六年級(jí)上數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

一、位置

在學(xué)習(xí)位置時(shí)用數(shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置，起初確定一點(diǎn)位置是根據(jù)規(guī)定和約定。由于在平面直角坐標(biāo)系中，先畫(huà)X軸，而X軸上的坐標(biāo)表示列。先用小括號(hào)將兩個(gè)數(shù)括起來(lái)，再用逗號(hào)將兩個(gè)數(shù)隔開(kāi)。括號(hào)里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)。列數(shù)與行數(shù)必須是具體的數(shù)，而不能用字母如（X，5）表示，它表述一條橫線，（5，Y）它表示一條豎線，都不能確定一個(gè)點(diǎn)。如：數(shù)對(duì)（3,2）表示第三列，第二行二、分?jǐn)?shù)乘法

分?jǐn)?shù)乘法意義：

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，與整數(shù)乘法的意義相同。2、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。分?jǐn)?shù)乘法的算法：

1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘，分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。

2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。

分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)：分子、分母同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。

關(guān)于分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算：可在乘的過(guò)程中約分，也可將積的分子分母約分，提倡在計(jì)算過(guò)程中約分，這樣簡(jiǎn)便。

約分的書(shū)寫(xiě)格式：把兩個(gè)可以約分的數(shù)先劃去，分別在它們的上下方寫(xiě)出約分后的數(shù)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分子分母同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)時(shí)（0除外），分?jǐn)?shù)值不變。倒數(shù)的意義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

特別強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在。求倒數(shù)的方法：

1、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是交換分子分母的位置。

2、求整數(shù)的倒數(shù)是把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母的位置。1的倒數(shù)是它本身。因?yàn)?*1=10沒(méi)有倒數(shù)。三、分?jǐn)?shù)除法

分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算，就是已知兩個(gè)數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。除以一個(gè)數(shù)是乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，除以幾就是乘這個(gè)數(shù)的幾分之一。

比：兩個(gè)數(shù)相除也叫兩個(gè)數(shù)的比。比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以寫(xiě)成比的形式，也可以用分?jǐn)?shù)表示，但仍讀幾比幾。注：10/2=5/1，表示比讀5比1，19：2=5，是比值，比值是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。

比可以表示兩個(gè)相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。也可以表示兩個(gè)不同量的比，得到一個(gè)新量。例：路程/速度=時(shí)間。

化簡(jiǎn)比：

1、用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)。

2、兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比，用前項(xiàng)后項(xiàng)同時(shí)乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡(jiǎn)整數(shù)比的方法來(lái)化簡(jiǎn)。3、兩個(gè)小數(shù)的比，向右移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置。也是先化成整數(shù)比。

在分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用部分，提倡畫(huà)線段圖分析數(shù)量關(guān)系。在圖上要標(biāo)出已知量和所求問(wèn)題。關(guān)鍵是找到單位“1”，畫(huà)線段圖，

主要是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？

應(yīng)用：求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾這類(lèi)題：先求出（或少）幾，再和單位“1”（即標(biāo)準(zhǔn)量作比較）。（大數(shù)-小數(shù)）/比較標(biāo)準(zhǔn)（即單位“1”）畫(huà)線段圖：（1）標(biāo)出已知和未知。

（2）分析數(shù)量關(guān)系。（3）找等量關(guān)系。（4）列方程。

注：兩個(gè)量的關(guān)系畫(huà)兩條線段圖，部分和整體的關(guān)系畫(huà)一條線段圖。

連比如：3：4：5讀作：3比4比5

比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。常用來(lái)做判斷的：

一個(gè)數(shù)除以小于1的數(shù)，商大于被除數(shù)。一個(gè)數(shù)除以1，商等于被除數(shù)。一個(gè)數(shù)除以大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)。四、圓

