初三數(shù)學(xué)上冊(cè)總結(jié)復(fù)習(xí)

1．拋物線(xiàn)yax25ax4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．

(1)求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；

(2)寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線(xiàn)的解析式；

2.（隧道）某隧道口的橫截面是拋物線(xiàn)形，已知路寬AB為6米，y最高點(diǎn)離地面的距離OC為5米．以最高點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

O拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，1米為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面x直角坐標(biāo)系，求（1）以這一部分拋物線(xiàn)為圖象的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）有一輛寬2.8米，高1米的農(nóng)用貨車(chē)（貨物最高處與地面AB的距離）能否通過(guò)此隧道？ABC

3.（利潤(rùn)）已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元。現(xiàn)在的售價(jià)是每件60元，每星期可賣(mài)出300件。市場(chǎng)調(diào)查反映：市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣(mài)出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件。

（1）如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

（2）若商場(chǎng)規(guī)定試銷(xiāo)期間獲利不得低于40%又不得高于60%，則銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

4.（面積）在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度移動(dòng)。如果P、Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，回答下列問(wèn)題：

（1）運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第幾秒時(shí)，△PBQ的面積等于8cm2DC（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，五邊形APQCD的面積為Scm2，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；Qt為何值時(shí)S最小？求出S的最小值。

BAP

5.（面積）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B開(kāi)始向C以2cm/s的速度移動(dòng)。

D如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)△PBQ的面積為S(cm2)，C

移動(dòng)時(shí)間為t(s)。

(1)求S與t的函數(shù)關(guān)系；Q(2)當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，△PBQ的面積最大？是多少？

BAP

6.某農(nóng)場(chǎng)為防治風(fēng)沙在一山坡上種植了一片樹(shù)苗，并安裝了自動(dòng)噴灌設(shè)備．某一瞬間，噴水頭噴出的水流呈拋物線(xiàn)．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，已知噴水頭B高出地面1.5m，噴水管與山坡所成的夾角∠BOA約63o，水流最高點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，3.5)．(1)求此水流形成的拋物線(xiàn)的解析式；

(2)求山坡所在的直線(xiàn)0lA的解析式(tan27o≈0．5，解析式中的系數(shù)精確到0.1)；

(3)計(jì)算水噴出后落在山坡上的最遠(yuǎn)距離OA(精確到0．1m).7.（圖象）已知二次函數(shù)yx2xm的圖象C1與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將C1向下平移若干個(gè)單位后，得拋物線(xiàn)C2，如果C2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），

求C2的函數(shù)關(guān)系式，并求C2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的兩點(diǎn),且y1y2,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.

2

8.（判斷）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論①a、b異號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0，④當(dāng)y=4時(shí)，x的取值只能為0．結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)A．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4新課標(biāo)第一網(wǎng)

9.（解直角）一艘船向正東方先航行，上午10點(diǎn)在燈塔的西南方向k海里處，到下午2點(diǎn)時(shí)航行

到燈塔的東偏南60°的方向，畫(huà)出船的航行方位圖，并求出船的航行速度．

解：如圖，依題意，燈塔位于P點(diǎn)，船叢A點(diǎn)向東航行，12點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，

且有PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；

于是，在△ABP中，有N

AB＝PB＝APcos45°＝k在△PBC中，又有BC＝PBtan30°＝

22k.22P236k，k236ABC所以AC＝

26326kkk.2663263266可知船的航行速度為v．

42410.（相似）五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′是位似圖形，且位似比為

1.若五邊形ABCDE的面2積為17cm2，周長(zhǎng)為20cm，那么五邊形A′B′C′D′E′的面積為_(kāi)_______，周長(zhǎng)為_(kāi)_______.11.若,且3a－2b+c=3,則2a+4b－3c的值是（）

A.14

B.42C.7

D.

