第一篇：中心極限定理證明

中心極限定理證明

一、例子

高爾頓釘板試驗.

圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.

如果定義:當?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨立的,且

那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當越來越大時接近程度越好.由于時,.因此,顯然應考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個證明了二項分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.

二、中心極限定理

設是獨立隨機變量序列,假設存在,若對于任意的,成立

稱服從中心極限定理.

設服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.

解:服從中心極限定理,則表明

其中.由于,因此

故服從中心極限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理

在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),則

用頻率估計概率時的誤差估計.

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,

由此即得

第一類問題是已知,求,這只需查表即可.

第二類問題是已知,要使不小于某定值,應至少做多少次試驗?這時利用求出最小的.

第三類問題是已知,求.

解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計:.

拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點的概率與之差不超過0.01,問需要拋擲多少次?

解:由例4中的第二類問題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得.由此可見,利用比利用契比曉夫不等式要準確得多.

已知在重貝努里試驗中,事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率為為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項分布:

的隨機變量.求.

解:

因為很大,于是

所以

利用標準正態(tài)分布表,就可以求出的值.

某單位內(nèi)部有260架電話分機,每個分機有0.04的時間要用外線通話,可以認為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的,問總機要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

解:以表示第個分機用不用外線,若使用,則令;否則令.則.

如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數(shù)為,顯然有.由題意得,

查表得,,故取.于是

取最接近的整數(shù),所以總機至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.

根據(jù)孟德爾遺傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.

解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗,并假定各次試驗是獨立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.

由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有

其中,即有

四、林德貝格-勒維中心極限定理

若是獨立同分布的隨機變量序列,假設,則有

證明:設的特征函數(shù)為,則

的特征函數(shù)為

又因為,所以

于是特征函數(shù)的展開式

從而對任意固定的,有

而是分布的特征函數(shù).因此,

成立.

在數(shù)值計算時,數(shù)用一定位的小數(shù)來近似,誤差.設是用四舍五入法得到的小數(shù)點后五位的數(shù),這時相應的誤差可以看作是上的均勻分布.

設有個數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令

用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,

以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有

設為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.

證明:為獨立同分布的隨機變量序列,且互相獨立,所以仍是獨立同分布的隨機變量序列,易知有

由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.

作業(yè):

p222ex32,33,34,35

五、林德貝爾格條件

設為獨立隨機變量序列,又

令,對于標準化了的獨立隨機變量和

的分布

當時,是否會收斂于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.這時就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應該對隨機變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項是起突出作用.由此認為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項中不應該有這種起突出作用的加項.因為考慮加項個數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地斜.

設是獨立隨機變量序列,又,,這時

(1)若是連續(xù)型隨機變量,密度函數(shù)為,如果對任意的,有

(2)若是離散型隨機變量,的分布列為

如果對于任意的,有

則稱滿足林德貝爾格條件.

以連續(xù)型情形為例,驗證:林德貝爾格條件保證每個加項是“均勻地斜.

證明:令,則

于是

從而對任意的,若林德貝爾格條件成立,就有

這個關(guān)系式表明,的每一個加項中最大的項大于的概率要小于零,這就意味著所有加項是“均勻地斜.

六、費勒條件

設是獨立隨機變量序列,又,,稱條件為費勒條件.

林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費勒指出若費勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.

七、林德貝爾格-費勒中心極限定理

引理1對及任意的,

證明:記,設,由于

因此,,其次,對,

用歸納法即得.

由于,因此,對也成立.

引理2對于任意滿足及的復數(shù),有

證明:顯然

因此,

由歸納法可證結(jié)論成立.

引理3若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地

證明定義隨機變量

其中相互獨立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸獨立,不難驗證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知成立.

林德貝爾格-費勒定理

定理設為獨立隨機變量序列,又.令,則

(1)

與費勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.

證明:(1)準備部分

記

(2)

顯然(3)

(4)

以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么(5)

這時

因此林德貝爾格條件化為:對任意,

(6)

現(xiàn)在開始證明定理.設是任意固定的實數(shù).

