第一篇：初一平行線證明題
初一平行線證明題
用反證法
a平面垂直與一條直線，
設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為p
b平面垂直與一條直線，
設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為q
假設(shè)a和b不平行，那么一定有交點(diǎn)。
設(shè)有交點(diǎn)r，那么
做三角形pqr
pr垂直pqqr垂直pq
沒(méi)有這樣的三角形。因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180
所以a一定平行于b
證明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c證明:假使b、c不平行則b、c交于一點(diǎn)o又因?yàn)閍‖b,a‖c所以過(guò)o有b、c兩條直線平行于a這就與平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等，兩直線平行，可推出：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。因?yàn)閍‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推論)
2
“兩直線平行，同位角相等.”是公理，是無(wú)法證明的，書(shū)上給的也只是說(shuō)明而已，并沒(méi)有給出嚴(yán)格證明，而“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等“則是由上面的公理推導(dǎo)出來(lái)的，利用了對(duì)等角相等做了一個(gè)替換，上面兩位給出的都不是嚴(yán)格的證明。
一、怎樣證明兩直線平行證明兩直線平行的常用定理(性質(zhì))有:1.兩直線平行的判定定理:①同位角相等,兩直線平行;②內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;③同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;④平行(或垂直)于同一直線的兩直線平行.2、三角形或梯形的中位線定理.3、如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.4、平行四邊形的性質(zhì)定理.5、若一直線上有兩點(diǎn)在另一直線的同旁).(a)藝l=匕3(b)/2=藝3(c)匕4二藝5(d)匕2+/4=18)分析:利用平行線判定定理可判斷答案選c認(rèn)六一值!小人﹃夕叱的一試勺洲洲川jlze一b/(一、圖月一飛/匕一|求且它們到該直線的距離相等,則兩直線平行.例1(201*年南通市)已知:如圖l,下列條件中,不能判斷直線l,//l:的是(b).例2(201*年泉州市)如圖2,△注bc中,匕bac的平分線ad交bc于d,④o過(guò)點(diǎn)a,且和bc切于d,和ab、ac分別交b于e、f,設(shè)ef交ad于c,連結(jié)df.(l)求證:ef//bc
(1)根據(jù)定義。證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)。
由于兩個(gè)平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個(gè)平面平行較困難，因此通常用反證法證明。
(2)根據(jù)判定定理。證明一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行。
(3)根據(jù)“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”，證明兩個(gè)平面都與同一條直線垂直。
2.兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理不僅都與直線和平面的平行有邏輯關(guān)系，而且也和直線與直線的平行有密切聯(lián)系。就是說(shuō)，一方面，平面與平面的平行要用線面、線線的平行來(lái)判定;另一方面，平面
與平面平行的性質(zhì)定理又可看作平行線的判定定理。這樣，在一定條件下，線線平行、線面平行、面面平行就可以互相轉(zhuǎn)化。
3.兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線，它們都是互相平行的直線。夾在兩個(gè)平行平面之間的公垂線段相等。
因此公垂線段的長(zhǎng)度是唯一的，把這公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離。顯然這個(gè)距離也等于其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的垂線段的長(zhǎng)度。
兩條異面直線的距離、平行于平面的直線和平面的距離、兩個(gè)平行平面間的距離，都?xì)w結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離。
1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系，同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似，可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分。因此，空間不重合的兩個(gè)平面的位置關(guān)系有：
(1)平行—沒(méi)有公共點(diǎn);
(2)相交—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條直線。
注意：在作圖中，要表示兩個(gè)平面平行時(shí)，應(yīng)把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形畫(huà)成對(duì)應(yīng)邊平行。
2.兩個(gè)平面平行的判定定理表述為：
4.兩個(gè)平面平行具有如下性質(zhì)：
(1)兩個(gè)平行平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。
簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線面平行”。
(2)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。
簡(jiǎn)述為：“若面面平行,則線線平行”。
(3)如果兩個(gè)平行平面中一個(gè)垂直于一條直線，那么另一個(gè)也與這條直線垂直。
(4)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等
2
用反證法
a平面垂直與一條直線，
設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為p
b平面垂直與一條直線，
設(shè)平面和直線的交點(diǎn)為q
假設(shè)a和b不平行，那么一定有交點(diǎn)。
設(shè)有交點(diǎn)r，那么
做三角形pqr
pr垂直pqqr垂直pq
沒(méi)有這樣的三角形。因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180
所以a一定平行于b
第二篇：平行線性質(zhì)證明題
1、如圖ef∥ad，∠1=∠2，∠bac=70 o，求∠agd。
證明：∵ef∥ad，（已知）
∴∠2=.（）
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3.（等量代換）
∴ab∥（）
∴∠bac+=180 o .（∵∠bac=70 o
∴∠agd=.