143a5b7c812.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為20cm，50cm，60cm，現(xiàn)要利用長(zhǎng)度分別為30cm和60cm的細(xì)木條各一根，做一個(gè)三角形木架與三角形相似，要求以其中一根為一邊，將另一根截成兩段（允許有余料）作為另外兩邊.那么另兩邊的長(zhǎng)度（單位：cm）分別為（）A、10，25B、10，36或12，36C、12，36D、10，25或12，36

13.如圖，在△ABC的外接圓O中，D是的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E，連結(jié)BD．（1）列出圖中所有相似三角形；（2）連結(jié)DC，若在上任取一點(diǎn)K（點(diǎn)A，B，C除外），連結(jié)CK，DK，DK交BC于點(diǎn)F，是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說(shuō)明．

（1）△BDE∽△CAE，△DBE∽△DAB，△ABD∽△AEC．

14.現(xiàn)有一個(gè)圓心角為90，半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)）.該圓錐底面圓的半徑為

A.4cmB．3cmC．2cmD．1cm

15.如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高為A．6cm

B．35cmC．8cm

D．53cm1316.一個(gè)圓錐的底面半徑為6，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為240°，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為

A．9B．12C．15D．1817.已知圓錐的底面半徑長(zhǎng)為5，側(cè)面展開(kāi)后得到一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為

A．2.5B．5C．10D．15

18.已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是5cm，側(cè)面積是15πcm2，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是（）

A．1.5cmB．3cmC．4cmD．6cm

19.圓錐的底面半徑為5，母線(xiàn)長(zhǎng)為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)A的最短路程是（）

A．8

B．102

C．152

D．202

20.以六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1為半徑畫(huà)圓，則圖中陰影部分的面積為。

21.某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示，

為了美化環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形各頂點(diǎn)為圓心，2m長(zhǎng)為半徑的扇形區(qū)域（陰影部分）種上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是（A）6m2（B）5m2（C）4m2（D）3m2

22.如圖，7根圓柱形木棒的橫截面圓的半徑均為1，則捆扎這7根木棒一周的繩子長(zhǎng)度為。

擴(kuò)展閱讀：人教版初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三知識(shí)整理

全套教科書(shū)包含了課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）規(guī)定的“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容，在體系結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)上力求反映這些內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合，使它們形成一個(gè)有機(jī)的整體

九年級(jí)上冊(cè)包括二次根式、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)、圓、概率初步五章內(nèi)容，學(xué)習(xí)內(nèi)容涉及到了《課程標(biāo)準(zhǔn)》的四個(gè)領(lǐng)域。包含以下章節(jié)：

第21章二次根式第22章一元二次方程

第23章旋轉(zhuǎn)第24章圓第25章概率初步本冊(cè)書(shū)內(nèi)容分析如下：

第21章二次根式

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)整式與分式，知道用式子可以表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。解決與數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題還會(huì)遇到二次根式�！岸�次根式”一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種式子，探索它的性質(zhì)，掌握它的運(yùn)算。

在這一章，首先讓學(xué)生了解二次根式的概念，并掌握以下重要結(jié)論：（1）（2）（3）

是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

≥0）；(a≥0)．

注：關(guān)于二次根式的運(yùn)算，由于二次根式的乘除相對(duì)于二次根式的加減來(lái)說(shuō)更易于掌握，教科書(shū)先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減。“二次根式的乘除”一節(jié)的內(nèi)容有兩條發(fā)展的線(xiàn)索。一條是用具體計(jì)算的例子體會(huì)二次根式乘除法則的合理性，并運(yùn)用二次根式的乘除法則進(jìn)行運(yùn)算；一條是由二次根式的乘除法則得到

(a≥0，b≥0)，

并運(yùn)用它們進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。

-1-

(a≥0，b>0)，

“二次根式的加減”一節(jié)先安排二次根式加減的內(nèi)容，再安排二次根式加減乘除混合運(yùn)算的內(nèi)容。在本節(jié)中，注意類(lèi)比整式運(yùn)算的有關(guān)內(nèi)容。例如，讓學(xué)生比較二次根式的加減與整式的加減，又如，通過(guò)例題說(shuō)明在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式乘法法則和乘法公式仍然適用。這些處理有助于學(xué)生掌握本節(jié)內(nèi)容。

第22章一元二次方程

學(xué)生已經(jīng)掌握了用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法。在解決某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)還會(huì)遇到一種新方程一元二次方程�！耙辉�二次方程”一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種方程，討論這種方程的解法,并運(yùn)用這種方程解決一些實(shí)際問(wèn)題。