為證(1)式必須證明

(7)

先證明,在費勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價的:

(8)

事實上,由(3)知,又因為

故對一切,

把在原點附近展開,得到

因若費勒條件成立,則對任意的,只要充分大,均有

(9)

這時

(10)

對任意的,只要充分小,就可以有

(11)

因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有

(12)

因為可以任意小,故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價性.

(2)充分性

先證由林德貝爾格條件可以推出費勒條件.事實上,

(13)

右邊與無關(guān),而且可選得任意小;對選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當足夠大時,也可以任意地小,這樣,費勒條件成立.

其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,

當時,

當時,

因此

(14)

對任給的,由于的任意性,可選得使,對選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過費勒條件成立,這時(8)與(7)是等價的,因而(7)也成立.

(3)必要性

由于(1)成立,因此相應的特征函數(shù)應滿足(7).但在費勒條件成立時,這又推出了(8),因此,

(15)

上述被積函數(shù)的實部非負,故

而且

(16)

因為對任意的,可找到,使,這時由(15),(16)可得

故林德貝爾格條件成立.

八、李雅普諾夫定理

設為獨立隨機變量序列,又.令,若存在,使有

則對于任意的,有

第二篇：大數(shù)定理中心極限定理證明

一，大數(shù)定律的證明

二，中心極限定理的證明

第三篇：中心極限定理

5.3中心極限定理

我們曾特別強調(diào)了正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的地位與作用.為什么客觀實際中許多隨機變量服從正態(tài)分布?是經(jīng)驗猜測還是確有科學的理論依據(jù)，下面我們就來解釋這一問題.

我們已經(jīng)知道，炮彈的彈著點射擊誤差服從正態(tài)分布，我們來分析其原因.要知道誤差是什么樣的隨機變量，有必要研究一下造成誤差的原因是什么?每次射擊后，炮彈會因為震動而造成很微小的偏差x1，炮彈外形細小的差別而引起空氣阻力不同而出現(xiàn)的誤差x2，炮彈前進時遇到的空氣流的微小擾動而造成的誤差x3，……等等，有許多原因，每種原因引起一個微小的誤差都是隨機的，而彈著點的總誤差x是許多隨機誤差的總和，即x=?xk,而且xk之間可以看成是相互獨立的，因此要討論x的分布就要討論這些相互獨

k

立的隨機變量之和的分布.

在概率論中，我們把研究在一定條件下，大量獨立隨機變量和的極限分布是正態(tài)分布的那些定理通常叫做中心極限定理.本節(jié)只介紹兩個條件簡單，也較常用的中心極限定理.

定理4（同分布中心極限定理）設隨機變量x1，x2，…,xn…相互獨立，服從同一分布，且具有有限的數(shù)學期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=???(k=1,2,…)則隨機變量

2?xk-n? k=1

?n的分布函數(shù)對任意的x，滿足

n?? n?? ?xk-n? k=1 ?n?x1 ?2 ?? e-? x t2

2dt

第四篇：中心極限定理應用

中心極限定理及其應用

【摘要】中心極限定理的產(chǎn)生具有一定的客觀背景，最常見的是德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表明了當n充分大時，方差存在的n個獨立同分布的隨機變量和近似服從正態(tài)分布，在實際中的應用相當廣泛。本文討論了中心極限定理的內(nèi)容、應用與意義。

【關(guān)鍵詞】：中心極限定理 正態(tài)分布 隨機變量

一、概述

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律性的學科。隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同條件下進行大量重復的實驗才會呈現(xiàn)出來，而研究大量的隨機現(xiàn)象常常采用極限的形式，由此導致了對極限定理的研究。極限定理的內(nèi)容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一部分內(nèi)容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨立的隨機變量序列x1、x2、…xn、…的部分和的分布律：當n→∞時的極限符合正態(tài)分布。因此中心極限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應用。

二、定理及應用

1、定理一（林德貝格—勒維定理）

若?

k1，=a,?2，…是一列獨立同分布的隨機變量，且e?d?

k=k??x2(?2>0) ,k=1,2,…則有l(wèi)imp(k?1

n????n?na?x)??n

n12???e?t22dt。

當n充分大時，??k?1k?na

?n~n（0,1），k?1??nk~n（na,n?） 2

2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理）

在n重伯努利試驗中,事件a在每次試驗中出現(xiàn)的概率為錯誤！未找到引用源。, 錯誤！未

?找到引用源。為n次試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù),則limp(n??n?npnpq?x)??2?1x??e?t22dt

其中q?1?p。這個定理可以簡單地說成二項分布漸近正態(tài)分布，因此當n充分大時，可

以利用該定理來計算二項分布的概率。

同分布下中心極限定理的簡單應用

獨立同分布的中心極限定理可應用于求隨機變量之和sn落在某區(qū)間的概率和已知隨機變量之和sn取值的概率，求隨機變量的個數(shù)。

例1：設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立且服從相同的分布，其數(shù)學期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少?

