高一數學總復習知識點總結--必修5

高中數學必修5知識點

第一章：解三角形

知識點：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsinacsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

222，sinb，sinCc；（正弦定理的變形經常用在有三角函數的等式中）

4、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

cab2abcosC．

2225、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；

②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形．技巧：

6種類型:①已知三個角（AAA）不能求解

②已知兩個角和一個角的對邊（AAS）利用正弦定理和內角和定理（一解）③已知兩個角和他們的夾邊（ASA）利用正弦定理和內角和定理（一解）

④已知兩條邊和一邊的對角（SSA）利用正弦定理和內角和定理（一解或兩解或無解）⑤已知兩條邊的他們的夾角（SAS）利用余弦定理和內角和定理（一解）⑥已知三條邊（SSS）利用余弦定理和內角和定理（一解）

對于復雜的圖形可以把復雜的圖形獨立畫出一些簡單的三角形出來獨立求解。

第二章：數列

1、數列：按照一定順序排列著的一列數．2、數列的項：數列中的每一個數．3、有窮數列：項數有限的數列．4、無窮數列：項數無限的數列．

5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．7、常數列：各項相等的數列．

8、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．9、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式．

10、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．

11、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．

12、由三個數a，，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為a與b的等差中項．若

bac2，則稱b為a與c的等差中項．

13、若等差數列an的首項是a1，公差是d，則ana1n1d．通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dana1n1；④nana1d1；⑤danamnm．

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14、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差數列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq．15、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2nn12；②Snna1d．

16、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．②若項數為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇S偶nn1（其中

S奇nan，S偶n1an）．

17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．

18、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若G2ab，則稱G為a與b的等比中項．

19、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．20、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

21、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等比數列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q122、等比數列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1qS偶q．23、等比數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則S奇n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列．

2一些方法：

一、求通項公式的方法：

1、由數列的前幾項求通項公式：待定系數法

①若相鄰兩項相減后為同一個常數設為anknb，列兩個方程求解；

2②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數設為ananbnc，列三個方程求解；

③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數設為anaqnb，q為相除后的常數，列兩個方程求解；

2、由遞推公式求通項公式：

①若化簡后為an1and形式，可用等差數列的通項公式代入求解；②若化簡后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解；

③若化簡后為an1anq形式，可用等比數列的通項公式代入求解；

④若化簡后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數列{anx}是等比數列，用等比數列求解{anx}的通項公式，再反過來求原來那個。（其中x是用待定系數法來求得）3、由求和公式求通項公式：

①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數寫。二、等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）ak0a10①若，則Sn有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足

d0a0k1第2頁共4頁

ak0a10②若，則Sn有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足

d0a0k1三、數列求和的方法：①疊加法；

②錯位相減法；

③分式時拆項累加相約法；

④一項內含有多部分的拆開分別求和法；四、綜合性問題中

①等差數列中一些在加法和乘法中設一些數為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；

a②等比數列中一些在加法和乘法中設一些數為aq和類型，這樣可以相乘約掉。

q第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比較兩個數的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數法等等。

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．

4、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：

判別式b4ac

201*

二次函數yaxbxc

2a0的圖象

有兩個相異實數根

一元二次方程axbxc0

2

有兩個相等實數根

a0的根

axbxc0

一元二次不等式的解集

2x1,2b2a

x1x2b2a

沒有實數根

x1a0

axbxc0

2x2

xxx1或xx2

bxx

2aRa0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．

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9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域．

10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．11、設a、b是兩個正數，則

ab2稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

ab2ab．

12、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即13、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；

22②abab222a,bR；

2222ababab③ab；④a0,b022214、極值定理：設x、y都為正數，則有

a,bR．

s42⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．p．

⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2

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集合

（）元素與集合的關系：屬于（）和不屬于（）12）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素（（3）集合的分類：按集合中元素的個數多少分為：有限集、無限集、空集4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質描述）、圖示法、區(qū)間法（子集：若xAxB，則AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，真子集有(2n-1)個。2、任何一個集合是它本身的子集，即AA注關系3、對于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），則A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB運算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義：CAx/xU且xAAU補集性質：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU

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函數

映射定義：設A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：B為從集合A到集合B的一個映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個變量x,y,并且對于x在某個范圍內的每一個確定的值，定義按照某個對應關系f,y都有唯一確定的值和它對應。那么y就是x的函數。記作yf(x).近代定義：函數是從一個數集到另一個數集的映射。定義域函數及其表示函數的三要素值域對應法則解析法函數的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調性導數定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；函數（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數yf(x)的最大值函數的基本性質最值最小值：設函數yf(x)的定義域為I，如果存在實數N滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數，其圖象關于原點對稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數，其圖象關于y軸對稱。奇偶函數的定義域關于原點對稱周期性：在函數f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數)則f(x)叫做周期函數，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期（1）描點連線法：列表、描點、連線向左平移個單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個單位：yy,xaxyf(xa)平移變換向上平移b個單位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b個單位：xx,y11byybf(x)橫坐標變換：把各點的橫坐標x1縮短（當w1時）或伸長（當0w1時）到原來的1/w倍（縱坐標不變），即x1wxyf(wx)伸縮變換縱坐標變換：把各點的縱坐標y伸長（A1)或縮短（0A1)到原來的A倍1函數圖象的畫法（橫坐標不變），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x12x0x2）變換法關于點(x,y)對稱：2y0yf(2x0x)00yy12y0y12y0yxx12x0x12x0x關于直線xx0對稱：yf(2x0x)yy1y1y對稱變換xx1xx關于直線yy0對稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1關于直線yx對稱：yf1(x)yy1

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附：

一、函數的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數大于等于零；3、對數的真數大于零；4、指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；5、三角函數正切函數ytanx中xk2(kZ)；余切函數ycotx中；6、如果函數是

由實際意義確定的解析式，應依據自變量的實際意義確定其取值范圍。二、函數的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數法；4、函數方程法；5、參數法；6、配方法三、函數的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調性法；7、直接法四、函數的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法五、函數單調性的常用結論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數，則f(x)g(x)在這個區(qū)間上也為增（減）函數2、若f(x)為增（減）函數，則f(x)為減（增）函數

3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則yf[g(x)]是增函數；若f(x)與g(x)的單調性不同，則yf[g(x)]是減函數。

4、奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反。

5、常用函數的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。六、函數奇偶性的常用結論：

1、如果一個奇函數在x0處有定義，則f(0)0，如果一個函數yf(x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個奇（偶）函數之和（差）為奇（偶）函數；之積（商）為偶函數。3、一個奇函數與一個偶函數的積（商）為奇函數。

4、兩個函數yf(u)和ug(x)復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該復合函數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。

5、若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(x)可以表示為f(x)特點是：右端為一個奇函數和一個偶函數的和。

11[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，該式的22

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零點：對于函數yf（x）,我們把使f(x)0的實數x叫做函數yf(x)的零點。定理：如果函數yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,零點與根的關系那么，函數yf(x)在區(qū)間[a,b]內有零點。即存在c(a,b),使得f(c)0,這個c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）關系：方程f(x)0有實數根函數yf(x)有零點函數yf(x)的圖象與x軸有交點(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)0,給定精確度；函數與方程(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;函數的應用(3)計算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,則c就是函數的零點；②若f(a)f(c)0,則令b（此時零點cx(a,b)）；0③若f(c)f(b)0,則令a（此時零點cx(c,b)）；0(4)判斷是否達到精確度：即若a-b,則得到零點的近似值a(或b);否則重復24。幾類不同的增長函數模型函數模型及其應用用已知函數模型解決問題建立實際問題的函數模型mna,n為根指數，a為被開方數根式：nmaan分數指數冪arasars(a0,r,sQ)指數的運算rs指數函數rs性質(a)a(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數yax(a0且a1)叫做指數函數。指數函數性質：見表1對數：xlogaN,a為底數，N為真數loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數logaMlogaMlogaN;.N對數的運算性質nnlogM;(a0,a1,M0,N0)logM對數函數aalogcb換底公式：logb(a,c0且a,c1,b0)alogac對數函數定義：一般地把函數ylogax(a0且a1)叫做對數函數性質：見表1

