高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料總結(jié)
高一復(fù)習(xí)資料總結(jié)
一、函數(shù)
1.函數(shù):①函數(shù)的周期f(xT)f(x)
②函數(shù)的奇偶性:定義域關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱
)(偶函數(shù))0f(x)f(x)0(奇函數(shù))f(x)f(x
若f(0)有定義,則f(0)0
③函數(shù)的單調(diào)性(定義證明)設(shè):x1,x2D,且x1x2;證明:f(x1)f(x2)0單調(diào)增函數(shù)(或f(x1)f(x2)0單調(diào)減函數(shù))2.指數(shù)函數(shù):①有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)a圖像:
mn=
nam
x②f(x)a(ao,a1)定義域R,值域f(x)0
a>10a1
3.對(duì)數(shù)函數(shù)①對(duì)數(shù)的運(yùn)算
條件:M0,N0,a0且a1
gMloaloNaglaoMgNMN化簡(jiǎn)
logaMlogaNloga
logaMnlogaM
nalogaN10Nloglog求值aa1a
logab,且0c換底公式logab(b0clogaa對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax圖像
1)x0值域R,1)②f(x)logax(a0a定義域
a10a1
二、三角函數(shù)
弧長公式:lr(1Slr弧度單位)扇形面積:
21rad5718"57.3
xyy1.定義:sincostan
rxr2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:
cos21
cossincottan②商的關(guān)系:
sincos①平方關(guān)系:sin3.誘導(dǎo)公式:
2sin(180)sinsin(180)sinsin(360)sinsin()sinsin(90)cos
sin(90)cossin(270)cossin(270)cos4.兩角和與兩角差的三角函數(shù):
cos(180)coscos(180)coscos(360)coscos()coscos(90)sin
cos(90)sincos(270)sincos(270)sinsin()sincoscossincos()coscossinsin2()()tantantan()2()()1tantantantantan()(1tantan)5.二倍角公式:
sin22sincos2tantan21tan2
cos2cos2sin222cos1
12sin21cos21cos222降冪公式:sincos
22b輔助角公式:asinbcosabsin()tana22
6.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像及性質(zhì)(周期性、增減性):
ysinx增區(qū)間2k,2kkZ22
3減區(qū)間2k,2kkZ22ycosx增區(qū)間2k,2k
減區(qū)間
kZ2k,2kkZ
值域圖像函數(shù)定義域RRysinxycosxytanx1,11,1Rxxk,kZ注意:在△ABC中,若1sinAcosA若02,則A0,90
sinAcosA1,則A90,135
AcosA0,則A135,180
若1sin
7.函數(shù)yAsin(x)的圖像:
①五點(diǎn)法作圖
xxy02322②平移和交換:
TyAsin(x)T;ytan(x)
2振幅:A角速度:初相:三.向量及其運(yùn)算:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量。2.向量的加法與減法:
加法:①平行四邊形法則
②三角形法則ABBCAC
③坐標(biāo)法a(x1,y1)b(x2,y2)xxyy)ab(x1x2,y1y2)ab(12,12ax12y減法:①aba(b)(從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn))
②ABACCB
CDABCDcos3.平面向量的數(shù)量積:AB
bx2y2abx1x2y1y2
x1x2y1y2abcos夾角公式:abx12x22y12y22
ax1,y14.兩個(gè)向量平行(共線)的判定:ab(R)x1y2x2y10
b0;x1x2y1y205.兩個(gè)向量垂直的判定:a22AB(xx)(yy)6.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離:12
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高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)
第一章:解三角形
1、正弦定理:在C中,a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊,R為C的外接圓的半徑,則有
asinbsina2RcsinC2R.
2、正弦定理的變形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;
②sin,sinb2R,sinCc2R;(正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中)
③a:b:csin:sin:sinC;④
abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin.222abc.
3、三角形面積公式:SC4、余定理:在C中,有a2b2c22bccos,b2a2c22accos,
cab2abcosC.
2225、余弦定理的推論:cosbca2bc222,cosacb2ac222,cosCabc2ab222.
6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊,則:①若a2b2c2,則C90為直角三角形;
②若a2b2c2,則C90為銳角三角形;③若a2b2c2,則C90為鈍角三角形.
第二章:數(shù)列
1、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).
3、有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.
4、無窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.
5、遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.6、遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.
7、常數(shù)列:各項(xiàng)相等的數(shù)列.
8、擺動(dòng)數(shù)列:從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.9、數(shù)列的通項(xiàng)公式:表示數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式.
10、數(shù)列的遞推公式:表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系的公式.
11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個(gè)
常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.
12、由三個(gè)數(shù)a,,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列,則稱為a與b的等差中項(xiàng).若
bac2,則稱b為a與c的等差中項(xiàng).
13、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公差是d,則ana1n1d.
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通項(xiàng)公式的變形:①anamnmd;②a1ann1d;③d⑤danamnmana1n1;④nana1d1;
.14、若an是等差數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q*),則amanapaq;若an是等差
數(shù)列,且2npq(n、p、q*),則2anapaq;下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等差數(shù)列;連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式:①Snna1an2;②Snna1nn12d.
16、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì):①若項(xiàng)數(shù)為2nn*,則S2nnanan1,且S偶S奇nd,
S奇S偶anan1.②若項(xiàng)數(shù)為2n1n*,則S2n12n1an,且S奇S偶an,
S奇S偶nn1(其中
S奇nan,S偶n1an).
17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個(gè)
常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.
18、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,則G稱為a與b的等比中項(xiàng).若G2ab,則
稱G為a與b的等比中項(xiàng).
n119、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1,公比是q,則ana1q.
nm20、通項(xiàng)公式的變形:①anamq;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.