解：設xi(i=1，2，…，5000)表示第i個零件的重量x1，x2，…，x5000獨立同分布且e(xi)=0.5，d(xi)=0.12。

由獨立同分布的中心極限定理可知

[3]

=i-φ（1.414）=1-0.9215

=0.0785

例2：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的且同分布，設每箱平均重50kg，標準差為5kg，若用最大載重為50噸的汽車承運，每輛車最多可以裝多少箱才能保證不超載的概率大于0.977？

解：設xi(i=1，2，…，n)是裝運第i箱的重量，n為所求箱數(shù)。由條件可把x1，x2，…，xn看作獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量為tn=x1+x2+…+xn，是獨立同分布的隨機變量之和。

由e(xi)=50、d(xi)=52得：e(tn)=50n，d(tn)=52n

根據(jù)獨立同分布的中心極限定理：

[3]

即最多可以裝98箱。

例3：報名聽心理學課程的學生人數(shù)k是服從均值為100的泊松分布的隨機變量，負責這門課的教授決定，如果報名人數(shù)不少于120，就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個班的概率是多少?

分析：該教授講授兩個班的情況出現(xiàn)當且僅當報名人數(shù)x不少于120，精確解為p（x≥120）=e-100 100i/i！很難求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值為100的泊松分布隨機變量等于100個均值為1的獨立泊松分布隨機變量之和，即x= xi，其中每個xi具有參數(shù)1的泊松分布，則我們可利用中心極限定理求近似解。 [2]

解：可知e(x)=100，d(x)=100

教授講授兩個班的概率是0.023。

例4：火炮向目標不斷地射擊，若每次射中目標的概率是0、1。

(1)求在400次射擊中擊中目標的次數(shù)在區(qū)間［30，50］內(nèi)的概率。

(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標的次數(shù)超過10次的概率不小于0.9？

分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實驗。 [1]即

我們知道，正態(tài)分布可近似于二項分布，而且泊松分布可近似于二項分布，當二項分布b(n，p)，n較大、p較小時可用泊松分布估計近似值。如果p接近1，有q=l-p很小，這時也可用泊松分布計算；但是當n較大，p不接近0或1時，再用泊松分布估計二項分布的概率就不夠精確了，這時應采用拉普拉斯定理來計算。

解：(1)設在射擊中擊中目標的次數(shù)為yn，所求概率(30≤yn<50)等于：

最小正整數(shù)n=147就是所要求的最小射擊數(shù)。

以上例子都是獨立同分布的隨機變量，可以用中心極限定理近似估算，但是如果不同分布，中心極限定理是否也成立呢?

李雅普諾夫定理

當隨機變量xi獨立，但不一定同分布時，中心極限定理也成立。定理3[2](李雅普諾夫定理)：

設x1，x2，…，xn，…為獨立隨機變量序列，且e(xn)=an，d(xn)=σn2存在，bn2= σn2（n=1，2，…），若存在δ>0，使得：

也就是說，無論各個隨機變量xi服

從什么分布，只要滿足李雅普諾夫條件，當n很大時，它們的和近似服從正態(tài)分布。 由于在大學本科階段接觸的不同分布的樣本較少，本文對它的應用將不舉例說明。

中心極限定理以嚴格的數(shù)學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本均值總是近似地服從正態(tài)分布。正是這個結(jié)論使得正態(tài)分布在生活中有著廣泛的應用。

四、中心極限定理的意義

首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要n足夠大，便可以把獨立同分布的隨機變量和的標準化當作正態(tài)變量，所以可以利用它解決很多實際問題，同時這還有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定理對于其他學科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)（區(qū)間）估計、假設檢驗、抽樣調(diào)查等；進一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計在統(tǒng)計學中的應用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征

