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向量法證明正弦定理(精選多篇)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-22 10:41:48 | 移動端:向量法證明正弦定理(精選多篇)

第一篇:向量法證明正弦定理

向量法證明正弦定理

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

2

如圖1,△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于向量ac,則j與向量ab的夾角為90°-a,j與向量cb的夾角為90°-c

由圖1,ac+cb=ab(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│co(更多請搜索www.hmlawpc.com,解三角形。

評述:此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,先利用內(nèi)角和180°求出

第三角,再利用正弦定理.

7.能力提升

例2:在△abc中,

°,a=2,求b,b,c。

評述:此類問題結(jié)果為多解,學(xué)生容易產(chǎn)生漏解的情況,在此題的解題過程

中,讓學(xué)生自主練習(xí),然后在課堂上討論,通過相互交流,總結(jié)出存在多解的情況,應(yīng)與大邊對大角結(jié)合分情況討論,培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。

8.課堂總結(jié)

總結(jié)本堂課的內(nèi)容:正弦定理、正弦定理適用范圍、正弦定理應(yīng)該注意的問題

9.課后作業(yè)

(1)在?abc中,已知角

?b?45?,c?22,b???43,則角a的值是 ??a.15b.75c.105d.75或15

(2)在△abc中,若a?30?,b?60?,則a:b:c?

?b?60,b?76,a?14,則a=?abc (3)在中,若

?a?,b?2,b?45?abc (4)在中,已知,解三角形。

第三篇:向量證明正弦定理

向量證明正弦定理

表述:設(shè)三面角∠p-abc的三個面角∠bpc,∠cpa,∠apb所對的二面角依次為∠pa,∠pb,∠pc,則sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。

目錄

1證明2全向量證明

證明

過a做oa⊥平面bpc于o。過o分別做om⊥bp于m與on⊥pc于n。連結(jié)am、an。顯然,∠pb=∠amo,sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano,sin∠pc=ao/an。另外,sin∠cpa=an/ap,sin∠apb=am/ap。則sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。同理可證sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得證三面角正弦定理。

全向量證明

如圖1,△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于向量ac,則j與向量ab的夾角為90°-a,j與向量cb的夾角為90°-c

由圖1,ac+cb=ab(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理,過點c作與向量cb垂直的單位向量j,可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步驟1

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中,設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式。

3

用向量叉乘表示面積則s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(這部可以直接出來哈哈,不過為了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三級

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△abc中,證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,

4

過三角形abc的頂點a作bc邊上的高,垂足為d.(1)當(dāng)d落在邊bc上時,向量ab與向量ad的夾角為90°-b,向量ac與向量ad的夾角為90°-c,由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等,有數(shù)量積的幾何意義可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-b)=向量的ac絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)當(dāng)d落在bc的延長線上時,同樣可以證得

第四篇:用向量證明正弦定理

用向量證明正弦定理

如圖1,△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于向量ac,則j與向量ab的夾角為90°-a,j與向量cb的夾角為90°-c

由圖1,ac+cb=ab(向量符號打不出)

在向量等式兩邊同乘向量j,得·

j·ac+cb=j·ab

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

=│j││ab│cos(90°-a)

∴asinc=csina

∴a/sina=c/sinc

同理,過點c作與向量cb垂直的單位向量j,可得

c/sinc=b/sinb

∴a/sina=b/sinb=c/sinc

2步驟1

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中,設(shè)bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o于d.連接da.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其余兩個等式。

3

用向量叉乘表示面積則s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

=>absinc=bcsina(這部可以直接出來哈哈,不過為了符合向量的做法)

=>a/sina=c/sinc

201*-7-1817:16jinren92|三級

記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△abc中,證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,

4

過三角形abc的頂點a作bc邊上的高,垂足為d.(1)當(dāng)d落在邊bc上時,向量ab與向量ad的夾角為90°-b,向量ac與向量ad的夾角為90°-c,由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等,有數(shù)量積的幾何意義可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-b)=向量的ac絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)當(dāng)d落在bc的延長線上時,同樣可以證得

第五篇:用正弦定理證明三重向量積

用正弦定理證明三重向量積

作者:光信1002班 李立

內(nèi)容:通過對問題的討論和轉(zhuǎn)化,最后用正弦定理來證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先,根據(jù)叉乘的定義,a、b、a?b可以構(gòu)成一個右手系,而且對公式的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn),在公式中,a與b是等價的,所以我們不妨把a、b、a?b放在一個空間直角坐標(biāo)系中,讓a與b處于oxy面上,a?b與z軸同向。如草圖所示:

其中,向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解,即:

c?cz?cxy

將式子帶入三重向量積的公式中,發(fā)現(xiàn),化簡得:

(a?b)?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個式子等價

現(xiàn)在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況,其他的角度情況以此類推。

由圖易得,(a?b)?c與a、b共面,a與b不共線,不妨設(shè)(

a?b)?c?xa?yb,

a,cxy

?(

?

,?),b,cxy

?(0,

?

),所以:

在三角形中使用正弦定理,得

a?b)?csin[?-a,b]

?sin[

xa

?

yb

sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因為a?b)?c?abcsina,b

所以,解得k=abc, 于是解得:

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由圖示和假定的條件,(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負(fù)值,所以x,y都取負(fù)值,

所以,

(a?b)?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相對角度關(guān)系,以此類推,也能得到相同的答案,所以:

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b,命題得證。

小結(jié)論:當(dāng)直觀解答有困難時,可以通過分析轉(zhuǎn)化的方法來輕松地解決。

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