初一上冊數(shù)學(xué)一二章總結(jié)

授課內(nèi)容：有理數(shù)加減乘除混合運算的練習(xí)授課知識：數(shù)的分類

正整數(shù)正有理數(shù)整數(shù)零正分?jǐn)?shù)負整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)零

負整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負有理數(shù)負分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)有理數(shù)的大小比較方法

1.數(shù)軸比較法

將兩個實數(shù)分別在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩數(shù)在同一點則相等2.差值比較法

設(shè)a,b是任意兩實數(shù)。則a-b>0+=>a>b;a-b異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．2）

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七年級上冊（人民教育出版社）第一二章

數(shù)學(xué)要點難點歸納

第一章有理數(shù)

1.1正數(shù)和負數(shù)

一、定義

１．大于0的數(shù)叫做正數(shù)。

２．在正數(shù)前面加上負號“－”的數(shù)叫做負數(shù)。說明：

⑴０既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，０是正數(shù)和負數(shù)的分界，０的意義已不僅是表示“沒有”。⑵一個數(shù)前面的“＋”與“－”叫做它的符號。

⑶判斷一個數(shù)是不是負數(shù)，要看是不是在正數(shù)的前面加上“－”號，而不能看它是否帶有“－”

號。

⑷有時根據(jù)需要，在正數(shù)前面也加上“＋”（正號），在一般情況下，正數(shù)前面的“＋”號省略不

寫，本書絕大多數(shù)的地方，正數(shù)都不帶正號。

⑸用正負數(shù)描述指定方向變化的情況：

①向指定方向變化用正數(shù)表示；

②向指定方向的相反方向變化用負數(shù)表示。

二、相反意義的量

相反意義的量的要素：⑴表示的意義相反；⑵都具有數(shù)量。

1.2有理數(shù)

一、有理數(shù)

１．定義

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。說明：

⑴正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。⑵有理數(shù)可以寫成形如

mn（m,n是整數(shù)，n≠０）的形式；

mn（m,n是整數(shù)，n≠０）的數(shù)是有理數(shù)；

故有理數(shù)可以用（分析如下：

mn（m,n是整數(shù)，n≠０）表示。

m（m是正整數(shù)或０，n是正整數(shù)）的形式；nm②負整數(shù)、負分?jǐn)?shù)可以寫成－（m，n是正整數(shù)）的形式；

nm③學(xué)習(xí)負數(shù)的除法后，可以知道有理數(shù)可以寫成（m，n是整數(shù)，n≠０）的形式；

n①正整數(shù)、0、正分?jǐn)?shù)可以寫成⑶到目前為止，學(xué)過的數(shù)（除π外）都是有理數(shù)。２．分類

整數(shù)：正整數(shù)、０、負整數(shù)

按整數(shù)、分?jǐn)?shù)（定義）分類

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)

有理數(shù)

正有理數(shù)：正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)

按正、負性（符號）分類0

負有理數(shù)：負整數(shù)、負分?jǐn)?shù)

二、數(shù)軸

1．定義

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。說明：

⑴數(shù)軸有三要素：原點、正方向和單位長度，三者缺一不可；

⑵數(shù)軸是直線，可以向兩端無限延伸；

⑶定義中“規(guī)定”是說原點的選取、正方向規(guī)定、單位長度大小的確定，都是根據(jù)需要規(guī)定的。2．畫法

⑴畫：畫一條直線；說明：

為了讀畫方便，通常把直線畫成水平或豎直，一般畫成水平；⑵標(biāo):在直線上適當(dāng)選取一點為原點，并標(biāo)上數(shù)字０；說明：

原點是“任取”一點，通常取適中的位置，如所需的數(shù)都是正數(shù)，也可以偏向左邊；⑶定:確定正方向；說明：

通常規(guī)定直線上原點向右（或上）為正方向，用箭頭表示出來（箭頭標(biāo)在畫線部分的最右端），

不要畫成射線或線段。（當(dāng)然數(shù)軸的方向是可以任取的）

⑷統(tǒng)一:統(tǒng)一單位長度根據(jù)需要，選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，并標(biāo)上刻度，最后標(biāo)上數(shù)字。說明：

單位長度的大小要根據(jù)實際需要選取，因此加“適當(dāng)”二字，要表示絕對值大的數(shù)，單位長度

可以取小些。

（畫法不一定按上面順序，如⑵⑶可以調(diào)換）

3．?dāng)?shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關(guān)系

⑴任意一個有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個點表示，但反過來，數(shù)軸上任意一點，卻并不一定表示一個有理數(shù)，因為數(shù)軸上除了表示有理數(shù)的點外，還有表示無理數(shù)的點。

⑵是數(shù)形的初步結(jié)合。

４．此時引入數(shù)軸，后續(xù)應(yīng)用數(shù)軸理解數(shù)學(xué)知識，更加直觀，正所謂數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”。三、相反數(shù)

