考研高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第一單元 函數(shù)

第一單元函數(shù)1.1函數(shù)

函數(shù)是變量與變量的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。本書(shū)變量均取值于實(shí)數(shù)。1.1.1實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)：有理數(shù)（分?jǐn)?shù)）和無(wú)理數(shù)（無(wú)限不循環(huán)）的總稱(chēng)。

性質(zhì)：1、封閉性，實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算（加減乘除）是封閉的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行加減乘除（除法分?jǐn)?shù)不為0）運(yùn)算后，其結(jié)果仍為實(shí)數(shù)。

2、有序性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可比較大�。╝>b,=,0。δ：此鄰域半徑該鄰域記作O（α，δ）或O（α）3

α的去心鄰域：O（α，δ）去掉中心α記作O（α，δ）或O（α）由于α-δ

常量：在某個(gè)研究過(guò)程保持不變的量變量：可以取不同數(shù)值的量

變量y是變量x的一個(gè)函數(shù)：設(shè)在某一問(wèn)題中有兩個(gè)變量x和y,變量x的變化范圍為D。如果對(duì)D中每一個(gè)值x，按照某種對(duì)應(yīng)方法f，都有變量y的一個(gè)唯一確定值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)變量y是變量x的一個(gè)函數(shù)。記為y=f(x),x∈Dx為自變量，y為因變量或函數(shù)，

x的變化范圍D為函數(shù)的定義域，y的變化范圍為函數(shù)的值域，記為M

注意：函數(shù)主由對(duì)應(yīng)法則和其定義域D確定，與變量所選用的記號(hào)無(wú)關(guān)。5函數(shù)定義域：1、分母不為零

2、開(kāi)偶次方，被開(kāi)方式的值非負(fù)

3、對(duì)數(shù)式中真數(shù)必須>零,底數(shù)>0且≠1eg.logaXa底數(shù)Eg.1、F(x)=2lgXg(x)=lg

不等。F(x)定義域（-∞,+∞）g(x)定義域(-∞,0)∪(0,+∞)

2、F(x)=xg(x)=

等。定義域均為（-∞,+∞），對(duì)應(yīng)法則相同g(x)=F(x)

函數(shù)的表示方法：1、列表法：便于應(yīng)用

2、圖像法：直觀性，便于對(duì)函數(shù)進(jìn)行定性分析

3、解析法/公式法：用解析表達(dá)式表示函數(shù)的方法4解析表達(dá)式：對(duì)于自變量和常數(shù)施以四則運(yùn)算、乘冪logaX、指數(shù)

分段函數(shù)：需用兩個(gè)或兩個(gè)以上的公式表示的函數(shù)

注意：

1、分段函數(shù)是由幾個(gè)公式合起來(lái)表示的一個(gè)函數(shù)2、其定義域是各段上x(chóng)取值范圍的并集

3、在求函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)x所在的區(qū)段，再用該區(qū)段的函數(shù)表達(dá)式

、取對(duì)數(shù)

、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等數(shù)學(xué)運(yùn)算所得到的式子

符號(hào)函數(shù)：f（x）=sgnx=1(x>0);定義域D=（-∞，+∞）0(x=0);值域W={-1,0,1}-1(x<0)

對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，x=sgnx|x|

X的最大整數(shù)：設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的最大整數(shù)，記作【x】Eg.[-3.5]=-4

取整函數(shù)：一般有[x]=n,當(dāng)x∈[n,n+1],n=0,±1,±2…,把x看成變量，則函數(shù)f（x）=[x]稱(chēng)為取整函數(shù)。定義域D=（-∞，+∞）,值域：整數(shù)集Z；圖形稱(chēng)為階梯曲線，在x的整數(shù)值處發(fā)生跳躍，躍度為1

1.1.3函數(shù)的性質(zhì)

1、奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：7偶函數(shù)：f（-x）=f（x），任x∈（-a,a）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)：若f（-x）=-f（x），任x∈（-a,a）eg.數(shù)

注意：

1、有些函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。eg.f（x）=x+1驗(yàn)x=±1時(shí)2、任一函數(shù)可為一個(gè)偶函數(shù)和奇函數(shù)的和。3、Y=0，即為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)。2、單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增，單減

3、周期性：f（x+TO）=f（x）,最小正數(shù)TO，稱(chēng)為f（x）的周期。Eg.tanx圖84、有界性：f（x）在D內(nèi)有界，|f（x）|≤M。Eg.|sinx|≤1,M=1。必須同時(shí)有上下界。

