七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)知識(shí)梳理第五章相交線與平行線

二、知識(shí)定義

鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：

同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角叫內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。同旁內(nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。命題：判斷一件事情的語句叫命題。

做同位角。

平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移平移變換，簡稱平移。

對(duì)應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。三、定理與性質(zhì)

對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。判定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。二、知識(shí)定義

有序數(shù)對(duì)：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)叫做有序數(shù)對(duì)，記做（a,b）

平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。

橫軸、縱軸、原點(diǎn)：水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸；兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)P，過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

象限：兩條坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)部分，右上部分叫第一象限，按逆時(shí)針方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不在任何一個(gè)象限內(nèi)。第七章三角形二、知識(shí)定義

三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高。中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。三、公式與性質(zhì)三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°三角形外角的性質(zhì)：

性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。

多邊形對(duì)角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分詞（n-2）個(gè)三角形。（2）n邊形共有

n(n-3)條對(duì)角線。2第八章二元一次方程組二、知識(shí)定義

二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

二元一次方程組：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。

二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組。消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。第九章不等式與不等式組二、知識(shí)定義

不等式：一般地，用符號(hào)“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。

一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。三、定理與性質(zhì)不等式的性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變第十章數(shù)據(jù)的收集、整理與描述二、知識(shí)定義

全面調(diào)查：考察全體對(duì)象的調(diào)查方式叫做全面調(diào)查。

抽樣調(diào)查：調(diào)查部分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)部分來估計(jì)總體的調(diào)查方式稱為抽樣調(diào)查。總體：要考察的全體對(duì)象稱為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。樣本：被抽取的所有個(gè)體組成一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量。

頻數(shù)：一般地，我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為該組的頻數(shù)。頻率：頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比為頻率。

組數(shù)和組距：在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)，把數(shù)據(jù)按照一定的范圍分成若干各組，分成組的個(gè)數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個(gè)端點(diǎn)的差叫做組距。

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努力學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科；數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵就是知識(shí)和方法；

知識(shí)是鎖眼，方法是鑰匙。缺少哪個(gè)都不能打開題目這把鎖；那么我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也要針對(duì)這兩點(diǎn)進(jìn)行。

一、掌握課本知識(shí)內(nèi)容及內(nèi)涵

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)解題的基石。只有掌握了課本知識(shí)的內(nèi)容，理解知識(shí)的內(nèi)涵，才能更好地運(yùn)用它來解決問題。

二、多看例題

數(shù)學(xué)有的概念、定理較抽象，我們可以通過例題，將已有的概念具體化，使

自己對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，更加透徹！看例題時(shí)，還要注意以下幾點(diǎn)：

1、看一道例題，解決一類問題。不能只看皮毛，不看內(nèi)涵。我們看例題，要注意總結(jié)并掌握其解題方法，建立起更寬的解題思路。不能看一道題就只會(huì)一道題，只記題目答案不記方法，這樣看例題也就失去了它本來的意義。每看一道題目，就應(yīng)理清解題思路，掌握解題方法，再遇到同類型的題目，我們就不在難了。既然有“授人以魚，不如授人以漁”，那么我們是不是也可以說“要魚不如要漁”呢！

2、我們不僅要看例題還要會(huì)總結(jié)，總結(jié)題型、解題思路和方法。運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想。最好把總結(jié)的寫出來。以后復(fù)習(xí)時(shí)再看，就事半功倍了。

3、會(huì)模仿，也要?jiǎng)?chuàng)新。在看例題的解題時(shí)，首先想自己遇到這個(gè)題怎么做，然后看例題怎么解答的，之后我們還要思考還有沒有其它方法和思路。我們最后看哪種方法更簡便。

三、多做練習(xí)

“多”講的是題型多，不是題目數(shù)量多。不怕難題，就怕生題。題海戰(zhàn)術(shù)不

一定好，但是接觸的題型多了，總結(jié)的解題方法多了。以后遇到相同類型的題目也就不怕了。

四、心細(xì)，多思，善問，勤總結(jié)

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，做題目時(shí)要細(xì)心，一個(gè)符號(hào)之差，題目的解就可能完全不一樣了，遇到問題要多思考，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維，思考實(shí)在不會(huì)的，我們就要問，去弄懂。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們要會(huì)總結(jié)，還要勤總結(jié)。多總結(jié)知識(shí)內(nèi)容，總結(jié)解題方法，解題思想。一方面能夠起到復(fù)習(xí)鞏固的作用，另一方面能提高自己的自學(xué)能力。