1．定義：

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

說明：

⑴“只有”二字理解：兩個數(shù)只有符號不同，其它相同。⑵特別地，0的相反數(shù)是0。2．幾何意義：在數(shù)軸上位于原點兩側(cè)并且到原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)。說明:

數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點對稱。

3．表示與求法

⑴一般地，a的相反數(shù)可表示為-a，特別的０的相反數(shù)仍是０。

說明：０是唯一一個相反數(shù)等于本身的數(shù)，即，如果a=－a,那么a一定是0。

⑵求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它前面添上“－”號即可求。

四、絕對值1．定義：

一般地，數(shù)軸上表示a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。記做a，讀做a的絕對值。2．重要性質(zhì)

非負性，即a≥０。3．求法

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)：0的絕對值是0。即a（a＞０）

a=0（a＝０）－a（a＜０）

說明：

⑴0是絕對值最小的有理數(shù)；

⑵互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，反之，絕對值相等的兩個數(shù)，可能相等，也可能互為相反

數(shù)。

五、有理數(shù)大小的比較

1．利用數(shù)軸比較大�。ㄖ庇^但麻煩）

在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。2．利用法則比較大小（比較方便）

⑴正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)。⑵兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。

即：異號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負；同號兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對值。說明：

⑴法則是根據(jù)數(shù)軸比較得出，有了法則就可以不必通過數(shù)軸，直接用絕對值比較；

⑵法則要結(jié)合圖形理解，不要死記硬背。例如：兩個負數(shù)在數(shù)軸上，絕對值大的在左邊，這就容

易記住絕對值大的負數(shù)反而小的結(jié)論。

1.3有理數(shù)的加減法

一、有理數(shù)加法

1．加法法則

⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；

⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

說明：

如果兩個數(shù)的和為０，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)．2．加法運算律⑴加法交換律：有理數(shù)的加法中，兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：有理數(shù)的加法中，三個數(shù)相加，先把前面兩個數(shù)相加，或者先把后面兩個數(shù)相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)

說明:

⑴根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律可以得出:多個有理數(shù)相加,可以任意交換加數(shù)的位置,也可以先把其中的幾個加數(shù)相加。（上述簡化計算技巧源于此）

⑵加法交換律和加法結(jié)合律對兩個以上或三個以上的有理數(shù)仍然適用。3．簡化計算技巧：

⑴把符號相同的加數(shù)先相加。

⑵把分母相同的加數(shù)先相加。⑶相加得0的加數(shù)先相加。⑷相加得整數(shù)的加數(shù)先相加。

三、有理數(shù)減法

１．法則

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=b+（－a）２．運算步驟：

⑴將減法變加法（要“兩變”，即一是減號變加號，二是把減數(shù)變?yōu)樗�的相反�?shù)）。⑵按有理數(shù)的加法法則和加法運算律計算。四、有理數(shù)加減混合運算

１．步驟和方法

⑴運用減法法則，將加減混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法，然后省略加號和括號；⑵運用加法法則、運用加法交換律、加法結(jié)合律、有理數(shù)加法的計算技巧，使運算簡便。說明：

⑴將有理數(shù)的加減混合運算中減法轉(zhuǎn)化為加法后，為書寫簡單，可省略式中的加號和括號，看成是這些正數(shù)與負數(shù)之和；

⑵省略加號和括號的方法

①先統(tǒng)一成加號，再省略加號和括號；②利用符號化簡直接寫出。

1.4有理數(shù)的乘除法

一、有理數(shù)乘法

１．法則

⑴兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。⑵任何數(shù)同０相乘，都得０。

說明：

有理數(shù)乘法的運算步驟：⑴確定積的符號；⑵確定積的絕對值，計算結(jié)果。

２．倒數(shù)的定義

乘積是１的兩個數(shù)互為倒數(shù)。說明：⑴當(dāng)a≠0時，a與

1互為倒數(shù)。amn當(dāng)m≠0，n≠０時，與互為倒數(shù)。

nm⑵０沒有倒數(shù)。

⑶－１的倒數(shù)等于－１，０～－１之間的數(shù)的倒數(shù)比本身小，小于－１的數(shù)的倒數(shù)比本身大．３．乘法運算律

⑴乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因素的位置，積相等。即ab=ba

⑵乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即（ab）c=a(bc)⑶分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。

即a(b+c)=ab+ac

二、有理數(shù)除法

１．法則

除以一個不等于０的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a由上可以得出：

⑴兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。⑵０除以任何一個不等于０的數(shù)，都得０三、有理數(shù)乘除混合運算

１．運用除法法則把除法化成乘法；２．確定積的符號，求出結(jié)果。四、有理數(shù)加減、乘除混合運算

１．無括號的，先乘除，后加減

２．有括號的，先算括號里面的，按小括號、中括號、大括號依此進行。

1b(b≠0)

