不等式知識點(diǎn)總結(jié)(人教B版必修五第三章)

不等式知識點(diǎn)小結(jié)

1、不等式的定義

我們用數(shù)學(xué)符號“”“>”“斜截式：已知直線的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為；兩點(diǎn)式：已知直線過點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)（x1x2,y1y2）則直線方程為；截距式：已知直線在x軸的截距為a，在y軸的截距為b（a0,b0）則直線方程為（2）已知直線的傾斜角為，則斜率k；

已知直線過點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，則斜率k。

（3）已知直線l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，若l1∥l2則；若l1l2，則。

已知直線l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，若l1∥l2則；若l1l2，則。7、二次函數(shù)的相關(guān)知識

已知二次函數(shù)f(x)axbxc（a0）

（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對稱軸方程為；

（2）函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)個數(shù)的判斷方法：當(dāng)時，f(x)與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)時，f(x)與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，f(x)與x軸沒有交點(diǎn)。（3）二次函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng)a0時，f(x)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)。當(dāng)a0時，f(x)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)。

（4）二次函數(shù)的奇偶性：當(dāng)時，f(x)為偶函數(shù)；否則f(x)為非奇非偶函數(shù)。（5）二次函數(shù)的最值：

當(dāng)a0時，f(x)有最小值；當(dāng)a0時，f(x)有最大值。8、一元二次不等式的定義

一般的，含有未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式不等式，叫做一元二次不等式。

9、三個二次之間的關(guān)系000b24acyaxbxc(a0)的圖象22yOx1x2xyOx1x2xyOxax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集10、（1）axbxc0（a0）恒成立的條件是；（2）axbxc0（a0）恒成立的條件是。11、分式不等式

22f(x)f(x)0；0。g(x)g(x)12、二元一次不等式所表示的平面區(qū)域

（1）直線l:AxByC0把坐標(biāo)平面分為兩部分，每個部分叫做，它與

l的并集叫做，以不等式解(x,y)為坐標(biāo)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做

或。

（2）直線l:AxByC0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分成兩部分，直線l的同一側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使式子AxByC的值具有的符號，并且兩側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)使

AxByC的值的符號。

（3）在平面直角坐標(biāo)系中作出直線AxByC0（注意實虛），在這條直線一側(cè)任取一點(diǎn)P(x0,y0)，將其坐標(biāo)代入AxByC中求值，若Ax0By0C0，則包含此點(diǎn)的半平面即為不等式所表示的平面區(qū)域，不含P點(diǎn)的半平面為不等式所表示的平面區(qū)域。注：當(dāng)C0時，常把原點(diǎn)(0,0)作為特殊點(diǎn)。（4）若函數(shù)f(x,y)中的變量x,y滿足不等式（方程）組

f1(x,y)0,f(x,y)0,2（*），則不等式（方程）組（*）叫做，f(x,y)叫做fn(x,y)0,。如果（*）中是關(guān)于變量的一次不等式（或等式），則稱為。在條件下，求的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題，使達(dá)到最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，稱為問題的。滿足條件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做。答案

一、不等關(guān)系與不等式

1、不等式

2、abababab0ab0ab03、如果ab那么ba；如果ba那么ab；如果ab且bc，則ac；如果ab，則acbc；

不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊；如果ab,cd，則acbd；如果ab,c0，則acbc；如果ab,c0，則acbc；如果ab0,cd0，則acbd；如果ab0，則ab（nN,n1）；如果ab0，則nanb（nN,n1）；

4、（1）算術(shù)平均值幾何平均值

（2）ab兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值（3）正定相等5、ab

6、（1）yy0k(xx0)ykxb（2）tan

nnyy1xx1xy1y2y1x2x1aby2y1

x2x1（3）k1k2且b1b2k1k21A1B2A2B1A1A2B1B20

b4acb2b,)x7、（1）(2a4a2a（2）000

bbbb（3）[(,,)(,]][,)2a2a2a2a（4）b0

24acb24acb（5）

4a4a（6）

8、一個2

bbbx1x2無實數(shù)根,x12a2a2a{xx1x或xx2}{xxx1}R

9、x1{xx1xx2}10、（1）a0a0（2）00)0f(x)g(x11、f(x)g(x)0

g(x)012、（1）開半平面閉半平面不等式表示的區(qū)域不等式的圖象

（2）相同相反（3）AxByC0AxByC0

（4）約束條件目標(biāo)函數(shù)線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)線性約束線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解線性約束可行域

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修五第三章《不等式》知識點(diǎn)歸納及單元測試題

第三章不等式單元測試題

一、選擇題

1.已知a、b、c、dR,且ab0,cdab,則下列各式恒成立的是（）AbcadBbcadCabcdD

abcd

2.若a0,1b0,則有（）

Aaabab2Baabab2Cabaab2Dabab2a3.x(x-3)(2-x)(x+1)>0的解集為（）

A（-1，1）B(1,0)(2,3)C(,1)(2,3)D(,1)(0,2)(3,)4.在第二象限，sin42mm5,cosm3m5，則m滿足（）

Am3B310．不等式ax2bx20的解集是(11,)，則ab的值等于（）23A．－14B．14C．－10D．10二、填空題

11.點(diǎn)(a,b)在直線x+2y=3上移動，則2a4b的最小值是.12.設(shè)0參考答案

一、選擇題ADBDCCCCAC二、填空題

1.222.433.-104.15.46.[10,14]三、解答題1,解：因為不等式

x4x40的解集為：-40時，原不等式可化為：(x-1)(x-當(dāng)a>1時，不等式的解集為：{x1a1a)第三章不等式知識點(diǎn)歸納

一、兩實數(shù)大小的比較：ab0ab；ab0ab；ab0ab．二、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

三、基本不等式定理

1、整式形式：①ab2aba,bR；②ab22222ab2222a,bR；a,bR

（2ab)

22ab③ab2a0,b0；④

ab2ab22、根式形式：①3、分式形式：

baab2abab（a0，b0）②a+b+2（a、b同號）1a4、倒數(shù)形式：a>0a+

21a1b2；ab（a0）的解：當(dāng)a>0時，x>

bap．

；當(dāng)a二次函數(shù)yaxbxc

2a0的圖象

有兩個相異實數(shù)根

一元二次方程axbxc0

2

x1,2b2a有兩個相等實數(shù)根

a0的根

x1axbxc0

2x1x2b2a沒有實數(shù)根

x2

xxx1或xx2

一元二次不等式的解集

a0

axbxc0

2bxx

2aR

xa0

x1xx2

4、解一元二次不等式步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為整數(shù)

二判：判斷對應(yīng)方程的根，三求：求對應(yīng)方程的根，四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖像，五解集：根據(jù)圖像寫出不等式的解集5、解分式不等式：f(x)g(x)>0f(x)g(x)>0;

f(x)g(x)00g(x)g(x)0f(x)6、解高次不等式：(x-a1)(x-a2)（x-an）>0

7、解含參數(shù)的不等式：解形如ax2+bx+c>0的不等式時分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：（1）討論a與0的大小（2）討論與0的大�。�3）討論兩根的大小七、一元二次方程根的分布問題：

方法：依據(jù)二次函數(shù)的圖像特征從：開口方向、判別式、對稱軸、函數(shù)值三個角度列出不等式組，總之都是轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組求解。f(k)0b1、x1目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

2、區(qū)域判斷

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

3、解線性規(guī)劃問題的一般步驟

第一步：在平面直角坐標(biāo)系中做出可行域第二步：在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)

第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值

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