所有反△函數(shù)都有有界性。

在閉區(qū)間[a,b]上的單調(diào)函數(shù)f（x）是[a,b]上的有界函數(shù)。

1.1.4反函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)y=f（x）與反函數(shù)x=函數(shù)y=f（x）與反函數(shù)y=

（y）圖形為同一曲線。（x）圖形關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)。

奇次冪在-∞，+∞）為奇函

單調(diào)函數(shù)定有反函數(shù)，并與其函數(shù)有相同的單調(diào)性。Eg.Y=

y=

圖像。

擴(kuò)展閱讀：考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)講義第一章(考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)+概念定理總結(jié))

高等數(shù)學(xué)講義

目錄

第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章

函數(shù)、極限、連續(xù)1一元函數(shù)微分學(xué)24一元函數(shù)積分學(xué)49常微分方程70向量代數(shù)與空間解析幾何82多元函數(shù)微分學(xué)92多元函數(shù)積分學(xué)107無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)一和數(shù)三）129

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

1.1函數(shù)

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義2．分段函數(shù)二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)

四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù)

1．用極限表示的函數(shù)

(1)ylimfn(x)

n3．反函數(shù)4．隱函數(shù)

(2)ylimf(t,x)

tx2．用變上、下限積分表示的函數(shù)

(1)y(2)y則

xaf(t)dt

其中f(t)連續(xù)，則

dyf(x)dx2(x)1(x)f(t)dt

其中1(x),2(x)可導(dǎo)，f(t)連續(xù)，

dy(x)f[1(x)]1(x)f[2(x)]2dx五、函數(shù)的幾種性質(zhì)

1．有界性：設(shè)函數(shù)yf(x)在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M，使xX都有f(x)M，則稱(chēng)f(x)在X上是有界的。

2．奇偶性：設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì)xX，都有f(x)f(x)，則稱(chēng)f(x)在X上是奇

函數(shù)。

若對(duì)xX，都有f(x)f(x)，則稱(chēng)f(x)在X上是偶函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

3．單調(diào)性：設(shè)f(x)在X上有定義，若對(duì)任意x1X,x2X，x1x2都有f(x1)f(x2)

[f(x1)f(x2)]則稱(chēng)f(x)在X上是單調(diào)增加的[單調(diào)減少的]；若對(duì)任意x1X，

x2X,x1x2都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，則稱(chēng)f(x)在X上是單調(diào)不減[單調(diào)不

增]

（注意：有些書(shū)上把這里單調(diào)增加稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱(chēng)為單調(diào)增加。）

4．周期性：設(shè)f(x)在X上有定義，如果存在常數(shù)T0，使得任意xX，xTX，都有

f(xT)f(x)，則稱(chēng)f(x)是周期函數(shù)，稱(chēng)T為f(x)的周期。

由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱(chēng)為周期。

1.2極限

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)

一、極限的概念與基本性質(zhì)1．極限的概念

(1)數(shù)列的極限limxnA

n(2)函數(shù)的極限limf(x)A；limf(x)A；limf(x)A

xxx

f(x)A；limf(x)Alimf(x)A；limxx0xx0xx0

2．極限的基本性質(zhì)

定理1（極限的唯一性）設(shè)limf(x)A，limf(x)B，則A=B定理2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè)limf(x)A，limg(x)B若x變化一定以后，總有f(x)g(x)，則AB

反之，AB，則x變化一定以后，有f(x)g(x)（注：當(dāng)g(x)0，B0情形也稱(chēng)為極限的保號(hào)性）

定理3（極限的局部有界性）設(shè)limf(x)A則當(dāng)x變化一定以后，f(x)是有界的。

定理4設(shè)limf(x)A，limg(x)B則（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）lim[f(x)g(x)]AB

（3）lim[f(x)g(x)]AB

（4）limf(x)A(B0)g(x)B（5）lim[f(x)]g(x)AB(A0)

二、無(wú)窮小

lim1．無(wú)窮小定義：若limf(x)0，則稱(chēng)f(x)為無(wú)窮小（注：無(wú)窮小與x的變化過(guò)程有關(guān)，

當(dāng)x時(shí)

10，xx11為無(wú)窮小，而xx0或其它時(shí)，不是無(wú)窮�。﹛x2．無(wú)窮大定義：任給M>0，當(dāng)x變化一定以后，總有f(x)M，則稱(chēng)f(x)為無(wú)窮大，記以

limf(x)。

3．無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：在x的同一個(gè)變化過(guò)程中，

若f(x)為無(wú)窮大，則

1為無(wú)窮小，f(x)1為無(wú)窮大。f(x)若f(x)為無(wú)窮小，且f(x)0，則4．無(wú)窮小與極限的關(guān)系：

limf(x)Af(x)A(x)，其中l(wèi)im(x)0

5．兩個(gè)無(wú)窮小的比較

設(shè)limf(x)0，limg(x)0，且limf(x)lg(x)（1）l0，稱(chēng)f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小，記以f(x)o[g(x)]稱(chēng)g(x)是比f(wàn)(x)低階的無(wú)窮小