6、如圖，a∥b，c∥d，∠1＝113°，求∠2、∠3的度數(shù)．
3、如下圖：∠3+∠4=180°，∠1=108°。求∠2的度數(shù)
4、已知：如圖，∠ade＝∠b，∠dec＝115°．求∠c的度數(shù)．
. ）
7、如圖，ab∥cd，∠1=45°，∠d=∠c，求∠d、∠c、∠b的度數(shù)．
5、如圖所示，已知∠b=∠c，ad∥bc，試說(shuō)明：ad平分∠cae
2、如圖，ab∥cd， ac⊥bc，∠bac =65°，求∠bcd的度數(shù).
參考答案
一、簡(jiǎn)答題
1、∠3（兩直線平行，同位角相等）；
dg(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，)
∠dgc(兩直線平行,同旁內(nèi)角相等)
110度
2、解
: ------------------------------1分
------------------------------3分
--------------------------------------------------5分
------------------------------6分
3、圖為∠3+∠4=180°（已知）
所以ab∥cd（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
因?yàn)閍b∥cd
所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
因?yàn)椤?=108°（已知）
所以∠2=108°（等量代換）
4、解：∵∠ade＝∠b
∴de∥bc
∴∠dec+∠c=180°
∴∠c=180°-∠dec =180°-115°=65°
5、∵ad∥bc，∴∠2=∠b，∠1=∠c。又∵∠b=∠c，∴∠1=∠2即ad平分∠cae
6、∠2＝113°．∠3＝67°．
∵ a∥b（已知）．
∴ ∠2＝∠1＝113°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）． ∵ c∥d（已知）．
∴ ∠4＝∠2＝113°（兩直線平行，同位角相等）． ∵ ∠3＋∠4＝180°（鄰補(bǔ)角定義），
∴ ∠3＝67°（等式性質(zhì)）．
7、∠d=∠c=45°，∠b=135°
第三篇：平行線的判定證明題
平行線的判定證明題
1)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等;(2)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等;(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;(2)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行;(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行。按這個(gè)判定，絕對(duì)沒(méi)錯(cuò)。這兩種的第一條都沒(méi)有辦法判定，而后兩條就完全可以按照第一條來(lái)判定，最后的結(jié)果一定是對(duì)的。
2
平行線的性質(zhì)：(1)兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等;(2)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等;(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線的判定定理：(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;(2)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行;(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行。
平行線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線叫做平行線。平行線的判定定理：(1)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行;(2)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行;(3)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行。
3
光學(xué)原理。
延長(zhǎng)ge角cd于q
因?yàn)椤?=∠3，所以ab∥cd
由ab∥cd可得∠1=∠gqd
又∠1=∠4
所以∠4=∠gqd
所以gq∥fh即：ge∥fh
因?yàn)椤?=∠3
所以ab∥cd
所以角cfe=角feb
所以大角hfe=大角feg
所以hf∥ge
4
)要證明ab∥gd，只要證明∠1=∠bad即可，根據(jù)∠1=∠2，只要再證明∠2=∠bad即可證得;
(2)根據(jù)ab∥cd，∠1：∠2：∠3=1：2：3即可求得三個(gè)角的度數(shù)，再根據(jù)∠eba與∠abd互補(bǔ)，可求得∠eba的度數(shù)，即可作出判斷.解答：解：(1)證明：∵ad⊥bc，ef⊥bc(已知)
∴∠efb=∠adb=90°(垂直的定義)
∴ef∥ad(同位角相等，兩直線平行)(2分)
∴∠2=∠bad(兩直線平行，同位角相等)(3分)
∵∠1=∠2，(已知)
∴∠1=∠bad(等量代換)
∴ab∥dg.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(4分)
(2)判斷：ba平分∠ebf(1分)
證明：∵∠1：∠2：∠3=1：2：3
∴可設(shè)∠1=k，∠2=2k，∠3=3k(k>0)
∵ab∥cd
∴∠2+∠3=180°(2分)
