ob(oa?oc)?ob?ca?0 ?ob?ac

同理oa?bc，oc?ab

?o為?abc的垂心

（3）設a,b,c是三角形的三條邊長，o是?abc的內心

aoa?bob?coc?0?o為?abc的內心.

證明：?

?

abc?

ab

acac方向上的單位向量， 分別為ab、cb

acb

平分?bac,

abc?acb

?ao??()，令??

bca?b?c

?ao?

bca?b?c

（

abc

?

acb

)

化簡得(a?b?c)oa?bab?cac?0

?aoa?bob?coc?0

（4

???o為?abc的外心。

典型例題：

例1：o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足

op?oa??(ab?ac)，???0,??? ，則點p的軌跡一定通過?abc的（）

a．外心b．內心c．重心d．垂心 分析：如圖所示?abc，d、e分別為邊bc、ac的中點.

?ab?ac?2ad

?op?oa?2?ad ?op?oa?ap ?ap?2?ad

bdc

?ap//ad

?點p的軌跡一定通過?abc的重心，即選c.

例2：（03全國理4）o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p

滿足op?oa???，???0,??? ，則點p的軌跡一定通過?abc的（b）

a．外心b．內心c．重心d．垂心

分析：?

ac方向上的單位向量，

分別為ab、

?

ab?

ac平分?bac,

?點p的軌跡一定通過?abc的內心，即選b.

例3：o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p

滿足

op?oa??ab?

ac，???0,??? ，則點p的軌跡一定通過?abc的

（）

a．外心b．內心c．重心d．垂心

分析：如圖所示ad垂直bc，be垂直ac， d、e是垂足

. ?

?bc

?

?

=?

=0

?點p的軌跡一定通過?abc的垂心，即選d.

練習：

1．已知?abc三個頂點a、b、c及平面內一點p，滿足pa?pb?pc?0，若實數(shù)?滿足：ab?ac??ap，則?的值為（）

a．2b．

32

c．3d．6

2．若?abc的外接圓的圓心為o，半徑為1，oa?ob?oc?0，則oa?ob?() a．

12

b．0c．1d．?

12

3．點o在?abc內部且滿足oa?2ob?2oc?0，則?abc面積與凹四邊形

aboc

面積之比是（） a．0b．

32

c．

54

d．

43

4．?abc的外接圓的圓心為o，若oh?oa?ob?oc，則h是?abc的（）

a．外心b．內心c．重心d．垂心

5．o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，若oa

?bc?ob

?ca?oc?ab，則o是?abc的（）

a．外心b．內心c．重心d．垂心

oh?m(oa?ob?oc)，?abc的外接圓的圓心為o，6．兩條邊上的高的交點為h，

則實數(shù)m =

→→→→1abacabac→→→

7．（06陜西）已知非零向量ab與ac滿足(+ )·bc=0 · = , 則

2→→→→|ab||ac||ab||ac|△abc為()

a．三邊均不相等的三角形b．直角三角形 c．等腰非等邊三角形d．等邊三角形

8．已知?abc三個頂點a、b、c，若ab

?abc為（）

?ab?ac?ab?cb?bc?ca，則

a．等腰三角形b．等腰直角三角形

c．直角三角形d．既非等腰又非直角三角形 練習答案：c、d、c、d、d、1、d、c

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