1.圓的特征：在同一個(gè)圓里，有無(wú)數(shù)條直徑，且所有的直徑都相等。

在同一個(gè)圓里，有無(wú)數(shù)條半徑，且所有的半徑都相等。

2.軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條直線直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。3．圓的面積推導(dǎo)，用逐漸逼近的轉(zhuǎn)化思想。

把一個(gè)圓等分（偶數(shù)份）成的份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長(zhǎng)方形。

體現(xiàn)化圓為方，化曲為直的思想，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想�；�新為舊，化未知為已知，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為具體。

找出拼出的圖形與圓的周長(zhǎng)和半徑有什么關(guān)系？

圓的半徑=長(zhǎng)方形的寬

圓的周長(zhǎng)的一半=長(zhǎng)方形的長(zhǎng)

長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬

所以：圓的面積=圓的周長(zhǎng)的一半×圓的半徑

S=πr×r

S圓=πr×r=πr2

4．圓的周長(zhǎng)：C=2πr=πd

在面積相等的情況下，圓的周長(zhǎng)最短，而長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)；反之，在周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積則最大，而長(zhǎng)方形的面積則最小。

周長(zhǎng)相同時(shí)，圓面積最大，利用這一特點(diǎn)，籃子、盤(pán)子做成圓形。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。五、百分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù)在生活中應(yīng)用廣泛，所涉及問(wèn)題基本和分?jǐn)?shù)問(wèn)題相同，但是要乘100%，%號(hào)的寫(xiě)法兩個(gè)0要小寫(xiě)，不要與百分?jǐn)?shù)前面的數(shù)混淆。百分?jǐn)?shù)與小數(shù)分?jǐn)?shù)互化。百分?jǐn)?shù)化小數(shù)，去掉百分號(hào)，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位就可以了。小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)添上百分號(hào)。小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)位置變?yōu)檎麛?shù)做分子，分母變成10、100、1000，再化簡(jiǎn)。分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，用除法，除不盡的保留兩位小數(shù)。分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：

1、用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或者縮小分母是100的分?jǐn)?shù)，再寫(xiě)成百分?jǐn)?shù)形式，這種方法簡(jiǎn)便，但有局限性。

2、利用分?jǐn)?shù)除法把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再化成百分?jǐn)?shù)。除不盡的情況結(jié)果保留三位小數(shù)三位小數(shù)，因此分子除以分母的商要算到小數(shù)第四位，四舍五入后，近似商取三位數(shù)。百分號(hào)前保留一位小數(shù)。這種方法適用范圍廣。百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，再約分。

分?jǐn)?shù)表是一個(gè)數(shù)，也可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，沒(méi)有單位。百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，也叫百分率或者百分比。

一般來(lái)講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過(guò)100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。六、統(tǒng)計(jì)

條形統(tǒng)計(jì)圖可以知道每個(gè)數(shù)量的多少。折現(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖可以知數(shù)量的增減，扇形統(tǒng)計(jì)圖可以知道部分和總量的關(guān)系。七、數(shù)學(xué)廣角

研究中國(guó)古代的雞兔同籠問(wèn)題。

1、用表格方式解決有局限性，數(shù)目必須小，例：頭數(shù)雞（只）兔（只）腿數(shù)

351343523335332

（逐一列表法、腿數(shù)少小幅度跳躍、腿數(shù)多大幅度跳躍、跳躍逐一相結(jié)合、取中列表）2、用假設(shè)法解決（1）假如都是兔（2）假如都是雞

（3）假如它們各抬起一條腿（4）假如兔子抬起兩條前腿

（5）這個(gè)問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。書(shū)中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？這四句話(huà)的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？3、用代數(shù)方法解（一般規(guī)律）

整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)類(lèi)型

（一）求甲是乙的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）的應(yīng)用題。

解法：甲數(shù)除以乙數(shù)

例：校園里有楊樹(shù)40棵，柳樹(shù)有50棵，楊樹(shù)的棵樹(shù)占柳樹(shù)的百分之幾？（或幾分之幾？）（二）求甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少的應(yīng)用題。

