高中數(shù)學(xué)必修一集合知識點總結(jié)大全

高中數(shù)學(xué)必修1知識點

集合

（）元素與集合的關(guān)系：屬于（）和不屬于（）12）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素（（3）集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法（子集：若xAxB，則AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，真子集有(2n-1)個。2、任何一個集合是它本身的子集，即AA注關(guān)系3、對于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），則A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質(zhì)：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質(zhì)：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB運算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義：CUAx/xU且xAA補集性質(zhì)：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU第一章集合與函數(shù)概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

把某些特定的對象集在一起就叫做集合.（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾��?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)A(3)若AB且BC，則AC(4)若AB且BA，則AB（1）A（A為非空子集）性質(zhì)示意圖AB子集（或A(B)BABA)AB或且B中至AB，少有一元素不屬于A真子集（或B(2)若AB且BC，則ACBAA）集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAABA(B)（7）已知集合A有n(n1)個元素，則它有2個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非空真子集.

n【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)（1）AAA（2）A（3）ABA示意圖交集AB{x|xA,且xB}并集AB{x|xA,或xB}ABB⑷∩=（1）AAA（2）AA（3）ABAABB⑷∪=（）∩=,∪=,=,∩=∪,(∪)=()∩()ABAB⑴{x|xU,且xA}⑵補集⑶⑷⑸⑼集合的運算律：交換律：ABBA;ABBA.

結(jié)合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)

分配律:A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU等冪律：AAA,AAA.

求補律：A∩=A∪=U==

反演律：(A∩B)=(A)∪(B)(A∪B)=(A)∩(B)

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集合

（）元素與集合的關(guān)系：屬于（）和不屬于（）12）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素（（3）集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法（子集：若xAxB，則AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n個元素，則集合A的子集有2n個，真子集有(2n-1)個。2、任何一個集合是它本身的子集，即AA注關(guān)系3、對于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），則A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合與集合定義：ABx/xA且xB交集性質(zhì)：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定義：ABx/xA或xB并集性質(zhì)：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB運算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定義：CAx/xU且xAAU補集性質(zhì)：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU

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函數(shù)

映射定義：設(shè)A，B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：B為從集合A到集合B的一個映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個變量x,y,并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，定義按照某個對應(yīng)關(guān)系f,y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作yf(x).近代定義：函數(shù)是從一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射。定義域函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素值域?qū)��?yīng)法則解析法函數(shù)的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調(diào)性導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)M；函數(shù)（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數(shù)yf(x)的最大值函數(shù)的基本性質(zhì)最值最小值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)N滿足：（1）對于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數(shù)yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱。奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數(shù))則f(x)叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡稱周期（1）描點連線法：列表、描點、連線向左平移個單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個單位：yy,xaxyf(xa)平移變換向上平移b個單位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b個單位：xx,y11byybf(x)橫坐標(biāo)變換：把各點的橫坐標(biāo)x1縮短（當(dāng)w1時）或伸長（當(dāng)0w1時）到原來的1/w倍（縱坐標(biāo)不變），即x1wxyf(wx)伸縮變換縱坐標(biāo)變換：把各點的縱坐標(biāo)y伸長（A1)或縮短（0A1)到原來的A倍1函數(shù)圖象的畫法（橫坐標(biāo)不變），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x12x0x2）變換法關(guān)于點(x,y)對稱：2y0yf(2x0x)00yy12y0y12y0yxx12x0x12x0x關(guān)于直線xx0對稱：yf(2x0x)yy1y1y對稱變換xx1xx關(guān)于直線yy0對稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1關(guān)于直線yx對稱：yf1(x)yy1

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附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)ytanx中xk2(kZ)；余切函數(shù)ycotx中；6、如果函數(shù)是

由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)g(x)在這個區(qū)間上也為增（減）函數(shù)2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則f(x)為減（增）函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則yf[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則yf[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個奇函數(shù)在x0處有定義，則f(0)0，如果一個函數(shù)yf(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)yf(u)和ug(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)可以表示為f(x)特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

