北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)各章節(jié)知識點總結(jié)(A3排版A4打印,便于記憶)

數(shù)學(xué)知識必須經(jīng)過自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會，學(xué)以致用！

《數(shù)學(xué)》（八年級上冊）知識點總結(jié)（北師大版）

1．勾股定理

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c22、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。（3）勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

2．實數(shù)

一、實數(shù)的概念及分類

1、實數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)負(fù)有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如7,32等；π（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等；

3（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001等；

o

（4）某些三角函數(shù)值，如sin60等二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、絕對值

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。5、估算

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“a”，讀作根號a。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“a”，讀作“正、負(fù)根號a”。

性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。a0注意a的雙重非負(fù)性：a0

3、立方根

3

一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x=a那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：記作3a

性質(zhì)：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。注意：3a3a，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。四、實數(shù)大小的比較

1、實數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

ab0ab,ab0ab,ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，1ab;baab1ab;ab1ab;

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則abab。（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則abab。五、算術(shù)平方根有關(guān)計算（二次根式）

1、含有二次根號“2、性質(zhì)：

2（1）(a)a(a0)

22”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

a(a0)

（2）a2aa(a0)

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（3）abababab(a0,b0)（

abab(a0,b0)）n(n3)6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對角線共有

（4）

(a0,b0)（

abab(a0,b0)）

2條。從n邊形的一個頂點出

3、運算結(jié)果若含有“a”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

六、實數(shù)的運算

（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數(shù)的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律

加法交換律abba

加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba

乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對加法的分配律a(bc)abac

3．圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移1、定義

在平面內(nèi)，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。2、性質(zhì)

平移前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點連線平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等。二、旋轉(zhuǎn)1、定義

在平面內(nèi)，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形是全等圖形，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。

4．四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念1、四邊形

在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。二、平行四邊形

1、平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對邊平行且相等。

（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長×高=ah三、矩形

1、矩形的定義

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角都是直角

（3）矩形的對角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab四、菱形

1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

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2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等

（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積

S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半五、正方形（3~10分）

1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角

（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b，S正方形=a2（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。

（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）

（四）梯形的面積

（1）如圖，S梯形ABCD12(CDAB)DE

（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；③SADCSBCD

七、有關(guān)中點四邊形問題的知識點：

（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；

（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；

（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；

（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；八、中心對稱圖形1、定義

在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定

如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系圖：

b22

六、梯形

（一）1、梯形的相關(guān)概念

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定

（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。

（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形

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5．位置的確定

一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點O稱為直角坐標(biāo)系的原點；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點（坐標(biāo)軸上的點），不屬于任何一個象限。3、點的坐標(biāo)的概念

對于平面內(nèi)任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對（a，b）叫做點P的坐標(biāo)。

點的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)ab時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo)。

平面內(nèi)點的與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的。4、不同位置的點的坐標(biāo)的特征（1）、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一象限x0,y0

點P(x,y)在第二象限x0,y0點P(x,y)在第三象限x0,y0點P(x,y)在第四象限x0,y0（2）、坐標(biāo)軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上y0，x為任意實數(shù)點P(x,y)在y軸上x0，y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0）即原點（3）、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)（4）、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。（5）、關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征

點P與點p’關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點為P’（x，-y）

點P與點p’關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為P’（-x，y）

點P與點p’關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點P（x，y）關(guān)于原點的對稱點為P’（-x，-y）

(6)、點到坐標(biāo)軸及原點的距離點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于y（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于x

（3）點P(x,y)到原點的距離等于三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律：

坐標(biāo)（x，y）的變化x×a或y×ax×a，y×ax×（-1）或y×（-1）x×（-1），y×（-1）x+a或y+ax+a，y+axy22

圖形的變化被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的a倍放大（縮小）為原來的a倍關(guān)于y軸或x軸對稱關(guān)于原點成中心對稱沿x軸或y軸平移a個單位沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單6．一次函數(shù)

一、函數(shù)：

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應(yīng)地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實際意義幾方面考慮。三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）關(guān)系式（解析）法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖象法

用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，若兩個變量x，y間的關(guān)系可以表示成ykxb（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)ykxb中的b=0時（即ykx）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像:所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)ykxb的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)ykx的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。

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k的符號b的符號函數(shù)圖像y0x圖像特征b>0圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。k>0yb00x圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小K

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第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一.不等關(guān)系

※1.一般地,用符號“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式.¤2.要區(qū)別方程與不等式:方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.

※3.準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.

非負(fù)數(shù)大于等于0(≥0)0和正數(shù)不小于0非正數(shù)小于等于0(≤0)0和負(fù)數(shù)不大于0二.不等式的基本性質(zhì)

※1.掌握不等式的基本性質(zhì),并會靈活運用:

(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變,即

ab如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.

cc(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù),不等號的方向改變,即:

ab如果a>b,并且cb;

如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;如果a0；a=ba-b=0；a數(shù)學(xué)知識必須經(jīng)過自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會，學(xué)以致用！

第二章分解因式

一.分解因式

1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.※2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:

(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.二.提公共因式法

※1.如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將

多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:abaca(bc)※2.概念內(nèi)涵:

(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即:mambmcm(abc)※3.易錯點點評:

(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.三.運用公式法

※1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.※2.主要公式:

(1)平方差公式:a2b2(ab)(ab)

(2)完全平方公式:a22abb2(ab)2；a22abb2(ab)2¤3.易錯點點評:

因式分解要分解到底.如x4y4(x2y2)(x2y2)就沒有分解到底.※4.運用公式法:

(1)平方差公式:

①應(yīng)是二項式或視作二項式的多項式;

②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;③二項是異號.(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項式;

②其中兩項同號,且各為一整式的平方;

③還有一項可正負(fù),且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍.