值的抽樣分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機樣本數(shù)據(jù)，幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計的全部處理問(更多內(nèi)容請訪問好范 文網(wǎng)www.hmlawpc.comit theorems）

什么是中心極限定理

大數(shù)定律揭示了大量隨機變量的平均結(jié)果，但沒有涉及到隨機變量的分布的問題。而中心極限定理說明的是在一定條件下，大量獨立隨機變量的平均數(shù)是以正態(tài)分布為極限的。

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一。它提出，大量的獨立隨機變量之和具有近似于正態(tài)的分布。因此，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么有很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形(即正態(tài))曲線這一事實，因此中心極限定理這個結(jié)論使正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有很重要的地位，也使正態(tài)分布有了廣泛的應用。

中心極限定理的表現(xiàn)形式

中心極限定理也有若干個表現(xiàn)形式，這里僅介紹其中四個常用定理：

（一）辛欽中心極限定理

設隨機變量相互獨立，服從同一分布且有有限的數(shù)學期望a和方差σ2，則

隨機變量，在n無限增大時，服從參數(shù)為a

和的正態(tài)分布即n→∞時，

將該定理應用到抽樣調(diào)查，就有這樣一個結(jié)論：如果抽樣總體的數(shù)學期望a和方差σ2是有限的，無論總體服從什么分布，從中抽取容量為n的樣本時，只要n足夠大，其樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學期望為a，方差為σ2 / n的正態(tài)分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心極限定理

設μn是n次獨立試驗中事件a發(fā)生的次數(shù)，事件a在每次試驗中發(fā)生的概率為p，則當n無限大時，頻率設μn / n

趨于服從參數(shù)為的正態(tài)分布。即：

該定理是辛欽中心極限定理的特例。在抽樣調(diào)查中，不論總體服從什么分布，只要n充分大，那么頻率就近似服從正態(tài)分布。

（三）李亞普洛夫中心極限定理

設

差：是一個相互獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數(shù)學期望和方

。

記，如果能選擇這一個正數(shù)δ>0，使當n→∞

時，

，則對任意的x有：

該定理的含義是：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素影響所造成的，而每一個別因素在總影響中所起的作用不很大，則這個量服從或近似服從正態(tài)分布。

（四）林德貝爾格定理

設是一個相對獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數(shù)學期望和方差 滿足林德貝爾格條件，則當n→∞時，對任意的x

，有

。

中心極限定理案例分析

案例一：中心極限定理在商業(yè)管理中的應用

水房擁擠問題：假設西安郵電學院新校區(qū)有學生5000人，只有一個開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學排長隊的現(xiàn)象，為此校學生會特向后勤集團提議增設水龍頭。假

設后勤集團經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學生在傍晚一般有1％的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個，現(xiàn)在總務處遇到的問題是：

（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？

（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？

解：（1）設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數(shù)為x，則

x～b（5000，0.01）

擁擠的概率是

有定理2，n=5000，p=0.01，q=0.985

，

故

即擁擠的概率

p(ζ > 45) = 1 ? 0.2389 = 0.7611

（2）欲求m

，使得

即

由于

即

查表

即

需裝62個水龍頭。

問題的變形：

（3）至少安裝多少個水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？

解：欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥66.4

故需要裝67個水龍頭。

（4）若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個，其余的條件不變,1,2兩問題結(jié)果如何？解：（1）

（2）同上。

（5）若條件中的每個學生占用由1%提高到1.5%，其余的條件不變，則（1），

（2）兩問題結(jié)果如何?

解：(1)設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數(shù)為x，則

x-b(5000，0.015)

已知n=5000，p=0.015，q=0.985，np=75

，

擁擠的概率達

(2)欲求m，使得

即

由

即

查表

即m≥89.14

故需裝90個水龍頭。

中心極限定理以嚴格的數(shù)學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體的分布如何，樣本的均值總是近似地服從正態(tài)分布。如果一個隨機變量能夠分解為獨立同分布的隨機變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進行解決�？傊�，恰當?shù)厥褂弥行臉O限定理解決實際問題有著極其重要意義。

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