本章首先通過(guò)雕像設(shè)計(jì)、制作方盒、排球比賽等問(wèn)題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方程的一般形式。然后讓學(xué)生通過(guò)數(shù)值代入的方法找出某些簡(jiǎn)單的一元二次方程的解，對(duì)一元二次方程的解加以體會(huì)，并給出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次解一元二次方程”一節(jié)介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法。下面分別加以說(shuō)明。

（1）在介紹配方法時(shí)，首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出形如單的形如

的方程。這樣的方程可以化為更為簡(jiǎn)

的方程，由平方根的概念，可以得到這個(gè)方程的解。進(jìn)而舉例說(shuō)明如何解形如的方程。然后舉例說(shuō)明一元二次方程可以化為形如

的方程，引出配方法。

最后安排運(yùn)用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程，也涉及沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。對(duì)于沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，學(xué)了“公式法”以后，學(xué)生對(duì)這個(gè)內(nèi)容會(huì)有進(jìn)一步的理解。

（2）在介紹公式法時(shí)，首先借助配方法討論方程

的解法，得到一元二次方程的

求根公式。然后安排運(yùn)用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的一元二次方程，也涉及沒(méi)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種情況。

（3）在介紹因式分解法時(shí)，首先通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的例題。最后對(duì)配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的方法進(jìn)行小結(jié)。

“22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程”一節(jié)安排了四個(gè)探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、勻變速運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。

第23章旋轉(zhuǎn)

學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平移、軸對(duì)稱(chēng)，探索了它們的性質(zhì)，并運(yùn)用它們進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。本書(shū)中圖形變換又增添了一名新成員——旋轉(zhuǎn)�！靶�轉(zhuǎn)”一章就來(lái)認(rèn)識(shí)這種變換，探索它的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形。

“23.1旋轉(zhuǎn)”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹旋轉(zhuǎn)的概念。然后讓學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)例題說(shuō)明作一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形的方法。最后舉例說(shuō)明用旋轉(zhuǎn)可以進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

“23.2中心對(duì)稱(chēng)”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹中心對(duì)稱(chēng)的概念。然后讓學(xué)生探究中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)例題說(shuō)明作與一個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)的圖形的方法。這些內(nèi)容之后，通過(guò)線(xiàn)段、平行四邊形引出中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念。最后介紹關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，以及利用這一關(guān)系作與一個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)的圖形的方法。

“23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)”一節(jié)讓學(xué)生探索圖形之間的變換關(guān)系（平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運(yùn)用平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

第24章圓

圓是一種常見(jiàn)的圖形。在“圓”這一章，學(xué)生將進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，探索它的性質(zhì)，并用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)，學(xué)生的解決圖形問(wèn)題的能力將會(huì)進(jìn)一步提高。

“24.1圓”一節(jié)首先介紹圓及其有關(guān)概念。然后讓學(xué)生探究與垂直于弦的直徑有關(guān)的結(jié)論，并運(yùn)用這些結(jié)論解決問(wèn)題。接下來(lái)，讓學(xué)生探究弧、弦、圓心角的關(guān)系，并運(yùn)用上述關(guān)系解決問(wèn)題。最后讓學(xué)生探究圓周角與圓心角的關(guān)系，并運(yùn)用上述關(guān)系解決問(wèn)題。

“24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系”一節(jié)首先介紹點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系、三角形的外心的概念，并通過(guò)證明“在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)不能作圓”引出了反證法。然后介紹直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系、切線(xiàn)的概念以及與切線(xiàn)有關(guān)的結(jié)論。最后介紹圓和圓的位置關(guān)系。

“24.3正多邊形和圓”一節(jié)揭示了正多邊形和圓的關(guān)系，介紹了等分圓周得到正多邊形的方法�！�24.4弧長(zhǎng)和扇形面積”一節(jié)首先介紹弧長(zhǎng)公式。然后介紹扇形及其面積公式。最后介紹圓錐的側(cè)面積公式。

