高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(考前復(fù)習(xí)必備)

高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)點(diǎn)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱(chēng)為命題的條件，q稱(chēng)為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題.其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互否命題.中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

全稱(chēng)命題“對(duì)中任意一個(gè)x，有px成立”，記作“x，px”．短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱(chēng)為特稱(chēng)命題．

特稱(chēng)命題“存在中的一個(gè)x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱(chēng)命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題．

11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為橢圓．這1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程

x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya

1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pq．

當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pq．

當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題．

對(duì)一個(gè)命題p全盤(pán)否定，得到一個(gè)新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用“”表示．含有全稱(chēng)量詞的命題稱(chēng)為全稱(chēng)命題．

1a,0、2a,010,b、20,b

10,a、20,a1b,0、2b,0

短軸的長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

cb2e120e1aaa2x

ca2y

c13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d2，1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d1，

第1頁(yè)共5頁(yè)則

F1d1F2d2e．

漸近線(xiàn)方程

ybxayaxb16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)．

17、設(shè)是雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d2，1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d1，則

14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦距．

15、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

F1d1F2d2e．

18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線(xiàn)．定點(diǎn)F稱(chēng)為拋

物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．

19、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸且交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)的線(xiàn)段，稱(chēng)為拋物線(xiàn)的“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程

x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR

p；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0；

2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0；

2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0．

2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0

21、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程

1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

10,a、20,aF10,c、F20,c

y22pxy22pxx22py

虛軸的長(zhǎng)2b實(shí)軸的長(zhǎng)2a

p0p0p0

x22pyp0

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

圖形

cb2e12e1aaa2x

ca2y

c頂點(diǎn)

0,0

x軸

y軸

對(duì)稱(chēng)軸

第2頁(yè)共5頁(yè)焦點(diǎn)

pF,02xp2pF,02xp2pF0,

2yp2pF0,

2yp22求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱(chēng)為向量的減法，它遵循三角

形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作a，b，則ab．

24、實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)0時(shí)，a與a方

準(zhǔn)線(xiàn)方程

離心率

e1

向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)0時(shí)，a為零向量，記為0．a(chǎn)的長(zhǎng)度是ay0

y0

的長(zhǎng)度的

范圍

x0x0

倍．

22、空間向量的概念：

25、設(shè)，為實(shí)數(shù)，a，b是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律．

1在空間，具有大小和方向的量稱(chēng)為空間向量．

2向量可用一條有向線(xiàn)段來(lái)表示．有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量

的方向．

分配律：abab；結(jié)合律：aa．

26、如果表示空間的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量稱(chēng)為共線(xiàn)向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線(xiàn)．

，記作．3向量的大小稱(chēng)為向量的模（或長(zhǎng)度）

27、向量共線(xiàn)的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，bb0，a//b的充要條件是存在實(shí)

4模（或長(zhǎng)度）為0的向量稱(chēng)為零向量；模為1的向量稱(chēng)為單位向量．5與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱(chēng)為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．

23、空間向量的加法和減法：

它遵循平行1求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱(chēng)為向量的加法，

四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已

數(shù)，使ab．

28、平行于同一個(gè)平面的向量稱(chēng)為共面向量．

29、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使

或?qū)�空間任一定點(diǎn)，有或若四點(diǎn)，，，xyC；xyC；

C共面，則xyzCxyz1．

30、已知兩個(gè)非零向量a和b，在空間任取一點(diǎn)，作a，b，則稱(chēng)為向

量a，b的夾角，記作a,b．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：a,b0,．

知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起

點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)C就是a與b的和，這種求向量和的方

法，稱(chēng)為向量加法的平行四邊形法則．

aa31、對(duì)于兩個(gè)非零向量和b，若a,b，則向量，b互相垂直，記作ab．

2第3頁(yè)共5頁(yè)a,b稱(chēng)為a，b的數(shù)量積，記作ab．即32、已知兩個(gè)非零向量a和b，則abcosababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．

33、ab等于a的長(zhǎng)度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積．34、若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；

39、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱(chēng)它們?yōu)閱挝徽�交基底），以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系xyz．則對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重

合，得到向量p．存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z稱(chēng)作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作px,y,z．此時(shí)，向量p的坐標(biāo)是點(diǎn)

2aba與b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．

ab在空間直角坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)x,y,z．

40、設(shè)ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，則1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．