定義：一般地，函數yx叫做冪函數，x是自變量，是常數。冪函數性質：見表2第4頁共4頁

指數函數yaxa0,a1xR對數數函數ylogaxa0,a1x0,定義域值域y0,yR圖象過定點(0,1)過定點(1,0)減函數增函數減函數增函數x(,0)時，y(1,)x(,0)時，y(0,1)x(0,1)時，y(0,)x(0,1)時，y(,0)x(0,)時，y(1,)x(0,)時，y(0,1)x(1,)時，y(,0)x(1,)時，y(0,)性質abababab第5頁共5頁

冪函數yx(R)pq00111p為奇數q為奇數奇函數p為奇數q為偶數p為偶數q為奇數偶函數第一象限性質減函數增函數（0，1）過定點

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一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當0,90時，k0；當90,180②過兩點的直線的斜率公式：k時，k0；當90時，k不存在。

y2y1(x1x2)

x2x1注意下面四點：(1)當x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1

注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2y2y1x2x1xy1ab其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數）；平行于y軸的直線：xa（a為常數）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數）的直線系：A0xB0yC0（C為常數）（二）過定點的直線系（）斜率為k的直線系：（）過兩條直線l1:yy0kxx0，直線過定點x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數）（6）兩直線平行與垂直

當l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

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A1xB1yC10交點坐標即方程組的一組解。A2xB2yC20方程組無解l1//l2；方程組有無數解則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

l1與l2重合

（8）兩點間距離公式：設A(x1,y1)，（是平面直角坐標系中的兩個點，Bx2,y2）（9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標準方程xaybr，圓心

222a,b，半徑為r；

22（2）一般方程xyDxEyF0

1DE，半徑為當DE4F0時，方程表示圓，此時圓心為rD2E24F,22222當DE4F0時，表示一個點；當DE4F0時，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位。3、直線與圓的位關系：

直線與圓的位關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為dAaBbC，則有

22AB2222drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

（2）設直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令

其中的判別式為，則有

0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

2注：如果圓心的位在原點，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點坐標，r表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

2①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

當dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當dRr時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；當dRr時，兩圓內含；當d0時，為同心圓。

22第8頁共8頁

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點字母，如五棱柱AD"

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位關系，即反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體上下、前后的位關系，即反映了物體的高度和寬度。

"""""""""""""""3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

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（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側面積chS圓柱側2rhS正棱錐側面積1ch"S圓錐側面積rl

2S正棱臺側面積1(rR)l(c1c2)h"S圓臺側面積22rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2

S圓柱表（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

12rhV柱ShV圓柱ShV錐ShV圓錐1r2h

331"11"22V臺(S"S"SS)hV圓臺(SSSS)h(rrRR)h

333

2

（4）球體的表面積和體積公式：V球=4R3；S球面=4R3

4、空間點、直線、平面的位關系（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關系：點A在平面內，記作A；點A不在平面內，記作A點與直線的關系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關系：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。（即直線在平面內，或者平面經過直線）應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內用符號語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl

（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據②它是證明平面重合的依據（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。

符號語言：PABABl,Pl公理3的作用：①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位關系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線

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②異面直線性質：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位無關。②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位，頂點選在特殊的位上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位關系直線在平面內有無數個公共點．

三種位關系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位關系：平行沒有公共點；α∥β相交有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關系的判定和性質定理①線面垂直判定定理和性質定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

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②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角．．．．．叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標系

（1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點，分別以OD,OA,,OB的方向為正方向，建立三條數軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.