第25章概率初步

將一枚硬幣拋擲一次，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，出現(xiàn)正面的可能性大還是出現(xiàn)反面的可能性大呢？學(xué)了“概率”一章，學(xué)生就能更好地認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題了。掌握了概率的初步知識(shí)，學(xué)生還會(huì)解決更多的實(shí)際問(wèn)題。

“25.1概率”一節(jié)首先通過(guò)實(shí)例介紹隨機(jī)事件的概念，然后通過(guò)擲幣問(wèn)題引出概率的概念�！�25.2用列舉法求概率”一節(jié)首先通過(guò)具體試驗(yàn)引出用列舉法求概率的方法。然后安排運(yùn)用這種方法求概率的例題。在例題中，涉及列表及畫(huà)樹(shù)形圖。

“25.3利用頻率估計(jì)概率”一節(jié)通過(guò)幼樹(shù)成活率和柑橘損壞率等問(wèn)題介紹了用頻率估計(jì)概率的方法。

“25.4課題學(xué)習(xí)鍵盤(pán)上字母的排列規(guī)律”一節(jié)讓學(xué)生通過(guò)這一課題的研究體會(huì)概率的廣泛應(yīng)用。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第21章二次根式知識(shí)框圖

學(xué)習(xí)目標(biāo)

對(duì)于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：

1.理解二次根式的概念，了解被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；2.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念；3.理解并掌握下列結(jié)論：

-4-

（1）是非負(fù)數(shù)；（2）；（3）；

4.掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；5.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。

I.二次根式的定義和概念：

1、定義：一般地，形如√�。╝≥0）的代數(shù)式叫做二次根式。當(dāng)a＞0時(shí)，√a表示a的算數(shù)平方根,√0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式�！台。╝≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)。

II.二次根式√ā的簡(jiǎn)單性質(zhì)和幾何意義

1）a≥0;√ā≥0[雙重非負(fù)性]

2）（√�。�^2=a（a≥0）[任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式]3)√(a^2+b^2)表示平面間兩點(diǎn)之間的距離，即勾股定理推論。

III.二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式

1）二次根式√ā的化簡(jiǎn)a(a≥0）√ā=|a|={-a(a＜0)

2）積的平方根與商的平方根√ab=√a√b（a≥0，b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）3）最簡(jiǎn)二次根式條件：

（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式。

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

IV.二次根式的乘法和除法

1運(yùn)算法則

√a√b=√ab（a≥0，b≥0）√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

二數(shù)二次根之積，等于二數(shù)之積的二次根。2共軛因式

如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做共軛因式，也稱(chēng)互為有理化根式。

V.二次根式的加法和減法

1同類(lèi)二次根式

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。2合并同類(lèi)二次根式

把幾個(gè)同類(lèi)二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類(lèi)二次根式。

3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的進(jìn)行合并

Ⅵ.二次根式的混合運(yùn)算

1確定運(yùn)算順序2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時(shí)

5在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化

VII.分母有理化

分母有理化有兩種方法I.分母是單項(xiàng)式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

II.分母是多項(xiàng)式要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－bIII.分母是多項(xiàng)式要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b第22章一元二次方程知識(shí)框圖

第23章旋轉(zhuǎn)知識(shí)框圖

旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變。

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)中心

大于360°）。

把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°，

中心對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形是兩個(gè)不同而又緊密聯(lián)系的概念．它們的區(qū)別是：中心對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)也叫做中心對(duì)稱(chēng)．成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，其中一個(gè)上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在另一個(gè)圖形上，反之，另一個(gè)圖形上所有點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，又都在這個(gè)圖形上；而中心對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱(chēng)．中心對(duì)稱(chēng)圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在這個(gè)圖形本身上．如果將中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱(chēng)圖形；一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，如果把對(duì)稱(chēng)的部分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又是關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)．也就是說(shuō)：

①中心對(duì)稱(chēng)圖形：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說(shuō)，

這個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)圖形。

②中心對(duì)稱(chēng)：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合，那么我們就說(shuō)，這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng)。