解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，首先要確定單位“1”，在單位“1”確定以后，一個(gè)具體數(shù)量總與一個(gè)具體分?jǐn)?shù)（分率）相對(duì)應(yīng)，這種關(guān)系叫“量率對(duì)應(yīng)”，這是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。求一個(gè)數(shù)的幾倍（幾分之幾或百分之幾）是多少用乘法，單位“1”×分率=對(duì)應(yīng)數(shù)量例：六年級(jí)有學(xué)生180人，五年級(jí)的學(xué)生人數(shù)是六年級(jí)人數(shù)的。五年級(jí)有學(xué)生多少人？5

180×=150

6（三）已知甲數(shù)的幾倍（或幾分之幾或百分之幾）是多少，求甲數(shù)（即求標(biāo)準(zhǔn)量或單位“1”）的應(yīng)用題。

解法：對(duì)應(yīng)數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率=單位“1”

3

例：育紅小學(xué)六年級(jí)男生有120人，占參加興趣活動(dòng)小組人數(shù)的.六年級(jí)參加興趣活動(dòng)小

5組人數(shù)共有學(xué)生多少人？3

120÷=200

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六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理

第一單元位置

1、行和列的意義：豎排叫做列，橫排叫做行。2、數(shù)對(duì)可以表示物體的位置，也可以確定物體的位置。3、數(shù)對(duì)表示位置的方法：先表示列，再表示行。用括號(hào)把代表列和行的數(shù)字或字母括起來(lái)，再用逗號(hào)隔開(kāi)。例如：（7，9）表示第七列第九行。

4、兩個(gè)數(shù)對(duì)，前一個(gè)數(shù)相同，說(shuō)明它們所表示物體位置在同一列上。如：（2，4）和（2，7）都在第2列上。5、兩個(gè)數(shù)對(duì)，后一個(gè)數(shù)相同，說(shuō)明它們所表示物體位置在同一行上。如：（3，6）和（1，6）都在第6行上。6、物體向左、右平移，行數(shù)不變，列數(shù)減去或加上平移的各數(shù)。

物體向上、下平移，列數(shù)不變，行數(shù)減去或加上平移的各數(shù)。

第二單元分?jǐn)?shù)乘法

（一）、分?jǐn)?shù)乘法的意義。

1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和得簡(jiǎn)便運(yùn)算。

55

例如：×6，表示：6個(gè)相加是多少，還表

1212

5

示的6倍是多少。12

2、一個(gè)數(shù)（小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)）乘分?jǐn)?shù)：一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義與整數(shù)乘法的意義不相同，是表示這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。

55

例如：6×，表示：6的是多少。

12122525

×，表示：的是多少。

712712

（二）、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：

1、整數(shù)和分?jǐn)?shù)相乘：整數(shù)和分子相乘的積作分子，分母不變。

2、分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)相乘：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

3、注意：能約分的先約分，然后再乘，得數(shù)必須是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。（三）、分?jǐn)?shù)大小的比較：

1、一個(gè)數(shù)（0除外）乘以一個(gè)真分?jǐn)?shù)，所得的積小于它本身。一個(gè)數(shù)（0除外）乘以一個(gè)假分?jǐn)?shù)，所得的積

1

等于或大于它本身。一個(gè)數(shù)（0除外）乘以一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，所得的積大于它本身。

2、如果幾個(gè)不為0的數(shù)與不同分?jǐn)?shù)相乘的積相等，那么與大分?jǐn)?shù)相乘的因數(shù)反而小，與小分?jǐn)?shù)相乘的因數(shù)反而大。

（四）、解決實(shí)際問(wèn)題。1分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一般解題步行驟。（1）找出含有分率的關(guān)鍵句。（2）找出單位“1”的量

