二次根式知識方法題型總結(jié)

二次根式知識方法題型總結(jié)

一、本章知識內(nèi)容歸納

1.概念：

①二次根式形如的式子；當(dāng)時有意義，當(dāng)時無意義；②最簡二次根式根號中不含和的二次根式；③同類二次根式的二次根式；2.性質(zhì)：①a0(a0)非負(fù)性;②(a)a(a0);

③2a(a0)(字母從根號中開出來時要帶絕對值

aaa(a0)再根據(jù)具體情況判斷是否需要討論)

3.運算:運算結(jié)果每一項都是最簡二次根式，且無可合并的同類二次根式.①乘法和積的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化:ab2ab(a0,b0);

②除法和商的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化:

aba(a0,b0)b③加減法：先化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式；

④混合運算：有理式中的運算順序，運算律和乘法公式等仍然適用；⑤乘法公式的推廣：

a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、本章常用方

法歸納

方法1.開方①偶數(shù)次方：

a2nan；②奇數(shù)次方：

a2n1ana

方法2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通過使得

其中叫做該分母的有理化因式；②常用的有理化因式：

a與a、ab與ab、ab與ab互為有理化因式；

③分母有理化步驟：

先將二次根式盡量化簡，找分母最簡有理化因式；將計算結(jié)果化為最簡二次根式的形式。方法3.非0的二次根式的倒數(shù)①a的倒數(shù)：

11aaa（a>0）;②abab的倒數(shù)：a（a>0,b>0）;

③※因為(n1n)(n1n)，

所以(n1n)的倒數(shù)為；方法4.利用“

”外的因數(shù)化簡“

”

①a1aaaa(a0)；②aba2b(a0,b0)；三、本章典型題型歸納

（一）二次根式的概念和性質(zhì)

1．x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）x2－32x；（2）x－

1x1；（3）

2x1|x|2；

2．若x、y為實數(shù)，y＝x2＋2x＋3．則yx=3．根據(jù)下列條件，求字母x的取值范圍：

（1）(x3)2x3；（2）x2x；

（3）x22x1＝1－x；（4）※(x2)2(x3)2＝1；4．已知2a1＋b2a＋abc＝0．則a=,b=,c=.

5.已知

x3yx29x1x320，則

y1=______________6．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x4－4＝______________．7．已知a,b,c為三角形的三邊，則(abc)2(bca)2(bca)2=8.若最簡二次根式

24x1與最簡二次根式46x1可以合并，則x的取值為53※9．已知a

(8)(23326)(23326）

（11）(72

223)376※(12)

221184123的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則3ab

14．在數(shù)軸上與表示3的點的距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)是___________

315．若一個正方體的長為26cm，寬為3cm，高為2cm，則它的體積為cm.

※16．

132與32的關(guān)系是

1a112a2，其中”有不同的解答：a25a17．甲、乙兩人對題目“化簡并求值：

1a甲的解答：

乙的解答：

1a2a221111249(a)2aaaaaaa5，

1a11121112a2(a)aa。

aaaa5a2誰的解答是錯誤的？為什么？

※

18.

先觀察下列分母有理化：

12121，

13232,14343,15454,從計算結(jié)果中找出規(guī)

律，再利用這一規(guī)律計算下列式子的值:

(121132143...1201*201*)(201*1)

19.觀察下列各式的特點：

2132，3223，2352，

(1)請根據(jù)以上規(guī)律填空201*201*201*201*

(2)請根據(jù)以上規(guī)律寫出第n(n1)個不等式，并證明你的結(jié)論.

（三）二次根式的化簡求值20．若x

53，求x26x5的值。21．若xy3,求x

yxy的值。xy12aa2a22a122．已知a23，求的值。2a1aa

（四）二次根式的比較大小24.比較下列個數(shù)的大小

（1）3與22（平方法）（3）

（4）201*－201*與201*－201*（倒數(shù)法）(6)

（7）已知：a,b是正數(shù)，求證：ab2ab.