∴2k+3k=180°
∴k=36°
∴∠1=36°，∠2=72°(4分)
∴∠abe=72°(平角定義)
∴∠2=∠abe
∴ba平分∠ebf(角平分線定義).(5分)
第四篇：平行線證明題
平行線證明題
直線ab和直線cd平行
因?yàn)?∠aef=∠efd.所以ab平行于cd
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
em與fn平行因?yàn)閑m是∠aef的平分線,fn是∠efd的平分線,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd
因?yàn)?∠aef=∠efd，所以角mef=角efn
所以em與fn平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
2
第五章相交線與平行線試卷
一、填空題：
1、平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是或。
2、“兩直線平行，同位角相等”的題設(shè)是，結(jié)論是。
3、∠a和∠b是鄰補(bǔ)角，且∠a比∠b大200，則∠a=度，∠b=度。
4、如圖1，o是直線ab上的點(diǎn)，od是∠cob的平分線，若∠aoc=400，則∠bod=
0。
5、如圖2，如果ab‖cd，那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。
6、如圖3，圖中abcd-是一個(gè)正方體，則圖中與bc所在的直線平行的直線有條。
7、如圖4，直線‖，且∠1=280，∠2=500，則∠acb=0。
8、如圖5，若a是直線de上一點(diǎn)，且bc‖de，則∠2+∠4+∠5=0。
9、在同一平面內(nèi)，如果直線‖，‖，則與的位置關(guān)系是。
10、如圖6，∠abc=1200，∠bcd=850，ab‖ed，則∠cde0。
二、選擇題：各小題只有唯一一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)
11、已知：如圖7，∠1=600，∠2=1200，∠3=700，則∠4的度數(shù)是()
a、700b、600c、500d、400
12、已知：如圖8，下列條件中，不能判斷直線‖的是()
a、∠1=∠3b、∠2=∠3c、∠4=∠5d、∠2+∠4=1800
13、如圖9，已知ab‖cd，hi‖fg，ef⊥cd于f，∠1=400，那么∠ehi=()
a、400b、450c、500d、550
14、一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角()
a、相等b、相等或互補(bǔ)c、互補(bǔ)d、不能確定
15、下列語(yǔ)句中，是假命題的個(gè)數(shù)是()
①過(guò)點(diǎn)p作直線bc的垂線;②延長(zhǎng)線段mn;③直線沒(méi)有延長(zhǎng)線;④射線有延長(zhǎng)線。
a、0個(gè)b、1個(gè)c、2個(gè)d、3個(gè)
16、兩條直線被第三條直線所截，則()
a、同位角相等b、內(nèi)錯(cuò)角相等
c、同旁內(nèi)角互補(bǔ)d、以上結(jié)論都不對(duì)
17、如圖10，ab‖cd，則()
a、∠bad+∠bcd=1800b、∠abc+∠bad=1800
c、∠abc+∠bcd=1800d、∠abc+∠adc=1800
18、如圖11，∠abc=900，bd⊥ac，下列關(guān)系式中不一定成立的是()
a、ab>adb、ac>bcc、bd+cd>bcd、cd>bd
19、如圖12，下面給出四個(gè)判斷：①∠1和∠3是同位角;②∠1和∠5是同位角;③∠1和∠2是同旁內(nèi)角;④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角。其中錯(cuò)誤的是()
a、①②b、①②③c、②④d、③④
三、完成下面的證明推理過(guò)程，并在括號(hào)里填上根據(jù)
21、已知，如圖13，cd平分∠acb，de‖bc，∠aed=820。求∠edc的度數(shù)。
證明：∵de‖bc(已知)
∴∠acb=∠aed()
∠edc=∠dcb()
又∵cd平分∠acb(已知)
∴∠dcb=∠acb()
又∵∠aed=820(已知)
∴∠acb=820()
∴∠dcb==410()
∴∠edc=410()
22、如圖14，已知aob為直線，oc平分∠bod，eo⊥oc于o。試說(shuō)明：oe平分∠aod。
解：∵aob是直線(已知)
∴∠boc+∠cod+∠doe+∠eoa=1800()
又∵eo⊥oc于o(已知)
∴∠cod+∠doe=900()
∴∠boc+∠eoa=900()
又∵oc平分∠bod(已知)
∴∠boc=∠cod()
∴∠doe=∠eoa()
∴oe平分∠aod()
四、解答題：
23、已知，如圖16，ab‖cd，gh是相交于直線ab、ef的直線，且∠1+∠2=1800。試說(shuō)明：cd‖ef。
24、如圖18，已知ab‖cd，∠a=600，∠ecd=1200。求∠eca的度數(shù)。
五、探索題(第27、28題各4分，本大題共8分)
25、如圖19，已知ab‖de，∠abc=800，∠cde=1400。請(qǐng)你探索出一種(只須一種)添加輔助線求出∠bcd度數(shù)的方法，并求出∠bcd的度數(shù)。
26、閱讀下面的材料，并完成后面提出的問(wèn)題。
(1)已知，如圖20，ab‖df，請(qǐng)你探究一下∠bcf與∠b、∠f的數(shù)量有何關(guān)系，并說(shuō)明理由。
(2)在圖20中，當(dāng)點(diǎn)c向左移動(dòng)到圖21所示的位置時(shí)，∠bcf與∠b、∠f又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?
