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向量空間證明(精選多篇)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-22 10:41:25 | 移動端:向量空間證明(精選多篇)

第一篇:向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法:

1)在立體幾何圖形中,選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系中

2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計算單位,可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;

3)計算有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)值,求出相關(guān)向量的坐標(biāo);

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量,分別與已知直線向量求數(shù)積,只要分別為零,即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題,只要說明一個向量是另一向量的m(實(shí)數(shù))倍,即可

只要多做些這方面的題,或看些這方面的例題,也會從中悟出經(jīng)驗(yàn)和方法

2

解:

因?yàn)閤+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1,1,0)*y+(-1,0,1)*z

y,z為任意實(shí)數(shù)

則:(-1,1,0);(-1,0,1)是它的一組基,維數(shù)為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中,設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點(diǎn)h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠dab=90度

因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設(shè)向量ab=a,向量ac=b,向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm,連接bd,cd,則abcd為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2

3

已知ef是梯形abcd的中位線,且ad//bc,用向量法證明梯形的中位線定理

過a做ag‖dc交ef于p點(diǎn)

由三角形中位線定理有:

向量ep=½向量bg

又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pf=½(向量ad+向量gc)

∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)

∴向量ef=½(向量ad+向量bc)

∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)

得證

4

先假設(shè)兩條中線ad,be交與p點(diǎn)

連接cp,取ab中點(diǎn)f連接pf

pa+pc=2pe=bp

pb+pc=2pd=ap

pa+pb=2pf

三式相加

2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf

3pa+3pb+2pc=2pf

6pf+2pc=2pf

pc=-2pf

所以pc,pf共線,pf就是中線

所以abc的三條中線交于一點(diǎn)p

連接od,oe,of

oa+ob=2of

oc+ob=2od

oc+oc=2oe

三式相加

oa+ob+oc=od+oe+of

od=op+pd

oe=op+pe

of=op+pf

oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp

由第一問結(jié)論

2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp

2pa+2pb+2pc=0

1/2ap+1/2bp+1/2cp

所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op

向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)

第二篇:201*年高考數(shù)學(xué)空間向量證明平行問題

4.2 直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用

一、直線的方向向量及其應(yīng)用

1、直線的方向向量

直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行(或共線)的向量,顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個.

2、直線方向向量的應(yīng)用

利用直線的方向向量,可以確定空間中的直線和平面.

?(1)若有直線l, 點(diǎn)a是直線l上一點(diǎn),向量a是l的方向向量,在直線l

?????????????上取ab?a,則對于直線l上任意一點(diǎn)p,一定存在實(shí)數(shù)t,使得ap?tab,這

?樣,點(diǎn)a和向量a不僅可以確定l的位置,還可具體表示出l上的任意點(diǎn).

(2)空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定,若設(shè)這兩條直線

??交于點(diǎn)o,它們的方向向量分別是a和b,p為平面α上任意一點(diǎn),由平面向量基

??????本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使得op?xa?yb,這樣,點(diǎn)o與方向

??向量a、b不僅可以確定平面α的位置,還可以具體表示出α上的任意點(diǎn).

1.若a(-1,0,1),b(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為()

a.(1,2,3)b.(1,3,2)

c.(2,1,3)d.(3,2,1)

2. 從點(diǎn)a(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取線段長ab=34,則b點(diǎn)的坐標(biāo)為()

a.(-9,-7,7)b.(18,17,-17)

c.(9,7,-7)d.(-14,-19,31)

二、平面的法向量

1、所謂平面的法向量,就是指所在的直線與平面垂直的向量,顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個,它們是共線向量.

??2、在空間中,給定一個點(diǎn)a和一個向量a,那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)

a的平面是唯一確定的.

三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用

????????????

1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2,則有l(wèi)1// l2?u1//u2,l1⊥l2?u1???

⊥u2.

????????????

2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2,則有α//β?v1//v2,α⊥β?v1???

⊥v2.

????若直線l的方向向量是u,平面的法向量是v,則有l(wèi)//α?u⊥v,l⊥α

???u//v

b分別是直線l1、l2的方向向量,根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系。1. 設(shè)a、

?