11與（分母有理化）

75537633與

6522（分子有理化）

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二次根式知識方法題型總結(jié)

一、本章知識內(nèi)容歸納

1.概念：

①二次根式形如的式子；當(dāng)時有意義，當(dāng)時無意義；②最簡二次根式根號中不含和的二次根式；③同類二次根式的二次根式；2.性質(zhì)：①a0(a0)非負(fù)性;②(a)2a(a0);

③2a(a0)(字母從根號中開出來時要帶絕對值

aaa(a0)再根據(jù)具體情況判斷是否需要討論)

3.運算:運算結(jié)果每一項都是最簡二次根式，且無可合并的同類二次根式.①乘法和積的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化:abababab(a0,b0);

②除法和商的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化:(a0,b0)

③加減法：先化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式；

④混合運算：有理式中的運算順序，運算律和乘法公式等仍然適用；⑤乘法公式的推廣：a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、本章常用方法歸納

方法1.開方①偶數(shù)次方：

2nn2n1naa；②奇數(shù)次方：

aaa

方法2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通過使得

其中叫做該分母的有理化因式；②常用的有理化因式：

a與

a、ab與ab、

ab與ab互為有理化因式；

③分母有理化步驟：

先將二次根式盡量化簡，找分母最簡有理化因式；將計算結(jié)果化為最簡二次根式的形式。方法3.非0的二次根式的倒數(shù)①a的倒數(shù)：1a1aaa（a>0）;②

ab的倒數(shù)：ba（a>0,b>0）;

③※因為(n1所以(n1方法4.利用“

1aaan)(n1n)，

n)的倒數(shù)為；

”外的因數(shù)化簡“”

①aa(a0)；②ab2ab(a0,b0)；

三、本章典型題型歸納

（一）二次根式的概念和性質(zhì)

1．x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）

x2－32x；

1x1（2）x－

2x1|x|2；

（3）；

x2．若x、y為實數(shù)，y＝x2＋

2x＋3．則

y=

3．根據(jù)下列條件，求字母x的取值范圍：（1）(x3)（2）（3）

x22x3；x；

x2x1＝1－x；(x3)＝1；

22（4）※(x2)24．已知2a1＋b2a＋abc＝0．

則a=,b=,c=.5.已知

x3yx29x320，則

x1y1=______________

6．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x4－4＝______________．7．已知a,b,c為三角形的三邊，則(abc)28.若最簡二次根式

25(bca)2(bca)=

24x1與最簡二次根式46x1可以合并，則x的

取值為

※9．已知a（13）

4451454225=（14）351

23116=

（15）(3)212(52)=

12.計算：（能簡算的要簡算）

（1）(π1)123．（2）8＋(－1)3－2×

022

(3)45(5)(6(7)

x42x1x)3x（6)(848)(212)(2245842(4)(548627415)3

3)

1213122213(8)(2332(9)（10）

※（11）(72

2bab56)(23326）

ab－

ab—

ba＋

abba2（a＞0，b＞0）

(32ab)33ba

223)376※(12)

22118413.若3的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則3ab14．在數(shù)軸上與表示___________

15．若一個正方體的長為26cm，寬為3cm，高為2cm，則它的體積為cm3.※16．

132與32的關(guān)系是

3的點的距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)是

17．甲、乙兩人對題目“化簡并求值：有不同的解答：

11a21a1a2a22，其中a15”

甲的解答：乙的解答：

aa221a(1aa)21a1aa2aa495，

1a1a2a221a(a1a)21aa1aa15。

誰的解答是錯誤的？為什么？※18.先觀察下列分母有理化：

12121，

13232,14343,15454,從計算結(jié)果中找出規(guī)律，再利用這一規(guī)律計算下列式子的值:(121132143...1201*201*)(201*1)

19.觀察下列各式的特點：

2132，3223，2352，

201*

(1)請根據(jù)以上規(guī)律填空201*201*201*(2)請根據(jù)以上規(guī)律寫出第n(n1)個不等式，并證明你的結(jié)論.