(3)在圖20中，當(dāng)點(diǎn)c向上移動(dòng)到圖22所示的位置時(shí)，∠bcf與∠b、∠f又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?
(4)在圖20中，當(dāng)點(diǎn)c向下移動(dòng)到圖23所示的位置時(shí)，∠bcf與∠b、∠f又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?
分析與探究的過(guò)程如下：
在圖20中，過(guò)點(diǎn)c作ce‖ab
∵ce‖ab(作圖)
ab‖df(已知)
∴ab‖ec‖df(平行于同一條直線的兩條直線平行)
∴∠b+∠1=∠f+∠2=1800(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))
∴∠b+∠1+∠2+∠f=3600(等式的性質(zhì))
即∠bcf+∠b+∠f=3600
在圖21中，過(guò)點(diǎn)c作ce‖ab
∵ce‖ab(作圖)
ab‖df(已知)
∴ab‖ec‖df(平行于同一條直線的兩條直線平行)
∴∠b=∠1，∠f=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)
∴∠b+∠f=∠1+∠2(等式的性質(zhì))
即∠bcf=∠b+∠f
直接寫(xiě)出第(3)小題的結(jié)論：(不須證明)。
由上面的探索過(guò)程可知，點(diǎn)c的位置不同，∠bcf與∠(更多內(nèi)容請(qǐng)?jiān)L問(wèn)好范 文網(wǎng)www.hmlawpc.comf∥ab
∴∠aem=∠a
又∵ab∥cd
∴ef∥cd
∴∠mfc=∠c
又∠aec=∠aem+∠mec
∴∠aec=∠a+∠c
證法二：延長(zhǎng)ae交ab于f
∵ab∥cd
∴∠a=∠afc
又∠aec=∠c+∠afc
∴∠aec=∠a+∠c
證法三：延長(zhǎng)ce交ab于f
(略，與證法二類似)
證法四：連接ac
∵ab∥cd
∴∠bac+∠acd=180°
即∠bae+∠eac+∠ace+∠ecd=180°
又∠eac+∠ace+∠aec=180°
∴∠aec=∠bae+∠ecd
※通過(guò)一題多證，加深了學(xué)生對(duì)平行線的特征的理解和運(yùn)用。
例題2(一題多變)已知ab∥cd,
如果改變e點(diǎn)與ab、cd的位置關(guān)系，且∠e、∠a、∠c依然存在，有哪幾種情況?請(qǐng)畫(huà)出圖形，并證明
圖1中結(jié)論，∠aec+∠a+∠c=360°
證：過(guò)點(diǎn)e作ef∥ab
∵ab∥cd
∴ef∥cd
∴∠a+∠aef=180°,∠fec+∠c=180°
∴∠a+∠aef+∠fec+∠c=360°
即∠aec+∠a+∠c=360°
圖2中結(jié)論，∠aec=∠c-∠a
證：過(guò)點(diǎn)e作ef∥ab
∵ab∥cd
∴ef∥cd
∴∠fea+∠a=180°
∠fec+∠c=180°
∴∠fea-∠fec=∠c-∠a
即∠aec=∠c-∠a
圖3中結(jié)論，∠aec=∠a-∠c
證：過(guò)點(diǎn)e作ef∥ab
∵ab∥cd
∴ef∥cd
∴∠fea+∠a=180°
∠fec+∠c=180°
∴∠fec-∠fea=∠a-∠c
即∠aec=∠a-∠c
例題3(一題多變)將例1和例2的條件和結(jié)論對(duì)換，以上結(jié)論都成立重點(diǎn)練習(xí)平行線的性質(zhì)和判斷(證明過(guò)程略)
圖形條件結(jié)論∠aec=∠a+∠cab∥cd∠aec+∠a+∠c=360°ab∥cd∠aec=∠c-∠aab∥cd∠aec=∠a-∠cab∥cd拓展延伸
觀察以下二個(gè)圖形，這些拐角之間的關(guān)系有什么規(guī)律?
提示：分別過(guò)e1，e2，e3……en作ab的平行線即可證得
※結(jié)論：向左凸出的角的和=向左凸出的角的和
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