（3）根據(jù)線段圖寫(xiě)出等量關(guān)系式：?jiǎn)挝弧?”的量×對(duì)應(yīng)分率=對(duì)應(yīng)量。

（4）根據(jù)已知條件和問(wèn)題列式解答。2．乘法應(yīng)用題有關(guān)注意概念。

（1）乘法應(yīng)用題的解題思路：已知一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？

（2）找單位“1”的方法：從含有分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵句中找，注意“的”前“比”后的規(guī)則。當(dāng)句子中的單位“1”不明顯時(shí)，把原來(lái)的量看做單位“1”。

（3）甲比乙多幾分之幾表示甲比乙多的數(shù)占乙的幾分之幾，甲比乙少幾分之幾表示甲比乙少數(shù)占乙的幾分之幾。

（4）在應(yīng)用題中如：小湖村去年水稻的畝產(chǎn)量是750千克，今年水稻的畝產(chǎn)量是800千克，增產(chǎn)幾分之幾？題目中的“增產(chǎn)”是多的意思，那么誰(shuí)比誰(shuí)多，應(yīng)該是“多比少多”，“多”的是指800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克多幾分之幾，結(jié)合應(yīng)用題的表達(dá)方式，可以補(bǔ)充為“今年水稻的畝產(chǎn)量比去年水稻的畝產(chǎn)量多幾分之幾？”

（5）“增加”、“提高”、“增產(chǎn)”等蘊(yùn)含“多”的意思，“減少”、“下降”、“裁員”等蘊(yùn)含“少”的意思，“相當(dāng)于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。

（6）當(dāng)關(guān)鍵句中的單位“1”不明顯時(shí)，要把關(guān)鍵句補(bǔ)充完整,補(bǔ)充成“誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾”或“甲比乙多幾分之幾”、“甲比乙少幾分之幾”的形式。（7）乘法應(yīng)用題中，單位“1”是已知的。（8）單位“1”不同的兩個(gè)分率不能相加減，加減屬相差比，始終遵循“凡是比較，單位一致”的規(guī)則。（9）．找到單位“1”后，分析問(wèn)題，已知單位“1”用乘法，未知單位“1”用除法（注意：求單位“1”是最后一步用除法，其余計(jì)算應(yīng)在前）。單位“1”×分率=比較量；比較量÷分率=單位“1”（10）．單位“1”不同的兩個(gè)分率不能相加減，解應(yīng)用題時(shí)應(yīng)把題中的不變量做為單位“1”，統(tǒng)一分率的單位“1”，然后再相加減。

（11）．單位“1”的特點(diǎn)：①單位“1”為分母；②單位“1”為不變量。（12）分率與量要對(duì)應(yīng)。①多的對(duì)應(yīng)量對(duì)多的分率；②少的對(duì)應(yīng)量對(duì)少的分率；③增加的對(duì)應(yīng)量對(duì)增加的分率；④減少的對(duì)應(yīng)量對(duì)減少的分率；⑤提高的對(duì)應(yīng)量對(duì)提高的分率；⑥降低的對(duì)應(yīng)量對(duì)降低的分率；

⑦工作總量的對(duì)應(yīng)量對(duì)工作總量的分率；⑧工作效率的對(duì)應(yīng)量對(duì)工作效率的分率；⑨部分的對(duì)應(yīng)量對(duì)部分的分率；⑩總量的對(duì)應(yīng)量對(duì)總量的分率；

例如：1、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少？（求一個(gè)數(shù)的幾分之幾用乘法計(jì)算）

方法：?jiǎn)挝弧?”的數(shù)量×對(duì)應(yīng)分率=對(duì)應(yīng)數(shù)量。2、分?jǐn)?shù)的連乘。找到每一個(gè)分率的單位“1”。（五）、倒數(shù)

1、倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。2、求倒數(shù)的方法：把這個(gè)數(shù)寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，然后將分子和分母交換位置。

3、0沒(méi)有倒數(shù)，1的倒數(shù)是它本身。

4、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都大于它本身，假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)等于或小于它本身。

注意：倒數(shù)必須是成對(duì)的兩個(gè)數(shù)，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能稱(chēng)做倒數(shù)。