?

(1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3)

?

?

?

?

??

四、平面法向量的求法

若要求出一個平面的法向量的坐標(biāo),一般要建立空間直角坐標(biāo)系,然后用待定系數(shù)法求解,一般步驟如下:

?

1、設(shè)出平面的法向量為n?(x,y,z).

??

2、找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

????n?a?0????n?b?0 3、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組?

4、解方程組,取其中一個解,即得法向量

v分別是平面α、β的法向量,根據(jù)下列條件判斷α、β的位置關(guān)系: 1. 設(shè)u、

?

?

??

(1)u=(1,-1,2),v=(3,2,

?

?

?

2);

(2)u=(0,3,0),v=(0,-5,0); (3)u=(2,-3,4),v=(4,-2,1)。

?

?

2. 已知點(diǎn)a(3,0,0),b(0,4,0),c(0,0,5),求平面abc的一個單位法向量。

??

3. 若直線l的方向向量是a=(1,2,2),平面α的法向量是n=(-1,3,0),

試求直線l與平面α所成角的余弦值。

4.若n=(2,-3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()

a.(0,-3,1)b.(2,0,1)

c.(-2,-3,1)d.(-2,3,-1)

5.已知平面α上的兩個向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),則平面α的一個法向量為()

a.(1,-1,1)b.(2,-1,1) c.(-2,1,1)d.(-1,1,-1)

五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系 (一)用向量方法證明空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系主要是指:線線平行、線面平行、面面平行.1、線線平行

設(shè)直線l,m的方向向量分別為a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),且a2b2c2≠0,則

l∥m??_?_______. 1.在正方體abcd-a1b1c1d1中,p為正方形a1b1c1d1四邊上的動點(diǎn),o為底面正方形abcd的中心,m,n分別為ab,bc的中點(diǎn),點(diǎn)q為平面abcd內(nèi)

??????????

一點(diǎn),線段d1q與op互相平分,則滿足mq=λmn的實(shí)數(shù)λ的值有()

a.0個c.2個

b.1個 d.3個

2、線面平行

設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α的法向量為u=(a2,b2,c2),則

l∥α??_______?1??

1.已知直線l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為?1,2,2?,且l∥α,

??

則m=________.

(更多好文章請關(guān)注www.hmlawpc.com)2.已知線段ab的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為a(9,-3,4),b(9,2,1),則與線段ab平行的坐標(biāo)平面是()

a.xoyb.xoz

c.yozd.xoy或yoz

3.如圖所示,在空間圖形p—abcd中,pc⊥平面abcd,pc=2,在四邊形abcd中,cd∥ab,∠abc=∠bcd=90°,ab=4,cd=1,點(diǎn)m在pb上,且pb=4pm,∠pbc=30°,求證:cm∥平面pad

.

4. 如圖,在底面是菱形的四棱錐p—abcd中,∠abc=60°,pa⊥平面abcd,pa=ac=a,點(diǎn)e在pd上,且pe∶ed=2∶1.在棱pc上是否存在一點(diǎn)f,使bf∥平面aec?證明你的結(jié)論.

5. 如圖, 在直三棱柱abc-a1b1c1中,ac=3,bc=4,aa1=4,點(diǎn)d是ab的中點(diǎn),(i)求證:ac⊥bc1;(ii)求證:ac 1//平面cdb1;

3、面面平行(3)面面平行 設(shè)平面α,β的法向量分別為u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),則α∥β?

abc?__?________a=bc (a2b2c2≠0)_______.

222

1.如圖,在平行六面體abcd—a1b1c1d1中,m、p、q分別為棱ab、cd、bc的中點(diǎn),若平行六面體的各棱長均相等,則 ①a1m∥d1p; ②a1m∥b1q;

③a1m∥面dcc1d1;

④a1m∥面d1pqb1.