36、若i，j，k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，則對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，

使得pxiyjzk，稱(chēng)xi，yj，zk為向量p在i，j，k上的分量．

37、空間向量基本定理：若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在實(shí)數(shù)組

6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．

aaax12y12z12．7x1x2y1y2z1z2abcosa,b．8222222abx1y1z1x2y2z2x,y,z，使得pxaybzc．

38、若三個(gè)向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．這個(gè)集合可看作是由向量a，b，c生成的，

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，則d量稱(chēng)為點(diǎn)的位置向量．

x2x1y2y1z2z1222．

aa,b,c稱(chēng)為空間的一個(gè)基底，，b，c稱(chēng)為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)

41、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來(lái)表示．向

成空間的一個(gè)基底．

第4頁(yè)共5頁(yè)42、空間中任意一條直線(xiàn)l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線(xiàn)l上

一點(diǎn)，向量a表示直線(xiàn)l的方向向量，則對(duì)于直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，有ta，這樣點(diǎn)和

向量a不僅可以確定直線(xiàn)l的位置，還可以具體表示出直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)．

43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)來(lái)確定．設(shè)這兩條相交直線(xiàn)相交于點(diǎn)，

它們的方向向量分別為a，b．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使得

xayb，這樣點(diǎn)與向量a，b就確定了平面的位置．

44、直線(xiàn)l垂直，取直線(xiàn)l的方向向量a，則向量a稱(chēng)為平面的法向量．

45、若空間不重合兩條直線(xiàn)a，b的方向向量分別為a，b，則a//ba//b

51、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算．

52、在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)l的向量為n，則定點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為

ndcos,n．

n53、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，n為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面

n的距離為dcos,n．

n

abR，ababab0．

46、若直線(xiàn)a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為a，b，則//a//b

ab，abab0．

48、設(shè)異面直線(xiàn)a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有

abcoscos．

ab49、設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為，

ln則有sincos．

ln50、設(shè)n1，n2是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補(bǔ)角）

n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角為，則cos．

n1n2第5頁(yè)共5頁(yè)

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高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)點(diǎn)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱(chēng)為命題的條件，q稱(chēng)為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題.其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互否命題.中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱(chēng)為原命題，另一個(gè)稱(chēng)為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

全稱(chēng)命題“對(duì)中任意一個(gè)x，有px成立”，記作“x，px”．短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱(chēng)為特稱(chēng)命題．

特稱(chēng)命題“存在中的一個(gè)x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱(chēng)命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題．

11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程

x2y21ab0a2b2axa且byb1a,0、2a,010,b、20,b

y2x21ab0a2b2bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0

1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pq．

當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pq．

當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題．

對(duì)一個(gè)命題p全盤(pán)否定，得到一個(gè)新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱(chēng)為全稱(chēng)量詞，用“”表示．含有全稱(chēng)量詞的命題稱(chēng)為全稱(chēng)命題．

短軸的長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

cb2e120e1aaa2x

ca2y

c13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d2，

第1頁(yè)共5頁(yè)

則

F1d1F2d2e．

漸近線(xiàn)方程

ybxayaxb16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)．

17、設(shè)是雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d2，則

14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦距．

15、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

F1d1F2d2e．

18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線(xiàn)．定點(diǎn)F稱(chēng)為拋

物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．

19、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸且交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)的線(xiàn)段，稱(chēng)為拋物線(xiàn)的“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程

x2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,c

p；2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)y2pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0；

2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0；

2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0．

2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)y2pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx02

21、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程

y22pxy22pxx22pyx22py

虛軸的長(zhǎng)2b實(shí)軸的長(zhǎng)2a

p0

p0p0

p0

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

圖形

cb2e12e1aa頂點(diǎn)

0,0

x軸

y軸

a2x

ca2y

c對(duì)稱(chēng)軸

第2頁(yè)共5頁(yè)

焦點(diǎn)

pF,02pF,02pF0,2pF0,

22求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱(chēng)為向量的減法，它遵循三角

形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作a，b，則ab．

24、實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a是一個(gè)向量，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)0時(shí)，a與a方

準(zhǔn)線(xiàn)方程

xp2xp2yp2yp2離心率e1

向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)0時(shí)，a為零向量，記為0．a(chǎn)的長(zhǎng)度是ay0

y0

的長(zhǎng)度的倍．

范圍x0x0

22、空間向量的概念：

25、設(shè)，為實(shí)數(shù)，a，b是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足分配律及結(jié)合律．