1）O叫做坐標原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位。

（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序實數組(x,y,z)來表示，有序實數組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z)（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）（4）空間兩點距離坐標公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

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高一數學必修3公式總結以及例題

1算法初步

秦九韶算法：通過一次式的反復計算逐步得出高次多項式的值，對于一個

次乘法和n次加法即可。表達式如下：

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

n次多項式，只要作n

例題：秦九韶算法計算多項式3x64x55x46x37x28x1,當x0.4時,

需要做幾次加法和乘法運算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，

如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調說明書是空調使用的算法…(algorithm)1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設計語言（本書指偽代碼）.2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去

②確定性：算法的每一步操作內容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一定時間內可以完成，在時間上有一個合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術運算，邏輯運算，函數運算，關系運算等②控制結構:順序結構，選擇結構，

循環(huán)結構

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結構的一種圖形程序，

它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結束的好習慣

2.拿不準的時候可以先根據結構特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結到一起，一起終結到結束框。

算法結構：順序結構，選擇結構，循環(huán)結構

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直到型循環(huán)當型循環(huán)第13頁共13頁

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Ⅰ.順序結構（sequencestructure）：是一種最簡單最基本的結構它不存在條件判斷、控制轉移和重復執(zhí)行的操

作，一個順序結構的各部分是按照語句出現的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結構（selectionstructure）：或者稱為分支結構。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界條件的確定。

它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。Ⅲ.循環(huán)結構（cyclestructure）：它用來解決現實生活中的重復操作問題，分直到型（until）和當型(while)兩種結構(見上圖)。當事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時（即不知道循環(huán)次數時）用當型循環(huán)。

基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC語言編寫的,是介于自然

語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用xy，

也可以用xy;表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，其中x是一個變量，

y是一個與x同類型的變量或者表達式.

一般格式：“變量表達式”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“xy”，但此時的“=”不是數學

運算中的等號，而應理解為一個賦值號。

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數或者表達式，右邊可以是常數或者表達式�！�=”具有計算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯誤的，而a=3*51,a=2a+3

都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxxy,同樣的如果交換三個變量x,y,z的值:yppxxyyzzp

Ⅱ.輸入語句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數一次送給a,b輸出語句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運算結果x,y

注：1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read語句輸入的只能是變量而不是表達式3.Print語句不能起賦值語句，意旨不能在Print語句中用“=”4.Print語句可以輸出常量和表達式的值.5.有多個語句在

一行書寫時用“；”隔開.

例題：當x等于5時，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結果是x=5Ⅲ.條件語句（conditionalstatement）：

1.行If語句:IfAThenB注：沒有EndIf

2.塊If語句：注：①不要忘記結束語句EndIf，當有If語句嵌套使用時，有幾個If，就必須要

有幾個EndIf②.ElseIf是對上一個條件的否定，即已經不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為了使得書寫清晰易懂，應縮進書寫。格式如下：

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IfAThenIfAThen

BB

ElseElseIfCThen

CD

EndIfEndIf

例題:用條件語句寫出求三個數種最大數的一個算法.

Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen

Printb

Else注：1.同樣的你可以寫出求三個數中最小的數。Printc2.也可以類似的求出四個數中最小、大的數EndIfEndIf

Ⅳ.循環(huán)語句（cyclestatement）：當事先知道循環(huán)次數時用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數的循環(huán)當循環(huán)次數不確定時用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達形式，與循環(huán)結構的兩種循環(huán)相對應.WhileAForIFrom初值to終值Step步長……EndWhileWhile循環(huán)EndForFor循環(huán)DoWhilepDo……Loop當型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)說明：1.While循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進入循環(huán)，其實質是當型循環(huán)，一般在解決有關問題時，可以寫成While循環(huán)，較為簡單，因為它的條件相對好判斷.2.凡是能用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉化4.Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉化，轉化時條件要相應變化5.注意

臨界條件的判定.

