高一數(shù)學必修4知識點總結(jié)

高一數(shù)學必修4知識點

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角，確定

nnn所在象限的方法：先把各象限均分n等

*份，再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為

終邊所落在的區(qū)域．

lr5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．180．

8、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，S12lr12r．

29、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是x,y，它與原點的距離是rrxy022，則sinyr，cosxr，tanyxx0．

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關系：1sincos1

22yPTsin1cos,cos1sin2222；2sincostan

OvMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos2cos2，cossin2．

6sin，cossin2．

口訣：奇變偶不變，符號看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮

短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），

得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx1倍（縱坐標不變），

的圖象上所有點向左（右）平移

個單位

長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點

的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：．

2；③頻率：f12；④相位：x；⑤初相：

函數(shù)ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值為ymax，則12ymaxymin，12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函ycosx

性質(zhì)

數(shù)ysinxytanx

圖象

定義域值域

RR

xxk,k

2R1,1

當x2k21,1

k當x2kk時，

ymax1；當x2k

最值

時，ymax1；當

x2k

既無最大值也無最小值

2

1．

k時，ymin1．

k時，ymin2周

期性奇奇函數(shù)偶性單

調(diào)在2k,2k

22性

2

偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k,2kk上是

增函

-3-在k2,k數(shù)；在

k上是增函數(shù)；在2k,2k

32k,2k22k上是增函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

對稱中心k,0k對

對稱軸稱

性xkk

2對稱中心

對稱中心

k,0k

2k,0k2對稱軸xkk

無對稱軸

16、向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．

零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質(zhì)：①交換律：abba；②結(jié)合律：abcabc；③

a00aa．

⑸坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

Ca

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

⑵坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2y,1y2

b．

abCC

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a．

①aa；

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0．

⑵運算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba．

設ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為

這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，xx2y1y2當12時，點的坐標是1,．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abab；22當a與b反向時，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若ax,y，則a222xy，或axy．

22設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222．

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．⑵

2cos2cossin2cos112sin1cos222222（cos2cos212，

sin）．

⑶tan22tan1tan2．

26、sincossin，其中tan22．

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高中數(shù)學必修4知識點總結(jié)

第一章三角函數(shù)

1、特殊角的集合:

第一象限角的集合:{|k360k36090,kZ}第二象限角的集合:{|k36090k360180,kZ}第三象限角的集合:{|k360180k360270,kZ}第四象限角的集合:{|k360270k360360,kZ}終邊落在x軸非負半軸上的角的集合:{|k360,kZ}終邊落在x軸非正半軸上的角的集合:{|k360180,kZ}終邊落在x軸上的角的集合:{|k180,kZ}

終邊落在y軸非負半軸上的角的集合:{|k36090,kZ}終邊落在y軸非正半軸上的角的集合:{|k360270,kZ}終邊落在y軸上的角的集合:{|k18090,kZ}終邊落在坐標軸上的角的集合:{|k90,kZ}

2、終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構成一個集合

S{|k360,kZ},即任一與角終邊相同的角都可以表示成角與整

數(shù)個周角和的形式.3、弧度制與角度制的換算:(1)1rad(180(3)3602rad,180rad

4、弧長公式和扇形面積公式:

)57.305718"(2)1180rad01745rad

(1)弧長公式:l||r(2)扇形面積公式:S5、常見結(jié)論:

11lr||r222(1)若與的終邊關于x軸對稱,則2k,kZ(2)若與的終邊關于y軸對稱,則(2k1),kZ(3)若與的終邊關于原點對稱,則(2k1),kZ(4)若與的終邊在同一直線上,則k,kZ

6、定義:是一個任意大小的角,以的頂點O為坐標原點,以的始邊為x軸的非負半軸,建立平面直角坐標系.設P(x,y)是定:siny,cosx,tan的終邊與單位圓的交點,規(guī)

yx7、設是一個任意角,點P(x,y)為終邊上任意一點(異于原點O),則點P與原點的距離

yxy叫做的正弦,記作sin；比值叫做的余弦,記

rrrxyy作cos；比值叫做的正切,記作tan。

rxxrx2y20,那么比值

第1頁共8頁8、三角函數(shù)的定義域和值域:

(1)正弦函數(shù)ysinx,xR,y[1,1](2)余弦函數(shù)ycosx,xR,y[1,1](3)正切函數(shù)ytanx,x{x|xk2,kZ},yR

9、記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.其含義時在第一象限各三角函數(shù)值全為正,在第二象限只有正弦值為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.10、誘導公式(1)誘導公式

誘導公式(一):sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)

tan(2k)tan(kZ)

誘導公式(二):sin()sincos()costan()tan誘導公式(三):sin()sincos()costan()tan誘導公式(四):sin()sincos()costan()tan誘導公式(五):sin(誘導公式(六):sin((2)記憶口訣

角的三角函數(shù)的所有誘導公式可以概括為:“奇變偶不變,符號看象限”.①把角化為

)coscos()sin

22)coscos()sin22k(kZ)的形式.若k為偶數(shù),則函數(shù)名不變;若k為奇數(shù),則函數(shù)名2作改變:正余.

k②看象限的過程中,一律將角看成銳角,再根據(jù)(kZ)的象限決定三角函數(shù)

2的符號(正負).

11、三角函數(shù)線:(1)單位圓和有向線段

單位圓:半徑等于單位長度,圓心在原點的圓叫做單位圓.有向線段(非嚴格定義):帶有方向的線段叫做有向線段.

設任意角

的頂點在原點O,始邊與x軸非負半軸重合,終邊與單位圓的相交于

第2頁共8頁P(x,y),過P作x軸的垂線,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線交終邊(當在第

一,四象限時)或其反向延長線(當在第二,三象限時)于T.規(guī)定:當OM與x軸同向時為正值,與x軸反向時為負值當MP與y軸同向時為正值,與y軸方向時為負值當AT與y軸同向時為正值,與y軸反向時為負值根據(jù)上面規(guī)定,則OMx,MPy.(2)三角函數(shù)線:

根據(jù)正弦,余弦,正切的定義,則有

sinyMP,cosxOM,tanyMPATATxOPOA這三條與單位圓有關的有向線段MP,OM,AT分別叫做角的正弦線,余弦線,正

切線.

當角的終邊落在x軸上時,M與P重合,A與T重合,此時正弦線,正切線分別

變成一個點;當角的終邊在y軸上時,O與M重合,余弦線變成一個點,過A的切線平行于y軸,不能與角的終邊相交,所以正切線不存在,此時角的正切值不存在.

12、同角三角函數(shù)的基本關系公式:sincos113、常用到的同角三角函數(shù)的基本關系式變形:(1)sincos1的變形:

1sincos,sin1cos,cos1sinsin1cos,cos1sin(2)tan2222sintancos22222222sin的變形:cossintan（3）sincos,sincos,sincos之間的關系:

22(sincos)12sincos(sincos)12sincos

sincostan,cos(sincos)(sincos)2

14、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點法):正弦函數(shù)ysinx,x[0,2]的圖象中,

223,1),(,0),(,1),(2,0)22余弦函數(shù)ycosx,x[0,2]的圖像中,

3五個關鍵點是:(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)

22五個關鍵點是:(0,0),(只要這五個點描出后,圖象的形狀就基本確定了.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

第3頁共8頁

{"Error":{"code":"8","Message":"badrequest","LogId":"1053756867"}}15、綜合探究：函數(shù)yAsin(x)k的圖象

畫出函數(shù)y3sin(2x

綜合結(jié)論：平移法過程：(1)先平移后收縮(2)先收縮后平移

得y=sin(x+φ)橫坐標伸長或縮短得y=sin(ωx+φ)縱坐標伸長或縮短作y=sinx（長度為2的某閉區(qū)間）沿x軸平移|φ|個單位橫坐標伸長或縮短得y=sinωx沿x軸平移|3),xR的簡圖.