以上結(jié)論中正確的是________.(填寫正確的序號

)

2. 如圖所示,在正方體abcd?a1b1c1d1中,m、n分別是c1c、b1c1的中點(diǎn)。

求證:(1)mn//平面a1bd;(2)平面a1bd//平面b1d1c。

第三篇:第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

第二節(jié)用空間向量證明線線垂直與線面垂直

一、空間向量及其數(shù)量積

1、 在空間,既有大小又有方向的量稱為空間向量。用ab或a表示,其中向量的大小稱為向量的長度或

或a。正如平面向量可用坐標(biāo)(x,y.)表示,空間向量也可用坐標(biāo)(x,y,z)表示。若已知點(diǎn)a坐標(biāo)為(x1,y1,z1),點(diǎn)b坐標(biāo)為(x2,y2,z2) 則向量ab=(x2 -x1,y2- y1,z2 -z1)即是終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)。 222在空間,知道向量=(x,y,z

x?y?z ?2、 空間向量數(shù)量積

① 已知兩個非零向量a、b,在空間任取一點(diǎn)o,作oa=a,ob=b,則角∠aob叫向量a與b的夾角,記作<a,b>規(guī)定,若0≤<a,b>≤?,若<a,b>=

⊥。

② 已知空間兩個向量a、b

cos<a,b>叫向量a、b的數(shù)量積,記作a?b

cos<,>若⊥?a?=0

③ 若已知空間向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 則a?b=x1x2+y1y2+z1z2 ,

cos<a,

?,稱a與b垂直,記作a2?

??x1x2?y1y2?z1z2

x1?y1?z1?x2?y2?z2222222

例1 如圖,已知直三棱柱abc-a1b1c1中,∠bca=900,d1、e1分別為a1b1、a1c1中點(diǎn),若bc=ca=cc1,求向bd1與ae1所成角的余弦值。

b

d1 1c

6

練習(xí):已知正方體abcd—a1b1c1d1中,b1e1=d1f1=

f

c1b1

c

db

二 、利用向量證線線垂直與線面垂直

a1b1

,求向量be1與df1所成角的余弦值。 4

例2 在正方體abcd—a1b1c1d1中,求證a1c⊥平面ab1d1

cc

練習(xí):在正方體abcd—a1b1c1d1中,o為底面abcd的中心,p為dd1的中點(diǎn), 求證:b1o⊥平面pac。

a

例3 如圖,pa⊥矩形abcd所在平面,m, n分別是ab ,pc中點(diǎn) (1)求證:mn⊥cd

(2)若∠pda=45,求證:mn⊥平面pcd

6

n m

b

c

練習(xí):正方體abcd—a1b1c1d1中,m是棱d1d中點(diǎn),n是ad中點(diǎn), p為棱a1b1上任一點(diǎn)。求證:np⊥am

作業(yè):

a1

c1

m c 1.如圖,正方體abcd—a1b1c1d1中,e是bb1中點(diǎn),o是底面abcd中心,

求證:oe⊥平面d1ac.

2.如圖,正方體abcd—a1b1c1d1中,o ,m分別是bd1, aa1中點(diǎn),求證:om是異面直線aa1和bd1的公垂線.

da1

3、如圖,直三棱柱abc-—a1b1c1中,∠acb=90,ac=1,cb=2,側(cè)棱aa1=1,,側(cè)面aa1b1b的兩

條對角線交點(diǎn)為d,b1c1的中點(diǎn)為m。求證:cd⊥平面bdm

6

a1

1 b b1

4在棱長為a的正方體abcd—a1b1c1d1中,e, f分別為棱ab和bc的中點(diǎn),m為棱b1b

上任一點(diǎn),當(dāng)

b1m

值為多少時能使d1m⊥平面efb1 mb

a

e

5、如圖,?abc為正三角形,ae和cd都垂直于平面abc,且ae=ab=2a, cd=a,f為be中點(diǎn),求證:af⊥bd

c

a

6、如圖,已知直三棱柱abc-a1b1c1中b1c1=a1c1,a1b⊥ac1。 求證:a1b⊥b1c

6

a111

第四篇:用向量方法證明空間中的平行與垂直

用向量方法證明空間中的平行與垂直

1.已知直線a的方向向量為a,平面α的法向量為n,下列結(jié)論成立的是( c )

a.若a∥n,則a∥αb.若a·n=0,則a⊥α

c.若a∥n,則a⊥αd.若a·n=0,則a∥α

解析:由方向向量和平面法向量的定義可知應(yīng)選c.對于選項d,直線a?平面α也滿足a·n=0.