第三單元分?jǐn)?shù)除法

（一）、分?jǐn)?shù)除法的意義：

分?jǐn)?shù)除法的意義：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的

2

意義相同，都是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

例如：

2512表示：已知兩個(gè)數(shù)的積是,514542與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)是多少。

2525÷4表示已知兩個(gè)數(shù)的積是,與其中一個(gè)平均分成4

因數(shù)4，求另一個(gè)因數(shù)是多少。還表示把份，每份是多少。（二）、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算：

分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。（三）比和比的應(yīng)用：

1．比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。比的后項(xiàng)不能為0。

2.比值的意義：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。3．比值的表示方式：通常用分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)表示。4．比同除法的關(guān)系：比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商.

5．比同分?jǐn)?shù)的關(guān)系：比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，比的后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)的值。

6．比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。

7.化簡(jiǎn)比的方法：根據(jù)比的基本性質(zhì)，把兩個(gè)數(shù)的比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比，叫做化簡(jiǎn)比，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)必須是互質(zhì)的整數(shù)。

例如：（1）1620=（16÷4）（20÷4）=455353

（2）=(×12)（×12）=109

6464

（3）1.80.09=（1.8×100）（0.09×100）

=1809=201

8．在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種方法通常叫做按比例分配。

9．按比例分配的解題方法：

（1）先求出總的份數(shù)，再求出各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的幾分之幾。

（2）用總數(shù)乘各部分的分率求出各部分的數(shù)量。10．分?jǐn)?shù)除法中，被除數(shù)與商的大小關(guān)系：

一個(gè)數(shù)（0除外）除以一個(gè)真分?jǐn)?shù)，所得的商大于它本身。

一個(gè)數(shù)（0除外）除以一個(gè)假分?jǐn)?shù)，所得的商小于或等于它本身。

一個(gè)數(shù)（0除外）除以一個(gè)帶分?jǐn)?shù)，所得的商小于它本身。

（四）解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題注意事項(xiàng)：

1．找單位“1”的方法：從含有分率的句子中找，“的”前或“比”后的規(guī)則。當(dāng)句子中的單位“1”不明顯時(shí)，把原來(lái)的量看做單位“1”。

2．找到單位“1”后，分析問(wèn)題，已知單位“1”用乘法，未知單位“1”用除法（注意：求單位“1”是最后一步用除法，其余計(jì)算應(yīng)在前）。數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)挝弧?”×對(duì)應(yīng)分率=對(duì)應(yīng)數(shù)量；對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率=單位“1”的量3．單位“1”不同的兩個(gè)分率不能相加減，解應(yīng)用題時(shí)應(yīng)把題中的不變量做為單位“1”，統(tǒng)一分率的單位“1”，然后再相加減。

4．單位“1”的特點(diǎn)：①單位“1”為分母；②單位“1”為不變量。

5.“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的解題方法：

（1）設(shè)單位“1”的量為x，列方程解答。（2）對(duì)應(yīng)數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率=單位“1”的總數(shù)量。6．工程問(wèn)題：把工作總量看作單位“1”，

1

工作時(shí)間

工作時(shí)間=1÷工作效率工作效率=

合作時(shí)間=工作總量÷工作效率之和第四單元圓

1、圓心：圓中心一點(diǎn)叫做圓心。用字母“O”來(lái)表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，用字母“r”來(lái)表示。

直徑：通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母“d”表示。

2．圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。3．在同一個(gè)圓內(nèi)，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。在同一個(gè)圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑，有無(wú)數(shù)條直徑。

3

在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，半徑的長(zhǎng)

1

度是直徑的一半。用字母表示為：d＝２rr＝d

2

4．圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。5．圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。我們把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率，用字母表示。圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，取3.14。世界上第一個(gè)把圓周率算出來(lái)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。6．圓的周長(zhǎng)公式：C=d或C=2r