（2）l0，稱(chēng)f(x)與g(x)是同階無(wú)窮小。

（3）l1，稱(chēng)f(x)與g(x)是等階無(wú)窮小，記以f(x)~g(x)6．常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小，當(dāng)x0時(shí)

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1cosx~

3

12x，ex1~x，

ln(1x)~x，(1x)1~x。

7．無(wú)窮小的重要性質(zhì)

有界變量乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小。

三、求極限的方法

1．利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則2．兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則1：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列極限一定存在

(1)若xn1xn（n為正整數(shù)）又xnm（n為正整數(shù)），則limxnA存在，且Am

n(2)若xn1xn（n為正整數(shù)）又xnM（n為正整數(shù)），則limxnA存在，且AM

n準(zhǔn)則2：夾逼定理

設(shè)g(x)f(x)h(x)。若limg(x)A，limh(x)A，則limf(x)A3．兩個(gè)重要公式

公式1：limsinx1

x0x11n1u公式2：lim(1)e；lim(1)e；lim(1v)ve

nuv0nu4．用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換

5．用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）

x2xno(xn)當(dāng)x0時(shí)，e1x2!n!xx3x5x2n1nsinxx(1)o(x2n1)

3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1(1)o(x2n)2!4!(2n)!nx2x3n1xln(1x)x(1)o(xn)23n2n1x3x5n1xarctanxx(1)o(x2n1)352n1(1x)1x6．洛必達(dá)法則

(1)2!x2(1)[(n1)]n!xno(xn)

法則1：（

0型）設(shè)（1）limf(x)0,limg(x)00（2）x變化過(guò)程中，f(x)，g(x)皆存在

f(x)（3）limA（或）

g(x)則limf(x)A（或）g(x)（注：如果lim形）法則2：（

f(x)f(x)不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出lim不存在且不是無(wú)窮大量情g(x)g(x)型）設(shè)（1）limf(x),limg(x)（2）x變化過(guò)程中，f(x)，g(x)皆存在（3）limf(x)A（或）g(x)則limf(x)A（或）g(x)

7．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

基本公式：limx0f(x0x)f(x0)f(x0)[如果存在]

x8．利用定積分定義求極限

11nk基本公式limf()f(x)dx

0nnnk1[如果存在]

9．其它綜合方法

10．求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法

1.3連續(xù)

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)的概念

1．函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念

定義1若limf(x)f(x0)，則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

xx0f(x)f(x0)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)；如果定義2設(shè)函數(shù)yf(x)，如果limxx0xx0limf(x)f(x0)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)。

如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)在x0處既是左連續(xù)，又是右連續(xù)。2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義

如果函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)。如果yf(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)a右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱(chēng)f(x)在閉

區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)

1．函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義

如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱(chēng)x0為f(x)的間斷點(diǎn)。2．函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類(lèi)：（1）第一類(lèi)間斷點(diǎn)

設(shè)x0是函數(shù)yf(x)的間斷點(diǎn)，如果f(x)在間斷點(diǎn)x0處的左、右極限都存在，則稱(chēng)x0是

f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。

第一類(lèi)間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（2）第二類(lèi)間斷點(diǎn)

第一類(lèi)間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。常見(jiàn)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。例如：x0是f(x)窮間斷點(diǎn)，是f(x)sinsinx|x|1的可去間斷點(diǎn)，是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，是f(x)的無(wú)xxx1的振蕩間斷點(diǎn)。x

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

1．在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），在區(qū)間I仍是連續(xù)的。2．由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。3．在區(qū)間I連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對(duì)應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。4．基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。5．初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)必在[a,b]上有界。

定理2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m.

其中最大值M和最小值m的定義如下：

定義設(shè)f(x0)M是區(qū)間[a,b]上某點(diǎn)x0處的函數(shù)值，如果對(duì)于區(qū)間[a,b]上的任一點(diǎn)x，總有f(x)M，則稱(chēng)M為函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值。同樣可以定義最小值m.

定理3（介值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和

m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)c，在[a,b]上至少存在一個(gè)，使得

f()c

推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得

f()0

這個(gè)推論也稱(chēng)零點(diǎn)定理。

思考題：什么情況下能保證推論中的是唯一的？

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