11[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，該式的22

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零點：對于函數(shù)yf（x）,我們把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點。定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0,零點與根的關(guān)系那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點。即存在c(a,b),使得f(c)0,這個c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）關(guān)系：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)有零點函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(1)確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)0,給定精確度；函數(shù)與方程(2)求區(qū)間(a,b)的中點c;函數(shù)的應(yīng)用(3)計算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)f(c)0,則令b（此時零點cx(a,b)）；0③若f(c)f(b)0,則令a（此時零點cx(c,b)）；0(4)判斷是否達(dá)到精確度：即若a-b,則得到零點的近似值a(或b);否則重復(fù)24。幾類不同的增長函數(shù)模型函數(shù)模型及其應(yīng)用用已知函數(shù)模型解決問題建立實際問題的函數(shù)模型mna,n為根指數(shù)，a為被開方數(shù)根式：nmaan分?jǐn)?shù)指數(shù)冪arasars(a0,r,sQ)指數(shù)的運算rs指數(shù)函數(shù)rs性質(zhì)(a)a(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1對數(shù)：xlogaN,a為底數(shù)，N為真數(shù)loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數(shù)logaMlogaMlogaN;.N對數(shù)的運算性質(zhì)nnlogM;(a0,a1,M0,N0)logM對數(shù)函數(shù)aalogcb換底公式：logb(a,c0且a,c1,b0)alogac對數(shù)函數(shù)定義：一般地把函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1

定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，x是自變量，是常數(shù)。冪函數(shù)性質(zhì)：見表2第4頁共4頁

指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1xR對數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1x0,定義域值域y0,yR圖象過定點(0,1)過定點(1,0)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)x(,0)時，y(1,)x(,0)時，y(0,1)x(0,1)時，y(0,)x(0,1)時，y(,0)x(0,)時，y(1,)x(0,)時，y(0,1)x(1,)時，y(,0)x(1,)時，y(0,)性質(zhì)abababab第5頁共5頁

冪函數(shù)yx(R)pq00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)偶函數(shù)第一象限性質(zhì)減函數(shù)增函數(shù)（0，1）過定點

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高中數(shù)學(xué)必修2知識點

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)0,90時，k0；當(dāng)90,180②過兩點的直線的斜率公式：k時，k0；當(dāng)90時，k不存在。

y2y1(x1x2)

x2x1注意下面四點：(1)當(dāng)x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2y2y1x2x1xy1ab其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：A0xB0yC0（C為常數(shù)）（二）過定點的直線系（）斜率為k的直線系：（）過兩條直線l1:yy0kxx0，直線過定點x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

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A1xB1yC10交點坐標(biāo)即方程組的一組解。A2xB2yC20方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

l1與l2重合

（8）兩點間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，（是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，Bx2,y2）（9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr，圓心

222a,b，半徑為r；

22（2）一般方程xyDxEyF0

1DE，半徑為當(dāng)DE4F0時，方程表示圓，此時圓心為rD2E24F,22222當(dāng)DE4F0時，表示一個點；當(dāng)DE4F0時，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位。3、直線與圓的位關(guān)系：

直線與圓的位關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為dAaBbC，則有

22AB2222drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

（2）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令

其中的判別式為，則有

0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

2注：如果圓心的位在原點，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

2①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．

②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

當(dāng)dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時，為同心圓。

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三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點字母，如五棱柱AD"

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

"""""""""""""""3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

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（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側(cè)面積chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積1ch"S圓錐側(cè)面積rl

2S正棱臺側(cè)面積1(rR)l(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積22rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2