7、圓的面積：圓所占平面的大小叫圓的面積。8．把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，割拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，因?yàn)殚L(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=r×r＝ｒ9．圓的面積公式：Ｓ＝ｒ或者S=（d2）或者S=（C2）

10．在一個(gè)正方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。圓的面積和正方形面積的比是：4。在一個(gè)圓里畫(huà)一個(gè)最大正方形的，圓的直徑的長(zhǎng)度等于正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，正方形的面積=對(duì)角線×對(duì)角線÷2=直徑×直徑÷2。

11．在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的短邊。

12．一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑是R，內(nèi)圓的半徑是r，它的面積是S=R－ｒ或S=（R－ｒ）。（其中R＝r＋環(huán)的寬度．）

13．環(huán)形的周長(zhǎng)＝外圓周長(zhǎng)＋內(nèi)圓周長(zhǎng)14．半圓的周長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。

半圓周長(zhǎng)公式：Ｃ＝d2＋d或Ｃ＝r＋2r15．半圓面積＝圓面積2公式為：Ｓ＝ｒ246．在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小以上倍數(shù)的平方倍。

例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大４倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大４倍，而面積擴(kuò)大１６倍。17．兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長(zhǎng)比，而面積比等于以上比的平方。例如：兩個(gè)圓的半徑比是２：３，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是２：３，而面積比是４：９。18．當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加ａ厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加２ａ厘米；當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加ａ厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增加第五單元百分?jǐn)?shù)

1．百分?jǐn)?shù)的定義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)之間的比率關(guān)系，不表示具體的數(shù)量，無(wú)單位名稱(chēng)。

例如：25％的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的25％。

2．百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)分子后面加上“％”來(lái)表示。分子部分可為小數(shù)、整數(shù)，可以大于100，小于100或等于100。3．小數(shù)與百分?jǐn)?shù)互化的規(guī)則：

把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)；（加向右）

把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。（去向左）4．百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)互化的規(guī)則：

把分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)，通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡的保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)；把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

5、常用的分?jǐn)?shù)、小數(shù)及百分?jǐn)?shù)的互化

ａ厘米。19．在同一圓中，圓心角占圓周角的幾分之幾，它所在扇形面積就占圓面積的幾分之幾；所對(duì)的弧就占圓周長(zhǎng)的幾分之幾．20．當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積最大，長(zhǎng)方形的面積最小；當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的面積相等時(shí)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最大，圓的周長(zhǎng)最小。n21．扇形弧長(zhǎng)公式：Ｌ＝3602r或nn360d扇形的面積公式：S=360ｒ（n為扇形的圓心角度數(shù)，r為扇形所在圓的半徑）22．軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。23．有1一條對(duì)稱(chēng)軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。有2條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：長(zhǎng)方形有3條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：等邊三角形有4條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：正方形有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：圓、圓環(huán)。24．直徑所在的直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸。25、倍表1π3.1411π34.5421π65.946π113.0416π803.842π6.2812π37.6822π69.087π153.8617π907.463π9.4213π40.8223π72.228π200.9618π1017.364π12.5614π43.9624π75.369π254.3419π1133.5422222222202π1256226π18.8416π50.2426π81.6411π379.9421π1384.74227π21.9817π53.3827π84.7812π452.1622π1519.76228π25.1218π56.5228π87.9213π530.6623π1661.06229π28.2619π59.6629π91.0614π615.4424π1808.642210π31.420π62.830π94.215π706.525π1962.55π15.715π47.125π78.510π314

4

211

=0.5=50%=0.25=25%2431

=0.75=75%=0.2=20%4523

=0.4=40%=0.6=60%5541

=0.8=80%=0.125=12.5%5835

=0.375=37.5%=0.625=62.5%8871

=0.875=87.5%=0.1=10%81011

=0.0625=6.25%=0.05=5%16201*

=0.04=4%=0.025=2.5%254011=0.02=2%=0.01=1%5016．百分率公式：求百分率就是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。（算式要加×100%，包括濃度、利潤(rùn)率）