2.已知α,β是兩個不重合的平面,其法向量分別為n1,n2,給出下列結(jié)論:

①若n1∥n2,則α∥β;②若n1∥n2,則α⊥β;

③若n1·n2=0,則α⊥β;④若n1·n2=0,則α∥β.

其中正確的是( a )

a.①③b.①④

c.②③d.②④

→平行的一個向量的坐 3.(原創(chuàng))已知a(3,-2,1),b(4,-5,3),則與向量ab

標(biāo)是( c )

1a.(3,1,1)b. (-1,-3,2)

13c.(-2,2,-1)d.(2,-3,- 2)

→=(1,-3,2)=-2(-131), 解析:ab22

13→所以與向量ab平行的一個向量的坐標(biāo)是(-2,2,-1),故選c.

4.設(shè)l1的方向向量為a=(1,2,-2),l2的方向向量為b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則m等于 2 .

5.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k= 4 .

解析:因?yàn)棣痢桅,所?-2,-4,k)=λ(1,2,- 2),

所以-2=λ,k=-2λ,所以k=4.

→=(1,5,-2),bc→=(3,1,z).若ab→⊥bc→,bp→=(x-1,y,-3), 6.已知ab

4015且bp⊥平面abc,則實(shí)數(shù)x= 7,y= -7,z= 4 .

?→·→=x-1+5y+6=0解析:由已知?bpab

→·→=3?x-1?+y-3z=0?bpbc

4015解得x=7,y=-7z=4. →·→=3+5-2z=0abbc ,

7.(原創(chuàng))若a=(2,1,-3),b=(-1,5,3),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為 58 .

解析:因?yàn)閍·b=(2,1,-3)·(-1,5,3)=0,

所以a⊥b,又|a|=22,|b|29,

所以以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為

|a|·|b|=22×29=258.

8.如圖,平面pac⊥平面abc,△abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形,e,f,o分別為pa,pb,ac的中點(diǎn),ac=16,pa=pc=10.設(shè)g是oc的中點(diǎn),證明:fg∥平面boe

.

證明:如圖,連接op,因?yàn)閜a=pc,ab=bc,所以po⊥ac,bo⊥ac,

又平面pac⊥平面abc,所以可以以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以ob,oc,op所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz

.

則o(0,0,0),a(0,-8,0),b(8,0,0),c(0,8,0),p(0,0,6),e(0,-4,3),f(4, 0,3).由題意,得g(0,4,0).

→=(8,0,0),oe→=(0,-4,3), 因?yàn)閛b

設(shè)平面boe的一個法向量為n=(x,y,z),

→??n·ob=0?x=0則?,即?, →=0?-4y+3z=0?oe?n·

取y=3,則z=4,所以n=(0,3,4).

→=(-4,4,-3),得n·→=0. 由fgfg

又直線fg不在平面boe內(nèi),所以fg∥平面boe

.

9.如圖,四棱錐p-abcd的底面為正方形,側(cè)棱pa⊥底面abcd,且pa

=ad=2,e,f,h分別是線段pa,pd,ab的中點(diǎn).

(1)求證:pb∥平面efh;

(2)求證:pd⊥平面ahf

.

證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a-xyz,

所以a(0,0,0),b(2,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0),p(0,0,2),e(0,0,1),f(0,1,1),h(1,0,0).

→=(2,0,-2),eh→=(1,0,-1), (1)因?yàn)閜b

→=2eh→, 所以pb

因?yàn)閜b?平面efh,且eh?平面efh,

所以pb∥平面efh.