S圓柱表（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

12rhV柱ShV圓柱ShV錐ShV圓錐1r2h

331"11"22V臺(S"S"SS)hV圓臺(SSSS)h(rrRR)h

333

2

（4）球體的表面積和體積公式：V球=4R3；S球面=4R3

4、空間點、直線、平面的位關(guān)系（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作A；點A不在平面內(nèi)，記作A點與直線的關(guān)系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl

（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。

符號語言：PABABl,Pl公理3的作用：①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線

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②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位無關(guān)。②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位，頂點選在特殊的位上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點．

三種位關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位關(guān)系：平行沒有公共點；α∥β相交有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

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②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角．．．．．叫二面角的平面角。

③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系

（1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點，分別以O(shè)D,OA,,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1）O叫做坐標(biāo)原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位。

（3）任意點坐標(biāo)表示：空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)）（4）空間兩點距離坐標(biāo)公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

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高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

1算法初步

秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計算逐步得出高次多項式的值，對于一個

次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

n次多項式，只要作n

例題：秦九韶算法計算多項式3x64x55x46x37x28x1,當(dāng)x0.4時,

需要做幾次加法和乘法運算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，

如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法…(algorithm)1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言（本書指偽代碼）.2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時間內(nèi)可以完成，在時間上有一個合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，

循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，

它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。

算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

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直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)第13頁共13頁

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Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequencestructure）：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操

作，一個順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selectionstructure）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界條件的確定。

它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cyclestructure）：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復(fù)操作問題，分直到型（until）和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時（即不知道循環(huán)次數(shù)時）用當(dāng)型循環(huán)。

基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC語言編寫的,是介于自然

語言和機(jī)器語言之間的文字和符號，是表達(dá)算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用xy，

也可以用xy;表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，其中x是一個變量，

y是一個與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量表達(dá)式”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“xy”，但此時的“=”不是數(shù)學(xué)

運算中的等號，而應(yīng)理解為一個賦值號。

注：1.賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式�！�=”具有計算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯誤的，而a=3*51,a=2a+3

都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,c=2都是錯誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxxy,同樣的如果交換三個變量x,y,z的值:yppxxyyzzp

Ⅱ.輸入語句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b輸出語句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運算結(jié)果x,y

注：1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read語句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式3.Print語句不能起賦值語句，意旨不能在Print語句中用“=”4.Print語句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個語句在

一行書寫時用“；”隔開.

例題：當(dāng)x等于5時，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5Ⅲ.條件語句（conditionalstatement）：

1.行If語句:IfAThenB注：沒有EndIf

2.塊If語句：注：①不要忘記結(jié)束語句EndIf，當(dāng)有If語句嵌套使用時，有幾個If，就必須要

有幾個EndIf②.ElseIf是對上一個條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。④為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：

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IfAThenIfAThen

BB

ElseElseIfCThen

CD

EndIfEndIf

例題:用條件語句寫出求三個數(shù)種最大數(shù)的一個算法.

Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen

Printb

Else注：1.同樣的你可以寫出求三個數(shù)中最小的數(shù)。Printc2.也可以類似的求出四個數(shù)中最小、大的數(shù)EndIfEndIf

Ⅳ.循環(huán)語句（cyclestatement）：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對應(yīng).WhileAForIFrom初值to終值Step步長……EndWhileWhile循環(huán)EndForFor循環(huán)DoWhilepDo……Loop當(dāng)型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)說明：1.While循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問題時，可以寫成While循環(huán)，較為簡單，因為它的條件相對好判斷.2.凡是能用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For循環(huán)書寫3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化4.Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時條件要相應(yīng)變化5.注意

臨界條件的判定.