數(shù)學(xué)的四大思維體系：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、分類討論、方程思想。

第六章實(shí)數(shù)

一、知識(shí)總結(jié)

（一）平方根與立方根

1、平方根

（1）定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。

（2）表示：非負(fù)數(shù)a的平方根記作±a，讀作“正負(fù)根號(hào)a”，（a叫做被開方數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)的沒有平方根。（4）開平方：求平方根的運(yùn)算叫做開平方。

Ⅰ、平方根是開平方的結(jié)果；Ⅱ、開平方與平方互為逆運(yùn)算。2、算術(shù)平方根

（1）定義：正數(shù)a的正的平方根a叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。（2）性質(zhì)：（1）一個(gè)數(shù)a的算術(shù)平方根具有非負(fù)性；即：a≥0恒成立。（2）正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個(gè)，且為正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)的沒有算術(shù)平方根。3、立方根：

（1）定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根。

（2）表示：a的立方根記作3a，讀作“三次根號(hào)a”（a叫做被開方數(shù)，3叫根指數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的立方根是1個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是1個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。

（二）實(shí)數(shù)

1、無理數(shù)：無限不循環(huán)的小數(shù)。（一個(gè)無理數(shù)與若干有理數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果還是無理數(shù)）2、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。3、實(shí)數(shù)分類：（1）按定義分（略）（2）按正負(fù)性分（略）4、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。5、實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)：（與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)意義類似）6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：實(shí)數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，正數(shù)及零可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)于實(shí)數(shù)仍然適用。7、實(shí)數(shù)大小：（1）正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而�。唤^對(duì)值小的反而大。（3）數(shù)軸上不同的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。實(shí)數(shù)比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數(shù)法、估值法

二、解題實(shí)用

1、21.414212、a231.73252.236

a

a2a

3a3a33a

3、ab

ab

abababb0

三、典題練習(xí)

1、16的平方根是；-3的算術(shù)平方根是；-32的立方根是。2、如果一個(gè)有理數(shù)的算術(shù)平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是；如果一個(gè)有理數(shù)的平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是。

3、一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則與他相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是。4、下列各數(shù)中一定為正數(shù)的是（填序號(hào)）

①x②x1③x2④3x1⑤x15、當(dāng)x

（4）解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式。

2、不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

即：如果ab，那么acbc.

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即：如果ab，并且c0，那么acbc；

acbc.

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。即：如果ab，并且c0，那么acbc；

性質(zhì)4：如果ab，那么ba.（對(duì)稱性）性質(zhì)5：如果ab,bc,那么ac.（傳遞性）

acbc.

（二）一元一次不等式

1、定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等號(hào)兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法：

根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)；一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；

(4)合并同類項(xiàng)；(5)系數(shù)化為1.

解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：

（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式組

1、定義：有幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個(gè)不等式解集的公共部分，叫做這個(gè)（一元一次）不等式組的解集。

3、解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。4、一元一次不等式組的解法

1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下面四種情況：不等式組ab解集xb口訣記憶同大取大同小取小

xaxbxaxbxa

xaxbaxb大小小大中間找大大小小則無解xaxb無解（四）一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題

解題的步驟：

⑴審題，找出不等關(guān)系→⑵設(shè)未知數(shù)→⑶列出不等式（組）→⑷求出不等式的解集→⑸找出符合題意的值→⑹作答。

二、解題技巧

一、有解無解問題：

（1）（3）xaxbxaxb有解：ab無解：ab（2）

xaxb有解：ab無解：ab

有解：ab無解：ab2、特征解問題：

解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡記為m)當(dāng)作已知數(shù)，去解原式→得到原式的解（含m)→根據(jù)解的特征列出式子（關(guān)于m的式子)→解出m的值。

例：已知ax2x1的解集為x1，求a的值。解：解不等式ax2x1把a(bǔ)當(dāng)作已知數(shù)，去解原式得xa1得到原式的解（含a)則a-11根據(jù)解的特征列出式子解得a2解出a的值

三、典題練習(xí)

1、若關(guān)于x的不等式xm1x2m1有解，則m的取值范圍是？若無解呢？

2、已知關(guān)于x，y的方程組2xy1mx2y2的解滿足xy0，求m的取值范圍。

3、適當(dāng)選擇a的取值范圍，使1.7＜x＜a的整數(shù)解：

（1）x只有一個(gè)整數(shù)解；（2）x一個(gè)整數(shù)解也沒有。4、解不等式（組）

2x53x,（1）x2（2）x322x124x3x7,3x3x,236x35x4,（3）3x72x3.1[x2(x3)]1.2（4）－5＜6－2x＜3（5）y3y832(10y)71.