中心對(duì)稱(chēng)圖形

正（2N）邊形（N為大于1的正整數(shù)），線(xiàn)段，矩形，菱形，圓

只是中心對(duì)稱(chēng)圖形

平行四邊形等．

既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形又不是中心對(duì)稱(chēng)圖形

不等邊三角形，非等腰梯形等．

中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

①關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。

②關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分。③關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行（或者在同一直線(xiàn)上）且相等。

識(shí)別一個(gè)圖形是否是中心對(duì)稱(chēng)圖形就是看是否存在一點(diǎn)，使圖形繞著這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合。

中心對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能夠完全重合，稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，該點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)中心.二者相輔相成，兩圖形成中心對(duì)稱(chēng)，必有對(duì)稱(chēng)中點(diǎn)，而點(diǎn)只有能使兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)180°后完全重合才稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)中點(diǎn).

第24章圓知識(shí)框圖

【圓的基本知識(shí)】

〖幾何中圓的定義〗

幾何說(shuō)：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。

軌跡說(shuō)：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長(zhǎng)為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱(chēng)為圓周，簡(jiǎn)稱(chēng)圓。集合說(shuō)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓�！紙A的相關(guān)量〗

圓周率：圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比叫做圓周率，值是

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，計(jì)算中常取3.14為它的近似值(但奧數(shù)常取3或3.1416)。

圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

內(nèi)心和外心：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱(chēng)為內(nèi)心。扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑稱(chēng)為圓錐的母線(xiàn)。〖圓和圓的相關(guān)量字母表示方法〗圓⊙半徑r弧⌒直徑d

扇形弧長(zhǎng)／圓錐母線(xiàn)l周長(zhǎng)C面積S〖圓和其他圖形的位置關(guān)系〗

圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內(nèi)，PO＜r。

直線(xiàn)與圓有3種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)；圓與直線(xiàn)有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線(xiàn)AB與圓O為例（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。

兩圓之間有5種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含P＜R-r。

圓的平面幾何性質(zhì)和定理

一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理

⑴圓的確定：不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條通過(guò)圓心的直線(xiàn)。圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。

⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。③S三角=1/2*△三角形周長(zhǎng)*內(nèi)切圓半徑

④兩相切圓的連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)（連心線(xiàn)：兩個(gè)圓心相連的線(xiàn)段）

⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。

〖有關(guān)切線(xiàn)的性質(zhì)和定理〗

圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)，是這個(gè)圓的切線(xiàn)。

切線(xiàn)的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

切線(xiàn)的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線(xiàn)的長(zhǎng)相等，那點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)平分切線(xiàn)的夾角。〖有關(guān)圓的計(jì)算公式〗

1.圓的周長(zhǎng)C=2πr=πd2.圓的面積S=πr^2;3.扇形弧長(zhǎng)l=nπr/1804.扇形面積S=π（R^2-r^2）5.圓錐側(cè)面積S=πrl

圓的解析幾何性質(zhì)和定理

〖圓的解析幾何方程〗

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，其實(shí)D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a^2+b^2-r^2。圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r�！紙A與直線(xiàn)的位置關(guān)系判斷〗

平面內(nèi)，直線(xiàn)Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b^2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系如下：

如果b^2-4ac>0，則圓與直線(xiàn)有2交點(diǎn)，即圓與直線(xiàn)相交。如果b^2-4ac=0，則圓與直線(xiàn)有1交點(diǎn)，即圓與直線(xiàn)相切。如果b^2-4ac

當(dāng)x1圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)其實(shí)不用這樣算太麻煩了只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1

就可以直接判斷出圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)這可以作為一個(gè)結(jié)論運(yùn)用的

且r=根號(hào)（圓心坐標(biāo)的平方和-F）

圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。圓心：圓中心固定的一點(diǎn)叫做圓心。用字母0表示

直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做圓的直徑。用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做圓的半徑。用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1／2.圓的半徑?jīng)Q定了圓的大小，圓心決定了圓的位置。

圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用C表示。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。

圓周率是一個(gè)固定的數(shù)，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，用字母π表示。近似等于3.14。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的面積公式：πr方，用字母S表示。

第25章概率初步知識(shí)框圖

第26章二次函數(shù)

