勾股定理知識點總結(jié)及練習

勾股定理知識總結(jié)

一：勾股定理

222

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a+b＝c）要點詮釋：

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題二：勾股定理的逆定理

222

如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a+b＝c，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：

用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；

222222

（2）驗證c與a+b是否具有相等關(guān)系，若c＝a+b，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形

222222

（若c>a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2.若一個三角形的三邊之比為5∶12∶13，則這個三角形是________（按角分類）。3.直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則其周長為________。

4．傳說,古埃及人曾用＂拉繩”的方法畫直角,現(xiàn)有一根長24厘米的繩子,請你利用它拉出一個周長為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長度分別為_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.

5.命題“對頂角相等”的逆命題為___________________,它是____命題.(填“真”或“假”)6．觀察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；；你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來的式子：____________________________。

7．利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖(最早由三國時期的數(shù)學家趙爽給出的)．從圖中可以看到：大正方形面積＝小正方形面積＋四個直角三角形面積．因而c2＝＋,化簡后即為c2＝．

B

cab

A第8題圖

8．一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的

最短路線的長是_____________。

二．選擇題：9．觀察下列幾組數(shù)據(jù):(1)8,15,17;(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長的有()組

A.1B.2C.3D.4

10．三個正方形的面積如圖，正方形A的面積為（）

A.6B.４C.64D.8

11.已知直角三角形的兩條邊長分別是5和12，則第三邊為（）Ａ．１３Ｂ．

610A119Ｃ．１３或119Ｄ．不能確定12.下列命題①如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正確的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④13.三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形;B.鈍角三角形;C.直角三角形;D.銳角三角形.14.如圖一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里15.已知等腰三角形的腰長為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（）A、40B、80C、40或360D、80或360

16．某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元

北

20m30mA東150°

第16題圖南第14題

三．解答題：

17．如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF

圖1

18.(1)在數(shù)軸上作出表示

2的點.

2和

(2)在第(1)的基礎(chǔ)上分別作出表示1-

2+1的點.

19．有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線長，已知門寬4尺，求竹竿高與門高。20．一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

A

A′

OB′

B第20題圖

21.如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，

求證：DE：DM：EM=3：4：5。

圖5

3、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。

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勾股定理知識總結(jié)

一．基礎(chǔ)知識點：1：勾股定理

222

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a+b＝c）要點詮釋：

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2）

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理

222

如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a+b＝c，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：

勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；

222222

（2）驗證c與a+b是否具有相等關(guān)系，若c＝a+b，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形

222222

（若c>a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5：勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

常見方法如下：

DHEFbAcGaCBbacabc1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化簡可證．

2

方法二：

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．

bccbCHaaDEFbcGaB1A四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2

2大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

AaDbccEaBCb1112方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc，化簡

222得證

6：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；C7,24,25等

③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21（n2,n為正整

BDA數(shù)）；

2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數(shù)）

二、經(jīng)典例題精講

題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長

⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210⑵BCAB2AC題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC+BC=AB,即AC+9=15,所以AC=144,所以AC=12.例題2如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.2222222解析：同例題1一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖2.由題意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類型。標準解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC+CD=AD設(shè)水深A(yù)C=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x+1.5=（x+0.5）解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且FB2222221AB那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？41AB可以設(shè)AB=4a，那么BE=C4解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由FBE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷△DEF是否是直角三角形。

詳細解題步驟如下：

解：設(shè)正方形ABCD的邊長為4a,則BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在Rt△CDE中，DE=CD+CE=(4a)+(2a)=20a同理EF=5a,DF=25a

222222222222

在△DEF中，EF+DE=5a+20a=25a=DF

2222

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。

題型四：利用勾股定理求線段長度

例題4如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.

解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。

詳細解題過程如下：

解：根據(jù)題意得Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE設(shè)CE=xcm，

則DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB+BF=AF，即8+BF=10，∴BF=6cm

∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF=CE+CF，即(8－x)=x+4∴64－16x+x=2+16∴x=3(cm),即CE=3cm

注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。

222222222222

題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直

例題5如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與CD邊是否垂直？

解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？)，連結(jié)MN，測量MN的長度。

①如果MN=15,則AM+AN=MN,所以AD邊與AB邊垂直；②如果MN=a≠15,則9+12=81+144=225,a≠225,即9+12≠a

222222222

，所以∠A不是直角。利用勾股定理解決實際問題

例題6有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米

的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？

解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，如圖6所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當頭（B點）距離A有5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。

題型六：旋轉(zhuǎn)問題：

例1、如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長。

變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的邊長.分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△BPA繞點B逆時針選擇60°，將三條線段集中到同一個三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形.

變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點，且∠EAF=45°，試探究BE、CF、EF間的關(guān)系，并說明理由.

題型七：關(guān)于翻折問題

例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，

將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.

2變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點C落在點C’的位置，BC=4,求BC’的長.

題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？

題型九：關(guān)于最短性問題

例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方

形，其邊長都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？

勾股定理練習

一．填空題：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，則c=________；（2）b=8，c=17，則S△ABC=________。2.若一個三角形的三邊之比為5∶12∶13，則這個三角形是________（按角分類）。3.直角三角形的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則其周長為________。

4．傳說,古埃及人曾用＂拉繩”的方法畫直角,現(xiàn)有一根長24厘米的繩子,請你利用它拉出一個周長為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長度分別為_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.

5.命題“對頂角相等”的逆命題為___________________,它是____命題.(填“真”或“假”)6．觀察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；；你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出接下來的式子：____________________________。7．利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個圖形被稱為弦圖(最早由三國時期的數(shù)學家趙爽給出的)．從圖中可以看到：大正方形面積＝小正方形面積＋四個直角三角形面積．因而c2＝＋,化簡后即為c2＝．

B

cab

A第8題圖

8．一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的

最短路線的長是_____________。

二．選擇題：9．觀察下列幾組數(shù)據(jù):(1)8,15,17;(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長的有()組

A.1B.2C.3D.4

10．三個正方形的面積如圖，正方形A的面積為（）

A.6B.４C.64D.8

11.已知直角三角形的兩條邊長分別是5和12，則第三邊為（）Ａ．１３Ｂ．

610A119Ｃ．１３或119Ｄ．不能確定

12.下列命題①如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正確的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④13.三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形;B.鈍角三角形;C.直角三角形;D.銳角三角形.14.如圖一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里15.已知等腰三角形的腰長為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（）A、40B、80C、40或360D、80或360

16．某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元

北

20m30mA東150°

第16題圖南第14題

三．解答題：

17．如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF

圖1

18.(1)在數(shù)軸上作出表示

2的點.

2和

(2)在第(1)的基礎(chǔ)上分別作出表示1-

2+1的點.

19．有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線長，已知門寬4尺，求竹竿高與門高。

20．一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

A

A′

OB′

B第20題圖21.如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G。如果M為CD邊的中點，

求證：DE：DM：EM=3：4：5。

圖5

22、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。

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