5、若m、n為有理數(shù)，解關(guān)于x的不等式(－m2－1)x＞n．

6、已知關(guān)于x，y的方程組7、已知關(guān)于x的不等式組3x2yp1,4x3yp1xb02x45的解滿足x＞y，求p的取值范圍。

的整數(shù)解共有3個(gè)，求b的取值范圍。

8、已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，試比較A與B的大小。

3x4a,9、已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，求a的值。

x201*、某種商品進(jìn)價(jià)為150元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為225元，由于銷售情況不好，商品準(zhǔn)備降價(jià)出售，

但要保證利潤不低于10％，那么商店最多降價(jià)多少元出售商品?

11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè)，且每制造一個(gè)甲種零件可獲利150元，每制造一個(gè)乙種零件可獲利260元。在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件。（1）若此車間每天所獲利潤為y(元)，用x的代數(shù)式表示y。

（2）若要使每天所獲利潤不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件?12、某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元。（1）若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種客車各需多少錢?

（2）若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省

租金，請選擇最節(jié)省的租車方案。

第八章整式乘除與因式分解

一、知識(shí)總結(jié)

（一）冪的運(yùn)算：

1、同底數(shù)冪乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。aaa2、同底數(shù)冪除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。a3、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。ammmnmn

anamnnamn

4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。abambm

m注：（1）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1；a01a0（2）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p（p為正整數(shù)）指數(shù)冪，

等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。ap1apa0

a10（3）科學(xué)記數(shù)法：ca10n或ca10-n1絕對(duì)值小于1的數(shù)可記成a10

-n

的形式，其中1a10，n是正整數(shù)，n等于原

數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零）。

（二）整式乘法：

1、單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。

3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。

（三）、完全平方公式與平法差公式

1、完全平方公式：aba22abb2a-ba2-2abb2兩個(gè)數(shù)的和（或

22差）的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加（或減）這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。

2、平法差公式：a2-b2aba-b兩個(gè)數(shù)的平方之差等于這兩個(gè)數(shù)的和

與這兩個(gè)數(shù)的差之積。

（四）、整式除法

（1）單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相除，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這

個(gè)單項(xiàng)式再把所得的商相加。

（五）、因式分解

1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2、分解因式的基本方法：

（1）提公因式法

（2）公式法：運(yùn)用完全平方公式和平法差公式（3）對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法：

21）配方法，2）十字相乘法：公式xabxabxaxb

例：將x4x3因式分解。

方法一：配方法：原式=x4x4-43=x2-1=x1x3

222方法二：十字相乘法：x4x3=x1x3

2（4）分組分解法

3、分解因式的技巧：

(1)因式分解時(shí)，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；(2）因式分解時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，看看分組分解法是否更簡潔(3)變形技巧：

①符號(hào)變形Ⅰ、x-y-y-xⅡ、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x-y-y-xⅢ、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x-yy-x

-7-

nnnn

②增項(xiàng)變形：例：4x414x14x-4x4224x4x1-4x422

③拆項(xiàng)變形：

例x2x-1xxx-1xx3232232x2-1x2x1x-1x1

二、典題練習(xí)

1、計(jì)算題

(1)a-2b2b-a（2)2xx(3)a253m-2352m(4)aa

(5)310521432310(6)x2y-x-2yx2y32、快速計(jì)算：（1）10397（2）1023、2m2（3）992

4，4mnn16，求22m-n的值。

4、如果2x2n64成立，那么m,n。

5、在括號(hào)內(nèi)填上指數(shù)和底數(shù)