*21、若an是等比數(shù)列,且mnpq(m、n、p、q),則amanapaq;若an是等比數(shù)
*列,且2npq(n、p、q),則anapaq;下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等比數(shù)列;連續(xù)m
2項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。
na1q122、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式:Sna11qnaaq.
1nq11q1qq1時(shí),Sna11qa11qq,即常數(shù)項(xiàng)與q項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。
nn23、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì):①若項(xiàng)數(shù)為2nn*,則SS偶奇q.
n②SnmSnqSm.③Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列.
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24、an與Sn的關(guān)系:anSnSn1S1n2n1
一些方法:
一、求通項(xiàng)公式的方法:
1、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式:待定系數(shù)法
①若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anknb,列兩個(gè)方程求解;
②若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anan2bnc,列三個(gè)方程求解;③若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為anaq2、由遞推公式求通項(xiàng)公式:
①若化簡(jiǎn)后為an1and形式,可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解;②若化簡(jiǎn)后為an1anf(n),形式,可用疊加法求解;
③若化簡(jiǎn)后為an1anq形式,可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解;
④若化簡(jiǎn)后為an1kanb形式,則可化為(an1x)k(anx),從而新數(shù)列{anx}是等比數(shù)列,用等比數(shù)列求解{anx}的通項(xiàng)公式,再反過來求原來那個(gè)。(其中x是用待定系數(shù)法來求得)3、由求和公式求通項(xiàng)公式:
①a1S1②anSnSn1③檢驗(yàn)a1是否滿足an,若滿足則為an,不滿足用分段函數(shù)寫。4、其他
(1)anan1fn形式,fn便于求和,方法:迭加;
例如:anan1n1有:anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb,q為相除后的常數(shù),列兩個(gè)方程求解;
n4n1(2)anan12anan1形式,同除以anan1,構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列;
anan1anan121an1例如:anan12anan1,則
1,即為以-2為公差的等差數(shù)列。anan1(3)anqan1m形式,q1,方法:構(gòu)造:anxqan1x為等比數(shù)列;
例如:an2an12,通過待定系數(shù)法求得:an22an12,即an2等比,公比為2。(4)anqan1pnr形式:構(gòu)造:anxnyqan1xn1y為等比數(shù)列;
nn(5)anqan1p形式,同除p,轉(zhuǎn)化為上面的幾種情況進(jìn)行構(gòu)造;
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因?yàn)閍nqan1pn,則
anpnqan1ppn11,若
qp1轉(zhuǎn)化為(1)的方法,若不為1,轉(zhuǎn)化為(3)的方
法二、等差數(shù)列的求和最值問題:(二次函數(shù)的配方法;通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法)
①若②若ak0,則Sn有最大值,當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0,則Sn有最小值,當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足d0a0k1三、數(shù)列求和的方法:
①疊加法:倒序相加,具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的,倒序之后和為定值;
②錯(cuò)位相減法:適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式,如:an2n13;
n③分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法:適用于分式形式的通項(xiàng)公式,把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式。如:an1nn11n1n1,an12n12n1111等;
22n12n1④一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開分別求和法:適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以方便求和的部分,如:
an2n1等;
n四、綜合性問題中
①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為ad和ad類型,這樣可以相加約掉,相乘為平方差;②等比數(shù)列中一些在加法和乘法中設(shè)一些數(shù)為aq和aq類型,這樣可以相乘約掉。
第三章:不等式
1、ab0ab;ab0ab;ab0ab.
比較兩個(gè)數(shù)的大小可以用相減法;相除法;平方法;開方法;倒數(shù)法等等。
2、不等式的性質(zhì):①abba;②ab,bcac;③abacbc;
④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;⑥ab0,cd0acbd;⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1;
anbn,n1.
3、一元二次不等式:只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式.
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4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系:
判別式b4ac
201*
二次函數(shù)yaxbxc
2a0的圖象
有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根
一元二次方程axbxc0
2有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根
a0的根
axbxc0
一元二次不等式的解集
2x1,2b2a
x1x2b2a
沒有實(shí)數(shù)根
x1x2
a0axbxc0
2xxx1或xx2
bxx
2aRa0xx1xx2
5、二元一次不等式:含有兩個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式.6、二元一次不等式組:由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組.
7、二元一次不等式(組)的解集:滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y,所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合.
8、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線xyC0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0.
①若0,x0y0C0,則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方.②若0,x0y0C0,則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方.
9、在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線xyC0.
①若0,則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域;xyC0表示直線
xyC0下方的區(qū)域.
②若0,則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域;xyC0表示直線
xyC0上方的區(qū)域.
10、線性約束條件:由x,y的不等式(或方程)組成的不等式組,是x,y的線性約束條件.
目標(biāo)函數(shù):欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x,y的解析式.線性目標(biāo)函數(shù):目標(biāo)函數(shù)為x,y的一次解析式.
線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題.可行解:滿足線性約束條件的解x,y.
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可行域:所有可行解組成的集合.
最優(yōu)解:使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù),則
ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù),ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).
212、均值不等式定理:若a0,b0,則ab2ab,即ab2ab.
13、常用的基本不等式:
①a2b22aba,bR;
22②abab2a,bR;
③abab2a2b2ab22a0,b0;④22a,bR.
14、極值定理:設(shè)x、y都為正數(shù),則有
s(和為定值),則當(dāng)xy時(shí),積xy取得最大值s2⑴若xy.4⑵若xyp(積為定值),則當(dāng)xy時(shí),和xy取得最小值2p.
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