→=(0,2,-2),ah→=(1,0,0),af→=(0,1,1), (2)因?yàn)閜d

→·→=0×0+2×1+(-2)×1=0, 所以pdaf

→·→=0×1+2×0+(-2)×0=0, pdah

所以pd⊥af,pd⊥ah,

又因?yàn)閍f∩ah=a,所以pd⊥平面ahf.

第五篇:第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

一、二面角

二面角??l??,若?的一個法向量為m,?的一個法向量為n,則cos?,??,二面角的大小為?m,n?或???m,n?

例1.如圖,正三棱柱abc?a1b1c1中,e為bb1的中點(diǎn),aa1?a1b1,求平面a1ec與平面a1b1c1所成銳角的大小。

例2.(05年全國)如圖,在四棱錐v-abcd

vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd. (1)證明ab⊥平面vad;

(2)求面vad與面vbd所成的二面角的大。

練習(xí):如圖,棱長為1的正方體 abcd?a1b1c1d1中,e是cc1的中點(diǎn),

求二面角b?b

1e?d的余弦值。

12

二.證面面垂直

若平面?的一個法向量為,平面?的一個法向量為,且?,則???。

例3.在四棱錐p-abcd中,側(cè)面pcd是正三角形,且與底面abcd垂直,已知底面是面積為23的菱形,

?adc?600,m是pb的中點(diǎn)。

(1)求證:pa?cd

(2)求二面角p?ab?d的度數(shù); (3)求證:平面pab?平面cdm。

練習(xí):(04年遼寧)已知四棱錐p-abcd中,底面abcd是菱形,?dab?60?,pd?平面abcd,pd=ad,點(diǎn)e為ab的中點(diǎn),點(diǎn)f為 pd的中點(diǎn)。

(1)證明平面ped⊥平面pab;

(2)求二面角p-ab-f的平面角的余弦值.

作業(yè):

1.(04年廣東)如圖,在長方體abcd?a1b1c1d1中,

已知ab?4,ad?3,aa1?2,e,f分別是線段ab,bc上的點(diǎn),且eb?fb?1。 (。┣蠖娼莄-de-c1的正切值;

(ⅱ)求直線ec1與fd1所成角的余弦值。

13

2.(05年全國)已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形,ab∥dc,?dab?90?,pa?底面abcd,且pa=ad=dc=

ab=1,m是pb的中點(diǎn)。 2

(1)證明:面pad⊥面pcd; (2)求ac與pb所成的角;

(3)求面amc與面bmc所成二面角的大小。

3.已知四棱錐p-abcd的底面是邊長為2的正方形,側(cè)棱pa?底面abcd,pa=2,m、n分別是ad、bc的中點(diǎn),mq?pd于q

(1)求證:平面pmn?平面pad;

(2)求pm與平面pcd所成角的正弦值; (3)求二面角p?mn?q的余弦值。

4.(06年全國)如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ab=bc, d、e分別為bb1、ac1的中點(diǎn).

(1)證明:ed為異面直線bb1與ac1的公垂線; (2)設(shè)aa1=ac=2ab,求二面角a1-ad-c1的大。

14

c

b1 d

e

c

a

b

5. (04年浙江)如圖,已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互

相垂直,ab=,af=1,m是線段ef的中點(diǎn)。

(1)求證:am//平面bde; (2)求二面角a?df?b的大;

(3)試在線段ac上確定一點(diǎn)p,使得pf與bc所成的角是60?。

6.(05年湖南)如圖1,已知abcd是上.下底邊長分別為2和6,高為的等腰梯形,將它沿對稱軸oo1折成直二面角,如圖2.

(1)證明:ac⊥bo1;

(2)求二面角o-ac-o1的大小。

7.(06年山東)如圖,已知四棱錐p-abcd的底面abcd為 等腰梯形,ab∥dc,ac⊥bd,ac與bd相交于點(diǎn)o,且頂點(diǎn) p在底面上的射影恰為點(diǎn)o,又bo=2,po=,pb⊥pd. (1)求異面直線pd與bc所成角的余弦值; (2)求二面角p-ab-c的大; (3)設(shè)點(diǎn)m在棱pc上,且pc⊥平面bmd.

15

pm

??,問?為何值時, mc

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