發(fā)芽種子數(shù)試驗(yàn)種子總數(shù)面粉的重量小麥的重量合格產(chǎn)品數(shù)產(chǎn)品總數(shù)9．已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)？部分量÷百分率=一個(gè)數(shù)（單位“1”）10、濃度問(wèn)題

發(fā)芽率100%溶質(zhì)（鹽）的重量＋溶劑（水）的重量＝溶液（鹽水）的重量

溶質(zhì)(鹽)的重量÷溶液（鹽水）的重量×100%＝濃度

出粉率100%

合格率100%溶液（鹽水）的重量×濃度＝溶質(zhì)（鹽）的重量

溶質(zhì)（鹽）的重量÷濃度＝溶液（鹽水）的重量

出勤率實(shí)際出勤人數(shù)總?cè)藬?shù)100%

最常用的是用方程解濃度問(wèn)題

比如兩種不同濃度的溶液混合，最常用的數(shù)量關(guān)系是甲溶液質(zhì)量×甲的濃度+乙溶液質(zhì)量×乙的濃度=總?cè)芤嘿|(zhì)量×總的濃度

11．折扣：商品的現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的百分之幾。幾折就是十分之幾也就是百分之幾十。

“八折”的含義是：現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的80%；“八五折”的

出油率油的重量花生仁油菜子的重量鹽的重量鹽水的重量糖的重量糖水的重量100%

100%含鹽率含糖率=100%及格率及格的人數(shù)參加考試的總?cè)藬?shù)命中的數(shù)量打的總數(shù)量活了的棵數(shù)栽的總棵數(shù)正確的題數(shù)做題的總數(shù)大米的重量100%100%

含義是：現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的85%

公式：現(xiàn)價(jià)=原價(jià)×折數(shù)（通常寫(xiě)成百分?jǐn)?shù)形式）

利潤(rùn)=售價(jià)-成本

利潤(rùn)

利潤(rùn)率=×100%

成本

成數(shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)十分之幾的數(shù)，叫做成

數(shù)。例如，今年的糧食產(chǎn)量比去年增產(chǎn)“二成”�！岸�

成”即是十分之二，也就是今年的糧食產(chǎn)量比去年增加了20%。

12．納稅：納稅是根據(jù)國(guó)家各種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個(gè)人收入的一部分繳納給國(guó)家。國(guó)家用收來(lái)的稅款發(fā)展經(jīng)濟(jì)、科技、教育、文化和國(guó)防安全。納稅的種類(lèi)：將納稅主要分為增值稅、消費(fèi)稅、營(yíng)業(yè)稅、個(gè)人所得稅等幾類(lèi)。13．應(yīng)納稅額：繳納的稅款叫應(yīng)納稅額。

14．稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率叫做稅率。15．應(yīng)納稅額的計(jì)算：應(yīng)納稅額＝各種收入×稅率例如：一家飯店十月份的營(yíng)業(yè)額約是30萬(wàn)元，如

5

命中率成活率100%

正確率100%稻谷的重量7.求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾（另一個(gè)

出米率100%

數(shù)是單位“1”）

實(shí)際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)約了百分之幾等來(lái)表示增加、或減少的幅度。

求甲比乙多百分之幾（甲-乙）÷乙求乙比甲少百分之幾（甲-乙）÷甲8．求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少

一個(gè)數(shù)（單位“1”）×百分率

果安營(yíng)業(yè)額的5%繳納營(yíng)業(yè)稅，這家飯店十月份應(yīng)繳納營(yíng)業(yè)稅多少萬(wàn)元？

16．儲(chǔ)蓄的意義：人們常常把暫時(shí)不用的錢(qián)存入銀行或信用社，儲(chǔ)蓄起來(lái)，這樣不僅可以支援國(guó)家建設(shè)，也使得個(gè)人用錢(qián)更加安全和有計(jì)劃，還可以增加一些收入。