分配律：abab；結(jié)合律：aa．

1在空間，具有大小和方向的量稱(chēng)為空間向量．

2向量可用一條有向線(xiàn)段來(lái)表示．有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量

的方向．

26、如果表示空間的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量稱(chēng)為共線(xiàn)向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線(xiàn)．

，記作．3向量的大小稱(chēng)為向量的模（或長(zhǎng)度）

27、向量共線(xiàn)的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，bb0，a//b的充要條件是存在實(shí)

4模（或長(zhǎng)度）為0的向量稱(chēng)為零向量；模為1的向量稱(chēng)為單位向量．5與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱(chēng)為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．

23、空間向量的加法和減法：

它遵循平行1求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱(chēng)為向量的加法，

四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已

數(shù)，使ab．

28、平行于同一個(gè)平面的向量稱(chēng)為共面向量．

29、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使

xyC；xyC；或?qū)�空間任一定點(diǎn)，有或若四點(diǎn)，，，C共面，則xyzCxyz1．

30、已知兩個(gè)非零向量a和b，在空間任取一點(diǎn)，作a，b，則稱(chēng)為向量a，b的夾角，記作a,b．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：a,b0,．

知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起

點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)C就是a與b的和，這種求向量和的方

法，稱(chēng)為向量加法的平行四邊形法則．

31、對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b，若a,b，則向量a，b互相垂直，記作ab．

2第3頁(yè)共5頁(yè)

稱(chēng)為a，b的數(shù)量積，記作ab．即32、已知兩個(gè)非零向量a和b，則abcosa,bababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．

33、ab等于a的長(zhǎng)度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積．

39、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱(chēng)它們?yōu)閱挝徽�交基底），以e1，e2，e3的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系xyz．則對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重

34、若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；

合，得到向量p．存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z稱(chēng)作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作px,y,z．此時(shí)，向量p的坐標(biāo)是點(diǎn)

2aba與b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．

ab在空間直角坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)x,y,z．

bx,y,za40、設(shè)ax1,y1,z1，222，則1bx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．a(chǎn)aax12y12z12．

x1x2y1y2z1z2ab8．cosa,b222222abx1y1z1x2y2z236、若i，j，k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，則對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxiyjzk，稱(chēng)xi，yj，zk為向量p在i，j，k上的分量．

37、空間向量基本定理：若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，存在實(shí)數(shù)組x,y,z，使得pxaybzc．

738、若三個(gè)向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．這個(gè)集合可看作是由向量a，b，c生成的，

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，則d量稱(chēng)為點(diǎn)的位置向量．

x2x1y2y1z2z1222．

a,b,c稱(chēng)為空間的一個(gè)基底，a，b，c稱(chēng)為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)

41、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量來(lái)表示．向

成空間的一個(gè)基底．

第4頁(yè)共5頁(yè)

42、空間中任意一條直線(xiàn)l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)是直線(xiàn)l上

一點(diǎn)，向量a表示直線(xiàn)l的方向向量，則對(duì)于直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，有ta，這樣點(diǎn)和

向量a不僅可以確定直線(xiàn)l的位置，還可以具體表示出直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)．

43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)來(lái)確定．設(shè)這兩條相交直線(xiàn)相交于點(diǎn)，

它們的方向向量分別為a，b．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使得xayb，這樣點(diǎn)與向量a，b就確定了平面的位置．

44、直線(xiàn)l垂直，取直線(xiàn)l的方向向量a，則向量a稱(chēng)為平面的法向量．

45、若空間不重合兩條直線(xiàn)a，b的方向向量分別為a，b，則a//ba//babR，ababab0．

46、若直線(xiàn)a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為a，b，則//a//b

51、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算．

52、在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)l的向量為n，則定點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為

ndcos,n．

n53、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，n為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面

n的距離為dcos,n．

n

ab，abab0．

48、設(shè)異面直線(xiàn)a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有

abcoscos．

ab49、設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為，

ln則有sincos．

ln50、設(shè)n1，n2是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補(bǔ)角）

n1n2就是二面角的平面角的大�。�若二面角l的平面角為，則cos．

n1n2第5頁(yè)共5頁(yè)

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