知識(shí)框圖

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k

交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a

1.拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-b/2a。

對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b²-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；因?yàn)槿魧?duì)稱(chēng)軸在左邊則對(duì)稱(chēng)軸小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號(hào)

事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線(xiàn)切線(xiàn)的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c）6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。_______

Δ=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-b±√b²－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)7.定義域：R

值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無(wú)窮）；②[t，正無(wú)窮）

奇偶性：偶函數(shù)周期性：無(wú)解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]⑴a≠0

⑵a＞0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝上；a＜0，則拋物線(xiàn)開(kāi)口朝下；⑶極值點(diǎn)：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；⑷Δ=b²-4ac,

Δ＞0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，圖象與x軸交于一點(diǎn)：（-b/2a，0）；

Δ＜0，圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)；②y=a(x-h)²+t[配方式]

此時(shí)，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式]

a≠0，此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。

[編輯本段]二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax²+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），即ax²+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1．二次函數(shù)y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表：解析式y(tǒng)=ax²y=ax²+K

y=a(x-h)²y=a(x-h)²+ky=ax²+bx+c

頂點(diǎn)坐標(biāo)

(0，0)(0，K)

(h，0)(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

對(duì)稱(chēng)軸x=0x=0x=hx=hx=-b/2a

當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，當(dāng)h0,k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax²向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)²+k的圖象；

當(dāng)h>0,k

y=a(x-h)²+k的圖象；

因此，研究拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線(xiàn)的大體位置就很清楚了．這給畫(huà)圖象提供了方便．2．拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大．若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x-x|另外，拋物線(xiàn)上任何一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的距離可以由|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)）當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a

相似三角形的認(rèn)識(shí)

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。（similartriangles）�；�為相似形的三角形叫做相似三角形

相似三角形的判定方法

根據(jù)相似圖形的特征來(lái)判斷。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）

1.平行于三角形一邊的直線(xiàn)(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

（這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的證明）

2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

3.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

4.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

絕對(duì)相似三角形

1.兩個(gè)全等的三角形一定相似。

2.兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。

3.兩個(gè)等邊三角形一定相似。

直角三角形相似判定定理

1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。射影定理

三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的那個(gè)的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。

推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線(xiàn)與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。

推論六：如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線(xiàn)與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)

1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（congruenttriangles）全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：1.形狀完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。全等三角形的定義

能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱(chēng)為全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情況）當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

由此，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；三角形全等的判定公理及推論

1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)SSS或“邊邊邊”)，這一條也說(shuō)明了三角形具有穩(wěn)定性的原因。

2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS或“邊角邊”)。3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA或“角邊角”)。由3可推到

4、有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS或“角角邊”)

5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL或“斜邊，直角邊”)

所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。A是英文角的縮寫(xiě)(angle)，S是英文邊的縮寫(xiě)(side)。

全等三角形的性質(zhì)

1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)相等。4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)相等。5、全等三角形面積相等。6、全等三角形周長(zhǎng)相等。

7、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS)

8、兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)9、兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)

10、兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)11、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。(HL)全等三角形的運(yùn)用

1、性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等。而全等的判定卻剛好相反。2、利用性質(zhì)和判定，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地找出兩個(gè)全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定把對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，角、邊的順序?qū)懸恢�，為找�?duì)應(yīng)邊，角提供方便。3，當(dāng)圖中出現(xiàn)兩個(gè)以上等邊三角形時(shí)，應(yīng)首先考慮用SAS找全等三角形。

4、用在實(shí)際中，一般我們用全等三角形測(cè)等距離。以及等角，用于工業(yè)和軍事。有一定幫助。

全等三角形做題技巧

一般來(lái)說(shuō)考試中線(xiàn)段和角相等需要證明全等。因此我們可以來(lái)采取逆思維的方式。來(lái)想要證全等，則需要什么

另一種則要根據(jù)題目中給出的已知條件，求出有關(guān)信息。

然后把所得的等式運(yùn)用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等。位似

概念：相似且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行的兩個(gè)圖形叫做位似。位似一定相似但相似不一定位似~

第28章銳角三角函數(shù)

知識(shí)框圖

第29章投影與視圖知識(shí)框圖

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