17．存款的類(lèi)型：存款分為活期、整存整取、零存整取等方式。

18．本金：存入銀行的錢(qián)叫做本金。

19．利息：取款時(shí)銀行多支付的錢(qián)叫做利息。本息：本金與利息的總和叫做本息。

20．國(guó)家規(guī)定，存款的利息要按5％（根據(jù)題目要求數(shù)據(jù)計(jì)算）的稅率納稅。國(guó)債的利息不納稅。21．利率：利息與本金的比值叫做利率。

22．銀行存款稅后利息的計(jì)算公式：利息＝本金×利率×?xí)r間×（１－5％）

23．銀行存款利息的稅金＝利息×5％或＝本金×利率×?xí)r間×5％

第六單元統(tǒng)計(jì)

扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：可以清楚直觀地反映各部份數(shù)量同總量之間的關(guān)系。

折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：不但能夠看出數(shù)量的多少，還可以反映出數(shù)量增減變化的情況。

條形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：能夠清楚的看出數(shù)量的多少。

第七單元數(shù)學(xué)廣角

（一）雞兔同籠假設(shè)法公式：

解法1：雞的只數(shù)=（兔的腳數(shù)×總只數(shù)－總腳數(shù)）

÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）

兔的只數(shù)=總只數(shù)－雞的只數(shù)

解法2：兔的只數(shù)=總腳數(shù)－雞的腳數(shù)×總只數(shù)）

÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）

雞的只數(shù)=總只數(shù)－兔的只數(shù)

解法3：兔的只數(shù)=總腳數(shù)÷2總頭數(shù)

雞的只數(shù)=總只數(shù)兔的只數(shù)

（二）方程法：解設(shè)：兔子有х只，則雞的只數(shù)是（總

補(bǔ)充一：圖形計(jì)算公式

1正方形：周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)2長(zhǎng)方形：周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2長(zhǎng)=周長(zhǎng)÷2－寬

面積=長(zhǎng)×寬長(zhǎng)=面積÷寬

3三角形：面積=底×高÷2

三角形高=面積×2÷底三角形底=面積×2÷高

4平行四邊形：面積=底×高底=面積÷高5梯形：面積=(上底+下底)×高÷2高=面積×2÷(上底+下底)上底=面積×2÷高－下底6圓形

(1)周長(zhǎng)=直徑×圓周率（π）=2×圓周率π×半徑(2)面積=半徑×半徑×圓周率（π）7正方體表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6

體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)

8長(zhǎng)方體表面積=(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2

體積=長(zhǎng)×寬×高

補(bǔ)充二：其他應(yīng)用題基本數(shù)量關(guān)系式

平均數(shù)問(wèn)題：總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)

和差問(wèn)題：(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù)和倍問(wèn)題：和÷(倍數(shù)＋1)＝1份數(shù)1份數(shù)×倍數(shù)＝幾份數(shù)差倍問(wèn)題：差÷(倍數(shù)－1)＝1份數(shù)1份數(shù)×倍數(shù)＝幾份數(shù)植樹(shù)問(wèn)題：（1）兩端都要植樹(shù)棵數(shù)＝全長(zhǎng)÷棵距＋1⑵一端植樹(shù)及封閉線路上植樹(shù)棵數(shù)＝全長(zhǎng)÷棵距⑶兩端都不植樹(shù)棵數(shù)＝全長(zhǎng)÷棵距－1盈虧問(wèn)題

(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)相遇問(wèn)題

相遇路程＝速度和×相遇時(shí)間相遇時(shí)間＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇時(shí)間追及問(wèn)題

追及距離＝速度差×追及時(shí)間追及時(shí)間＝追及距離÷速度差

速度差＝追及距離÷追及時(shí)間

只數(shù)-х）。然后找出數(shù)量關(guān)系式列式即可。

6

年齡問(wèn)題：年齡差永遠(yuǎn)不變

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