（1）8322（2）9332

226、化簡求值：已知x-2x3，求x-1x3x-3x-3x-1的值。

xy7、已知2x5y4，再求432的值。

228、已知ab3，ab-5，求代數(shù)式的值：（1）ab（2）a-b

22232449、因式分解：1）x2x-5x-62）x-yaxay3）a4b

10、比較99999993與999611、不解不等式組

2的大小。

，求7nm-3n-23n-m的值。

232mn6m-3n1第九章分式

一、知識(shí)總結(jié)

（一）分式及其性質(zhì)

1、分式

（1）定義：一般的，如果a，b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。

-8-

ab叫做分

（2）有理式：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意義，則分母≠0）（4）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式。2、分式的性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變即：

abambmambm（a，b，m都是整式，且m0）

分式的性質(zhì)是分式化簡和運(yùn)算的依據(jù)。

3、約分：把一個(gè)式子的分子分母的公因式約去叫做約分。注：約分的結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。約分的方法：

1）若分子、分母均為單項(xiàng)式：先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母最低次冪；2）若分子、分母有多項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式因式分解，再找分子、分母的公因式。（二）分式運(yùn)算1、分式的乘除

1）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的積做分子，分母的積做分母；即：bacdacbd

2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；即：

abcdabdcadbc

na3）分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即：babnna，bnab1n

2、分式的加減

1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即：

abcbacbb0

2）異分母分式加減：先通分，變?yōu)橥�分母的分式相加減，即：

abcdadbdbcbdadbcbdbd0

（三）分式方程

1、定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解法：

整式方程1）基本思路：分式方程2）轉(zhuǎn)化方法：方程兩邊都乘以各個(gè)分式最簡公分母，約去分母。

整式方程解整式方程檢驗(yàn)3）一般步驟：分式方程通過轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化注：檢驗(yàn)的是必不可缺的關(guān)鍵步驟，檢驗(yàn)的目的是看是否有增根存在。

（四）分式應(yīng)用

列分式方程解決實(shí)際問題的一般步驟：審題設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程

檢驗(yàn)（①是否有增根，②是否符合題意）得出答案

二、分式解題中常用的數(shù)學(xué)思想和技巧

1、已知

1x1y5，求

2x-3xy2yx2xyy22的值。（整體思想、構(gòu)造法）

2、已知

xy43，求

3x-5xy2y2x3xy-5ya1aab1b1a1b222的值。（整體思想、構(gòu)造法）

bc1cca3、已知abc1，求4、已知

1a1b161bbc1c1a115的值。

abcabbcac，

1c1c19，，求。

（先得到

x1x2的值，然后按第1題方法做）

1x1x25、已知4，求xx2的值。（提示：

x1x）

6、已知

bcaxcababc，求

abcabbcac的值。（提示：參數(shù)法）

7、已知

x-x121，求

xx422x41的值。（倒數(shù)求值法）

1x28、已知x-5x10，求x1x4的值。（提示：由x-5x10得x5x2y-z22222225）

9、已知4x-3y-6z0，x2y-7z0，求的值。

2x-3y-10z（提示：消元代入法，把其中一個(gè)未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示其它的未知數(shù)）

10、計(jì)算：1）

201*201*33-2201*221-2201*-3201*（提示：用字母代替數(shù)）

2）3）

11-x-11xx3x2-21xx-4x-3241x4（提示：局部通分）

x2x111x1x2x1x-5x-4(提示：假分式可先變形）

三、典題練習(xí)

1、如果分式

|x|5x5x2的值為0，那么x的值是。

2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________。3、計(jì)算:

11x11x=_______________。

4、當(dāng)分式

x2x1與分式x3x2x122的值相等時(shí)，x須滿足。

5、把分式

2x2yxy中的x，y都擴(kuò)大2倍，則分式的值。（填擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)）

6、下列分式中，最簡分式有個(gè)。

a323x,xyxy22,mm22nn22,m1m21a2abb,a2abb2222

7、分式方程

1x321x34x922的解是。

8、若2x+y=0，則

xxyy2xyx2的值為。

9、當(dāng)x為何值時(shí)，分式

xx221有意義？

x2x210、當(dāng)x為何值時(shí)，分式

2x1x21x2的值為零？

x211、已知分式:當(dāng)x=時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)x=_______時(shí)，分式的值為0；當(dāng)