|個單位得y=sin(ωx+φ)縱坐標伸長或縮短得y=Asin(ωx+φ)的圖象，先在一個周期閉區(qū)間上再擴充到R上。兩種方法殊途同歸

(1)y=sinx相位變換（平移）y=sin(x+φ)周期變換y=sin(ωx+φ)

振幅變換yAsin(x)

(2)y=sinxφ)

周期變換y=sinωx相位變換（平移）y=sin(ωx+

振幅變換yAsin(x)

注:(1)函數(shù)yAsin(x)(a0,0)中,A影響函數(shù)圖象的最高點和最低點,即函

數(shù)的最值;影響函數(shù)圖象每隔多少重復出現(xiàn),即函數(shù)的周期;影響函數(shù)的初相.

(2)對于函數(shù)yAsin(x)(a0,0)的圖象,相鄰的兩個對稱中心或兩條對稱

軸相距半個周期;相鄰的一個對稱中心和一條對稱軸相交周期的四分之一.

16、求三角函數(shù)周期的方法

(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解.

(2)公式法，對形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù)，A≠0,ω≠0)的函數(shù)，(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.

17、求與正、余弦函數(shù)有關的單調(diào)區(qū)間的策略及注意點(1)結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間.

(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應采用“換元法”整體代換，將“ωx+φ”看作一個整體“z”，即通過求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上.

(3)①ω0后求解；②若A

高一數(shù)學必修4第一章三角函數(shù)單元訓練題

201*1130

一、選擇題：共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（48

分）

1、已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C關系是（）

A．B=A∩C

B．B∪C=C

C．AC

D．A=B=C

（）

2、將分針撥慢5分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是

A．

3sin2cos3sin5cosB．－

3C．

6D．－

6（）

3、已知

5,那么tan的值為

B．2

C．

16164、已知角的余弦線是單位長度的有向線段;那么角的終邊（）A．在x軸上B．在直線yx上

C．在y軸上D．在直線yx或yx上5、若f(cosx)cos2x,則f(sin15)等于()

A．－2

23D．－

23

A．32B．

32C．

12D．

12

（）

6、要得到y(tǒng)3sin(2xA．向左平移位

4)的圖象只需將y=3sin2x的圖象

個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單44887、如圖，曲線對應的函數(shù)是（）

A．y=|sinx|C．y=－sin|x|

2B．y=sin|x|D．y=－|sinx|

8、化簡1sin160的結(jié)果是()

A．cos160B．cos160C．cos160D．cos1609、A為三角形ABC的一個內(nèi)角,若sinAcosA12,則這個三角形的形狀為（）25A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

第6頁共8頁10、函數(shù)y2sin(2x3)的圖象

（）

A．關于原點對稱B．關于點（－11、函數(shù)ysin(xA．[，0）對稱C．關于y軸對稱D．關于直線x=對稱662),xR是（）

,]上是增函數(shù)B．[0,]上是減函數(shù)

22C．[,0]上是減函數(shù)D．[,]上是減函數(shù)12、函數(shù)yA．2k2cosx1的定義域是（）3,2kB．2k,2k(kZ)(kZ)

36623C．2k3,2k(kZ)D．2k23,2k2(kZ)3二、填空題：共4小題，把答案填在題中橫線上．（20分）13、已知4,,則2的取值范圍是.3314、f(x)為奇函數(shù)，x0時,f(x)sin2xcosx,則x0時f(x).

2)(x[,])的最小值是．863116、已知sincos,且,則cossin.84215、函數(shù)ycos(x三、解答題：共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17、（8分）求值sin120cos180tan45cos(330)sin(210)

18、（8分）已知tan2233,,求sincos的值.

219、（8分）繩子繞在半徑為50cm的輪圈上，繩子的下端B處懸掛著物體W，如果輪子按

逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)4圈，那么需要多少秒鐘才能把物體W的位置向上提升100cm?

第7頁共8頁

20、（10分）已知α是第三角限的角，化簡

21、（10分）求函數(shù)f1(t)tanx2atanx5在x[

21sin1sin

1sin1sin,]時的值域(其中a為常數(shù))

42第8頁共8頁

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