※5.因式分解的思路與解題步驟:

(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;

(5)因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

四.分組分解法:

※1.分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.如:amanbmbna(mn)b(mn)(ab)(mn)※2.概念內(nèi)涵:

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.※3.注意:分組時要注意符號的變化.

第三章分式

一.分式

※1.兩個整數(shù)不能整除時,出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個整式不能整除時,就出現(xiàn)了分式.

AA整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么稱為

BB分式,對于任意一個分式,分母都不能為零.

整式※2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有:有理式

分式※3.進行分?jǐn)?shù)的化簡與運算時,常要進行約分和通分,其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性

質(zhì):

分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變.

AAMAAM,(M0)BBMBBM※4.一個分式的分子、分母有公因式時,可以運用分式的基本性質(zhì),把這個分式的

分子、分母同時除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.

二.分式的乘除法

※1.分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分

式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.

ACACACADAD即:,

BDBDBDBCBC※2.分式乘方,把分子、分母分別乘方.

AnA即:nBBn(n為正整數(shù))

nnAnAAnA逆向運用n,當(dāng)n為整數(shù)時,仍然有n成立.

BBBB※3.分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.

三.分式的加減法

第2頁共4頁數(shù)學(xué)知識必須經(jīng)過自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會，學(xué)以致用！

※1.分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個異分母的分式分

別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.※2.分式的加減法:

分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相

加減.

(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;

ABAB上述法則用式子表示是:

CCC(2)異號分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥�分母的分�?然后再加減;

ACADBCADBC上述法則用式子表示是:

BDBDBDBD※3.概念內(nèi)涵:

通分的關(guān)鍵是確定最簡分母,其方法如下:最簡公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);最簡公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項式,則首先對多項式進行因式分解.四.分式方程

※1.解分式方程的一般步驟:

①在方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化成整式方程;②解這個整式方程;

③把整式方程的根代入最簡公分母,看結(jié)果是不是零,使最簡公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.

※2.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:

①審清題意;②設(shè)未知數(shù);

③根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出(分式)方程;④解方程,并驗根;⑤寫出答案.

第四章相似圖形

一.線段的比

※1.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就說

Am這兩條線段的比AB:CD=m:n,或?qū)懗?

Bnac※2.四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四

bd條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.※3.注意點:

①a:b=k,說明a是b的k倍;②由于線段a、b的長度都是正數(shù),所以k是正數(shù);

③比與所選線段的長度單位無關(guān),求出時兩條線段的長度單位要一致;

④除了a=b之外,a:b≠b:a,⑤比例的基本性質(zhì):若二.黃金分割

ba與互為倒數(shù);baacac,則ad=bc;若ad=bc,則bdbdACBC,那么稱線段ABABAC※1.如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果

被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.

AC:AB510.618:12_A

_圖1

_C_B

※2.黃金分割點是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點.

四.相似多邊形

¤1.一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.

※2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.五.相似三角形

※1.在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.

※2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

※3.全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1.注意:證兩個相似三角形,

與證兩個全等三角形一樣,應(yīng)把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.※4.相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.※5.相似三角形周長的比等于相似比.

※6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的條件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交

的直線,所截得的三角形與原三角形相似.①兩角對應(yīng)相等;②兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等;③三邊對應(yīng)成比例.①一個銳角對應(yīng)相等;②兩條邊對應(yīng)成比例:a.兩直角邊對應(yīng)成比例;b.斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例.A_B_C_D_E_F__l_1_l_2_l_3

_圖2

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※2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.

ABBC如圖2,l1//l2//l3,則.DEEF※3.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

八.相似的多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.九.圖形的放大與縮小

※1.如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形;這個點叫做位似中心;這時的相似比又稱為位似比.

※2.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.◎3.位似變換:

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點,并且對應(yīng)點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.

②一個圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.

第五章數(shù)據(jù)的收集與處理

一.每周干家務(wù)活的時間

※1.所要考察的對象的全體叫做總體;

把組成總體的每一個考察對象叫做個體;

從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本.※2.為一特定目的而對所有考察對象作的全面調(diào)查叫做普查;

為一特定目的而對部分考察對象作的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查.二.數(shù)據(jù)的收集

※1.抽樣調(diào)查的特點:調(diào)查的范圍小、節(jié)省時間和人力物力優(yōu)點.但不如普查得到

的調(diào)查結(jié)果精確,它得到的只是估計值.

而估計值是否接近實際情況還取決于樣本選得是否有代表性.

第六章證明(一)

二.定義與命題

※1.一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義.

定義必須是嚴(yán)密的.一般避免使用含糊不清的術(shù)語,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn).

※2.可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題.

正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.

※3.數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的,并且把它們作為

判斷其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理.

※4.有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確

的,并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫做定理.¤5.根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等,經(jīng)過邏輯推理,來判斷一個命題是否正確,

這樣的推理過程叫做證明.三.為什么它們平行

※1.平行判定公理:同位角相等,兩直線平行.(并由此得到平行的判定定理)※2.平行判定定理:同旁內(nèi)互補,兩直線平行.※3.平行判定定理:同錯角相等,兩直線平行.四.如果兩條直線平行

※1.兩條直線平行的性質(zhì)公理:兩直線平行,同位角相等;※2.兩條直線平行的性質(zhì)定理:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;※3.兩條直線平行的性質(zhì)定理:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.五.三角形和定理的證明

※1.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°¤2.一個三角形中至多只有一個直角¤3.一個三角形中至多只有一個鈍角¤4.一個三角形中至少有兩個銳角六.關(guān)注三角形的外角

※1.三角形內(nèi)角和定理的兩個推論:

推論1:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;推論2:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

（注：※表示重點部分；¤表示了解部分；◎表示僅供參閱部分；）

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