例題：設(shè)計計算135...99的一個算法.（見課本P21）

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S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSS1I1WhileI99I1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSSSI

II2EndWhilePrintSS1S1I1I1DoSSIDoII2II2SSILoopUntilI99LoopUntilI100(或者I99)PrintSPrintSS1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintS

DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。

2.在具體做題時，可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后畫流程圖，最后寫偽代碼。

3.書寫程序時一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時還會碰到我們沒有見過的語言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！

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高中數(shù)學(xué)必修4知識點

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

終邊在x軸上的角的集合為k180,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正半軸n*的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為區(qū)域．

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

l6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是．

r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．

180終邊所落在的n8、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

11Slrr2．

229、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標(biāo)是x,y，它與原點的距離是

rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx第17頁共17頁

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sincos1

22ysin21cos2,cos21sin2；2sintancosPTOMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

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函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時，取得最大值為ymax，則

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函ycosxysinx數(shù)性質(zhì)ytanx圖象定義域值域RRxxk,k21,1x2k1,1當(dāng)x2kk時，R2k2最值ymax1；當(dāng)x2kymax1；當(dāng)x2k既無最大值也無最小值k時，ymin1．k時，ymin1．周期性奇偶性2奇函數(shù)2偶函數(shù)奇函數(shù)2k,2k22在2k,2kkk上是增函數(shù)；在上是增函數(shù)單調(diào)性在2k,2k32k,2k22k上是減函數(shù)．k上是減函數(shù)．k,k22k上是增函數(shù)．對稱性心k,0kk,0k心k,0k心22第19頁共19頁

xk2kxkk軸16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質(zhì)：①交換律：abba；②結(jié)合律：abcabc；③a00aa．

⑸坐標(biāo)運算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

Ca

⑵坐標(biāo)運算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①aa；

b

abCC

②當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0．

⑵運算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標(biāo)運算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有

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一對實數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點坐標(biāo)公式：設(shè)點是線段12上的一點，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)12時，點的坐標(biāo)是x1x2y1y2,．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時，abab；當(dāng)a與b反向時，22abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運算：設(shè)兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

ab設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則cosab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tanx1x2y1y2xy2121xy2222．

tantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22第21頁共21頁

⑶tan22tan．

1tan222sin，其中tan26、sincos

．高中數(shù)學(xué)必修5知識點

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

2224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2b2c2a2c2b25、余弦定理的推論：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac6、設(shè)a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列．12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列．13、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列．

14、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．15、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系的公式．

222222222第22頁共22頁

16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關(guān)系的公式．

17、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

18、由三個數(shù)a，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為a與b的等差中項．若b則稱b為a與c的等差中項．19、若等差數(shù)列

ac，2an的首項是a，公差是d，則a1na1n1d．

；

ana120、通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．

*21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則am，則2an2npq（n、p、q*）

anapaq；若an是等差數(shù)列，且

apaq．

na1an2；②Sn22、等差數(shù)列的前n項和的公式：①Snna1nn12d．

23、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2nn*nd則S2nnanan1，且S偶S奇，

S奇S偶，S奇S偶anan1．

*a，②若項數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶nna，（其中S奇nnn1S偶n1an）．

24、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

25、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，則稱G為a與b的等比中項．

26、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn12．

n1nm27、通項公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qannman；④q．a(chǎn)a1mq*）28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、，則amanapaq；若an是等比數(shù)列，且2npqn、p、

第23頁共23頁

（n、p、q），則an*2apaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q30、等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2nn②Snm*，則

S偶S奇q．

SnqnSm．

③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列．

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關(guān)系：

判別式b4ac201*yaxbxc20的圖象兩個相異實數(shù)根一元二次方程axbxc0a0的根2x1,2b2a有兩個相等實數(shù)根x1x2一元二次不等式的解集a0bx1x22a沒有實數(shù)根ax2bxc0xxx1或xx2bxx2aR第24頁共24頁ax2bxc0a0xx1xx235、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構(gòu)成的集合．

38、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．①若0，則xyC方的區(qū)域．

②若0，則xyC方的區(qū)域．

40、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．

0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0下

0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線xyC0上

ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2ab42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab．

241、設(shè)a、b是兩個正數(shù)，則

a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．222第25頁共25頁

44、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

s2⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2p．

第26頁共26頁

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