※(3)計算下列算式：

12114313154213.....21100991431101100

=（三）二次根式的化簡求值20．若x

21．若xy3,求x

22．已知a2

23.已知21.414，31.732，求下列各式的近似值(精確到0.01)：

13123，求53，求

x6x5的值。

2yxyxy的值。

12aaa12a2a1aa22的值。

(1)

；(2)2718；(3)6(32).（四）二次根式的比較大小24.比較下列個數(shù)的大小

（1）3與22（平方法）（2）－57與－65（被開方數(shù)）（3）

（4）201*－201*與201*－201*（倒數(shù)法）

175與

153（分母有理化）

(5)(6)

（7）已知：a,b是正數(shù)，求證：ab2ab.

73365432154324與5432354322（設(shè)參數(shù)比較）

與

6225（分子有理化）（五）二次根式的應(yīng)用

25．在交通事故的處理中，交通警察往往用公式v16df來判斷該車是否超速，其中v表示車速（單位km/s）,d表示剎車后車輪劃過的距離（單位：m）,f表示摩擦系數(shù)；某日，在一段限速60km/s的公路上，發(fā)生了一起兩車追尾的事故，警察趕到后，經(jīng)過測量，得出其中一輛車的d18，

f12，請問該車超速了嗎？

26．我們?nèi)梭w含有多少脂肪才算適當(dāng)？據(jù)科學(xué)研究表明，可以利用身體的體重（W，單位：千克）和身高（h，單位：米）來計算身體脂肪水平，也稱為身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）.計算公式是BMI=

Wh2，而且男性的BMI指數(shù)范

圍是24~27，如果一位男生體重是70千克，身體脂肪屬于正常，那么請你估計他的身高大約在哪個范圍內(nèi)？（精確到0.01米）.

27．談祥柏是中國人民解放軍軍醫(yī)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，有一次他將我國近代著名作家徐志摩《再別康橋》中的兩句組成了如下的等式組：輕輕的我走了正如我輕輕的，這里相同的漢字表示０，１，，９來中相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同數(shù)字，你能利用所學(xué)知識破解它嗎？28．某人用一架不等臂天平稱一塊鐵a的質(zhì)量，把鐵塊放在天平左盤時，稱得它的質(zhì)量為300克；把鐵塊放在天平右盤時，稱得它的質(zhì)量為900克，利用所學(xué)知識，求這塊鐵的實際質(zhì)量

29．有一塊木板，如圖，請你把它切成三塊，然后拼成一個正方形的桌面。

30．設(shè)等腰三角形的腰長為a，底邊長為b，底邊上的高為h．

（1）如果a＝2，b＝23，求h；（2）如果b＝7，h＝2，求a．

31.某市為方便相距2km的A、B兩處居民區(qū)的交往，修筑一條筆直的公路（如圖：AB）,經(jīng)測量，在A處的北偏東60°方向，B處北偏西45°方向的C處有一半徑為0.7km的圓形公園，問計劃修筑的公路會不會穿過公園？請說明理由。

60°45°

2123CAB※32．設(shè)三所學(xué)校A，B，C分別位于一個等邊三角形的三個頂點處，現(xiàn)值網(wǎng)絡(luò)時代，要在三個學(xué)校之間鋪設(shè)通訊電纜，小張同學(xué)設(shè)計了三種連接方案，如圖所示，方案甲：AB+BC；方案乙：AD+BC（D為BC中點）；方案丙：AO+BO+CO（O為三角形三條高的交點），請你幫助計算一下哪種方案線路最短？

※33.一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60°方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30°方向，已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進入危險區(qū)域的可能？

B甲CBD乙CBOAAAD丙C

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