1.5有理數(shù)的乘方

一、有理數(shù)乘方的意義

１．求幾個相同因素的積的運算，叫做乘方。

一般地aaa記作a，讀作a的次n方。當(dāng)a看作a的次n方的結(jié)果時，也可以讀作an個a的n次冪。

２．乘方的結(jié)果叫作冪，在a中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。二、有理數(shù)乘方運算

１．a(chǎn)是n個a相乘，所以可利用有理數(shù)的乘法運算進行有理數(shù)的乘方運算。２．有理數(shù)乘方運算的性質(zhì)

根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出：

⑴負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；⑵正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)：⑶０的任何次冪都是０。

三、有理數(shù)的混合運算

１．順序：⑴先乘方，再乘除，最后加減。

⑵同級運算，從左到右進行。

⑶如有括號，先做括號內(nèi)運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

２．靈活使用運算律，是運算準(zhǔn)確而快捷。四、科學(xué)計數(shù)法

把一個大于10的數(shù)寫成a×10的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)）。

nnnnn即科學(xué)計數(shù)法形式為a×10，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)，且n為這個數(shù)的整數(shù)位樹減１。五、近似數(shù)

１．近似數(shù)，就是與實際接近的數(shù)。

２．精確度，就是近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度。六、有效數(shù)字

從左邊第一個非０的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

n第二章整式的加減

2.1整式

一、單項式

1．單項式的定義

2．單項式的系數(shù)

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。說明：

⑴單項式的系數(shù)包括它前面的符號；

⑵當(dāng)一個單項式只含有字母因數(shù)時，系數(shù)為1或-1；⑶系數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時，通常寫成假分?jǐn)?shù)；

⑷圓周率π是常數(shù)，單項式中出現(xiàn)π時，應(yīng)將其看作系數(shù)。3．單項式的次數(shù)

一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。說明：

⑴確定一個單項式的次數(shù)時，不把系數(shù)的指數(shù)當(dāng)做字母的指數(shù)；⑵確定一個單項式的次數(shù)時，不要漏掉指數(shù)為1的字母；⑶單獨一個數(shù)字的指數(shù)是0。

4．用字母表示數(shù)后，同一個式子可以表示不同的含義。二、多項式

1．多項式的定義

幾個單項式的和叫做多項式。2．多項式的項

多項式中，每個單項式叫做多項式的項。其中不含字母的項叫做常數(shù)項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。說明：

⑴多項式的項包括它前面的正負號；

⑵判斷一個式子是不是多項式，關(guān)鍵是看式子能不能寫成單項式的和的形式。3．多項式的次數(shù)

多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。說明：

⑴多項式的次數(shù)取決于多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)；⑵多項式的次數(shù)最高項不一定只有一項，有可能有多項。

三、整式1．整式的定義

單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

2.2整式的加減

一、同類項

1．同類項的定義

所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。說明:

⑴判斷同類項的標(biāo)準(zhǔn):A．所含字母相同；Ｂ．同一字母的指數(shù)也相同。這其中的二個“相同”缺

一不可。

⑵同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān)。（系數(shù)不為０的前提下）⑶同類項不一定是２項，也可以是３項，４項目項，，但至少是２項。2．合并同類項

把多項式中的同類項合并成一項,叫做合并同類項。說明:

⑴合并同類項的步驟：Ａ．找同類項；Ｂ．和并同類項；Ｃ．寫出結(jié)果。⑵合并同類項，同類項移動位置時，不要漏掉它的性質(zhì)符號；⑶如果兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項的結(jié)果是０。3．合并同類項的法則

合并同類項后,所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和,且字母部分不變.說明：

⑴合并同類項時是運用了加法交換律、加法結(jié)合律、乘法分配律把多項式中的同類項合并時總結(jié)出該法則的；主要是依據(jù)乘法分配律。

⑵通常把一個多項式各項按某個字母的指數(shù)降冪或升冪順序排列。二．去括號法則

１．如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；２．如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。說明：

⑴去括號法則依據(jù)是乘法分配律；⑵去括號法則簡說為“加不變，減全變”；⑶去括號時，要連同括號前面的符號一同去掉；⑷該變號時，各項都變號；不該變號時，各項都不變號；

⑸括號前面有數(shù)字因數(shù)時，應(yīng)利用乘法分配律，先將該數(shù)與括號內(nèi)各項分別相乘再去括號，避免

出現(xiàn)漏乘的情況。三．整式的加減

１．運算法則

一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項目。說明：

⑴整式的加減實質(zhì)上是去括號和合并同類項；

⑵整式加減的最后結(jié)果:

①不能含有同類項，即要合并到不能合并為止；

②合并同類項后，若其系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要把它化成假分?jǐn)?shù)。

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