x=－2時(shí)，分式的值為_______。12、當(dāng)a=____________時(shí)，關(guān)于x的方程

2ax3ax=

54的解是x=1。

13、一輛汽車往返于相距akm的甲、乙兩地，去時(shí)每小時(shí)行mkm，返回時(shí)每小時(shí)行nkm，

則往返一次所用的時(shí)間是_____________。

14、某班a名同學(xué)參加植樹活動(dòng)，其中男生b名(b

21、化簡求值．（1）（1+（2）

1x1(x2）÷（1－

1x13），其中x=－

)，其中x=

12；。

1xx2x212x222、解方程:（1）

102x12x512xx2=2；（2）

11x12x13x1x3x12。

23、已知方程

xmx，是否存在m的值使得方程無解？若存在，求出滿

足條件的m的值；若不存在，請說明理由。24、若

x2y3z5，且3x2yz14，求x、y、z的值。

25、小亮在購物中心用12.5元買了若干盒餅干，但他在一分利超市發(fā)現(xiàn)，同樣的餅干，這里要比購物中心每盒便宜0.5元．因此當(dāng)他第二次買餅干時(shí)，便到一分利超市去買，如果用去14元，買的餅干盒數(shù)比第一次買的盒數(shù)多

25，問他第一次在購物中心買了幾盒餅干？

第十章相交線、平行線與平移

一、知識(shí)總結(jié)

（一）相交線

1、對(duì)頂角：兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線的角叫對(duì)頂角。

對(duì)頂角性質(zhì)：對(duì)頂角相等2、垂直：

（1）定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，就說明兩條直線相互垂直。記作ABCD；垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；它們的交點(diǎn)叫做垂足；連接直線外一點(diǎn)與垂足形成的線段叫做垂線段。注：1）垂直是相交的一種特殊的情況；

2）兩條線段垂直，垂足可能在線段上，也可能在延長線上。（2）性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直。

3、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短。4、垂線的畫法：略

（二）平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。記作AB∥CD。在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系不是相交就是平行，沒有其他。2、相關(guān)概念：同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角。3、性質(zhì)：

基本性質(zhì)：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于這條直線。其他性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；

角的關(guān)系②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線位置關(guān)系③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

4、平行判定：①同位角相等，兩直線平行；

性質(zhì)兩直線位置關(guān)系②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；角的關(guān)系

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。5、平行線的畫法：略

判定（三）平移

1、定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這個(gè)圖形的變換叫做平移。2、性質(zhì)：1）一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移后所得到的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的線段平行（或在同一直線上）且相等；

2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。3、確定平移的要素：1）方向；2）距離。

二、典題練習(xí)

1、如圖所示，下列判斷正確的是()

11212122

⑴⑵⑶⑷A、圖⑴中∠1和∠2是一組對(duì)頂角B、圖⑵中∠1和∠2是一組對(duì)頂角C、圖⑶中∠1和∠2是一對(duì)鄰補(bǔ)角D、圖⑷中∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角2、下列說法中正確的是（）

A、有且只有一條直線垂直于已知直線；

B、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；C、互相垂直的兩條直線一定相交；

D、直線c外一點(diǎn)A與直線c上各點(diǎn)連接而成的所有線段中，最短線段的長是3cm，則點(diǎn)A到直線c的距離是3cm。

3、如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.∠A與∠C是同旁內(nèi)角B.∠1與∠3是同位角C.∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角D.∠3與∠B是同旁內(nèi)角

第6題圖第3題圖第7題圖

4、在如圖所示的四個(gè)汽車標(biāo)志圖案中,能用平移變換來分析其形成過程的圖案是()

A．B．C．D．

5、一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度是（）

A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°5、6、如圖，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度數(shù)為。

7、如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判斷a∥b的條件是。（填序號(hào)）8、如圖，當(dāng)剪刀口∠AOB增大21°時(shí)，∠COD增大。

9、吸管吸易拉罐的飲料時(shí)，如圖，1110，則2。10、如圖，由三角形ABC平移得到的三角形共有個(gè)。

ABC

第11題圖第8題圖第9題圖第10題圖

11、如圖，一個(gè)寬度相等的紙條按如圖所示方法折疊一下，則∠1________。12、已知：如圖，BAPAPD180，12。試說明EF。

A1EB

F2PD

13、如圖所示，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊，設(shè)汽車行駛到P點(diǎn)位置時(shí)，離村莊M最近，行駛到Q點(diǎn)位置時(shí)，離村莊N最近，請你在AB上分別畫出P，Q兩點(diǎn)的位置。