例題：設計計算135...99的一個算法.（見課本P21）

第15頁共15頁

S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSS1I1WhileI99I1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSSSI

II2EndWhilePrintSS1S1I1I1DoSSIDoII2II2SSILoopUntilI99LoopUntilI100(或者I99)PrintSPrintSS1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintS

DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。

2.在具體做題時，可能好多的同學感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！

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高中數學必修4知識點

正角:按逆時針方向旋轉形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

終邊在x軸上的角的集合為k180,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正半軸n*的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為區(qū)域．

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

l6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數的絕對值是．

r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．

180終邊所落在的n8、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

11Slrr2．

229、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是x,y，它與原點的距離是

rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx第17頁共17頁

10、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數線：sin，cos，tan．12、同角三角函數的基本關系：1sincos1

22ysin21cos2,cos21sin2；2sintancosPTOMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函數的誘導公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數名稱不變，符號看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

14、函數ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數

ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標不變），得到函數ysinx的圖象．函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標不變），得到函數ysinx的圖象．

第18頁共18頁

函數ysinx0,0的性質：

①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值為ymax，則

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函ycosxysinx數性質ytanx圖象定義域值域RRxxk,k21,1x2k1,1當x2kk時，R2k2最值ymax1；當x2kymax1；當x2k既無最大值也無最小值k時，ymin1．k時，ymin1．周期性奇偶性2奇函數2偶函數奇函數2k,2k22在2k,2kkk上是增函數；在上是增函數單調性在2k,2k32k,2k22k上是減函數．k上是減函數．k,k22k上是增函數．對稱性心k,0kk,0k心k,0k心22第19頁共19頁

xk2kxkk軸16、向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質：①交換律：abba；②結合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

Ca

⑵坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數乘運算：

⑴實數與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作a．①aa；

b

abCC

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0．

⑵運算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使ba．

設ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有

第20頁共20頁

一對實數1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當12時，點的坐標是x1x2y1y2,．

1123、平面向量的數量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數量積為0．

⑵性質：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abab；當a與b反向時，22abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

ab設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則cosab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tanx1x2y1y2xy2121xy2222．

tantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22第21頁共21頁

⑶tan22tan．

1tan222sin，其中tan26、sincos

．高中數學必修5知識點

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

2224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2b2c2a2c2b25、余弦定理的推論：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．7、數列：按照一定順序排列著的一列數．8、數列的項：數列中的每一個數．9、有窮數列：項數有限的數列．10、無窮數列：項數無限的數列．

11、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．12、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．13、常數列：各項相等的數列．

14、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．15、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式．

222222222第22頁共22頁

16、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．

17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．

18、由三個數a，，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為a與b的等差中項．若b則稱b為a與c的等差中項．19、若等差數列

ac，2an的首項是a，公差是d，則a1na1n1d．

；

ana120、通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．

*21、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q），則am，則2an2npq（n、p、q*）

anapaq；若an是等差數列，且

apaq．

na1an2；②Sn22、等差數列的前n項和的公式：①Snna1nn12d．

23、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*nd則S2nnanan1，且S偶S奇，

S奇S偶，S奇S偶anan1．

*a，②若項數為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶nna，（其中S奇nnn1S偶n1an）．

24、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．

25、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，則稱G為a與b的等比中項．

26、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn12．

n1nm27、通項公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qannman；④q．aa1mq*）28、若an是等比數列，且mnpq（m、，則amanapaq；若an是等比數列，且2npqn、p、

第23頁共23頁

（n、p、q），則an*2apaq．

na1q129、等比數列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q30、等比數列的前n項和的性質：①若項數為2nn②Snm*，則

S偶S奇q．

SnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列．

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．34、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：

判別式b4ac201*yaxbxc20的圖象兩個相異實數根一元二次方程axbxc0a0的根2x1,2b2a有兩個相等實數根x1x2一元二次不等式的解集a0bx1x22a沒有實數根ax2bxc0xxx1或xx2bxx2aR第24頁共24頁ax2bxc0a0xx1xx235、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC方的區(qū)域．

②若0，則xyC方的區(qū)域．

40、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．

0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0下

0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上

ab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．2ab42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab．

241、設a、b是兩個正數，則

a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．222第25頁共25頁

44、極值定理：設x、y都為正數，則有

s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

第26頁共26頁

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