CMANB14、如圖所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個(gè)圖形中∠P與∠A、∠C之間的關(guān)系，請你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明。

APCDBAPCDBACPBDACPBD

(1)(2)(3)(4)

15、如圖所示，一個(gè)四邊形紙片ABCD，∠B∠D90，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)

B落在AD邊上的B點(diǎn)，AE是折痕。

（1）試判斷BE與DC的位置關(guān)系；（2）如果∠C130，求∠AEB的度

第十一章頻數(shù)分布

一、知識(shí)總結(jié)

（一）頻數(shù)與頻率

1、概念：一般地，如果一組數(shù)據(jù)共有n個(gè)，而其中一類數(shù)據(jù)出現(xiàn)m次，那么m就叫做該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)；而則稱為該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻率。

2、頻數(shù)分布：頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布圖（頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布折線圖）（1）整理數(shù)據(jù)的步驟：

1）計(jì)算這批數(shù)據(jù)的極差（極差=最大值-最小值）

2）決定組距和組數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)在100以內(nèi)，一般分為5~12組，數(shù)據(jù)多分組多，數(shù)據(jù)少分組少，若有的組內(nèi)的頻數(shù)為0時(shí)，則應(yīng)放寬組距）

組距=

極差組數(shù)

組數(shù)=

極差組距

3）決定分點(diǎn)（為了避免出現(xiàn)某一數(shù)據(jù)所在組不能確定的情況，應(yīng)使分點(diǎn)比已知數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，且把第一組的起點(diǎn)稍微放小）4）畫頻數(shù)分布表。3、注意：

（1）頻率概率

（2）三種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：

條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出事物的絕對(duì)數(shù)量；折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地反映事物的變化趨勢；

扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示各部分占總體的百分率。二、典題練習(xí)

1、對(duì)某班的一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)

滿分為100分）．請根據(jù)圖形回答下列問題：

20學(xué)生人數(shù)

151050

40～49

50～59

60～69

70～79

80～89

90～99

成績/分

①該班有名學(xué)生；

②70～79分這一組的頻數(shù)是，頻率是。

2、頻數(shù)分布直方圖（如圖22-2-9所示）顯示了學(xué)生半分鐘心跳數(shù)情況，總共統(tǒng)計(jì)了_________名學(xué)生的心跳數(shù)情況；__________次人數(shù)段的學(xué)生數(shù)最多，約占__________；如果半分鐘心跳數(shù)3039屬于正常范圍，心跳次數(shù)屬于正常范圍的學(xué)生約占__________。

3、校課外活動(dòng)小組為了了解本校九年級(jí)學(xué)生的睡眠時(shí)間情況，對(duì)學(xué)校若干名九年級(jí)學(xué)生的睡眠時(shí)間進(jìn)行了抽查，將所得數(shù)據(jù)整理后畫出了頻數(shù)分布直方圖的一部分，如圖所示，已知圖中從左到右前5個(gè)小組的頻率分別是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二小組的頻數(shù)為4，請回答：

（1）這次被抽查的學(xué)生人數(shù)是多少？補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）被抽查的學(xué)生中，睡眠時(shí)間在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多？這一范圍的人數(shù)是多少？（3）如果該學(xué)校有900名九年級(jí)學(xué)生，若合理的睡眠時(shí)間值為7t9，那么請你估計(jì)一下這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生中睡眠時(shí)間在此范圍的人數(shù)是多少？

4、校八年級(jí)（2）班40個(gè)學(xué)生某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績?nèi)缦拢?/p>

63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。

數(shù)學(xué)老師按10分的組距分段，算出每個(gè)分?jǐn)?shù)段學(xué)生成績出現(xiàn)的頻數(shù)，填寫頻數(shù)分布表：（1）請把頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖(如圖22-2-19)補(bǔ)充完整并畫出頻數(shù)分布折線圖；

（2）請你幫老師統(tǒng)計(jì)一下這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)的及格率（60分以上為及格，含60分）及優(yōu)秀率（90分以上為優(yōu)秀，含90分）；

（3）請說明哪個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最多？哪個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最少？

成績段

49.559.569.579.589.5

[來源學(xué) 科 網(wǎng)

]59.5頻數(shù)

記錄

頻數(shù)2頻率-17-

69.579.59

0.25089.599.5

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