高中數(shù)學：導數(shù)總結

十、導數(shù)：

一、導數(shù)的概念：

（1）函數(shù)yf(x)在點x0處可導：函數(shù)yf(x)在x0到x0x之間的平均變化率，即

yxf(x0x)f(x0)x；

如果當x0時，

yx有極限，則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導。

（2）函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內可導：如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點處都

可導，則稱函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內可導；

（3）函數(shù)yf(x)在點x0的導數(shù)：

如果函數(shù)yf(x)在點x0處可導，那么極限lim導

數(shù)（或

yxyxz0叫做函數(shù)yf(x)在點x0的

f"(x0)變化率），記作：或

y"|xx0；即

f"(x0)limx0limf(x0x)f(x0)x

x0（4）函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內的導函數(shù)(導數(shù))：

如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，那么對于開區(qū)間(a,b)的每一個確定的值x0都對應著一個確定的導數(shù)f"(x0)，這樣在開區(qū)間(a,b)內構成一個新的函數(shù)，我們把這新函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），記

yxf(xx)f(x)xf"(x)或y"；即：f"(x)y"limx0lim

x0（5）導數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)f"(x0)，就是曲線yf(x)在點

P(x0,f(x0))處的切線的斜率k，即ktanf"(x0)；

（6）導數(shù)在物理中的運用：函數(shù)ss(t)在點t0處的導數(shù)s"(t0)，就是當物體的運動方程為

ss(t)時，物體運動在時刻t0的瞬時速度v，即vs"(t0)；物體運動在時刻t0的

加速度as""(t0)；

二、幾種常見函數(shù)的導數(shù)：C"0（C為常數(shù)）；(xn)"nxn1

三、函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)：

（1）和(差)的導數(shù)：兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差)，即

(uv)"u"v"

容易推廣到有限個函數(shù)的情形：(uvw)"u"v"w"（2）積的導數(shù)：兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個

函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：(uv)"u"vuv"

容易推出：(Cu)"Cu"（C為常數(shù)）：常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于這個常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)；四、導數(shù)的運用：（1）函數(shù)的單調性：

①設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果

f"(x)0，則f(x)為減函數(shù)。

②設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)在該區(qū)間上單調遞增(或遞減)，則在該區(qū)間內f"(x)0(或f"(x)0)。求可導函數(shù)f(x)單調區(qū)間的步驟：

①求f"(x)；②解不等式f"(x)0(或f"(x)0)；③確認并指出遞增區(qū)間(或

遞減區(qū)間)；

證明可導函數(shù)f(x)在(a,b)內的單調性的步驟：

①求f"(x)；②確認f"(x)在(a,b)內的符號；③作出結論；

（2）函數(shù)的極大值與極小值：

函數(shù)極值的定義：設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有

f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大(小)值；

求可導函數(shù)的極值的步驟：

①求f"(x)；②求方程f"(x)0的全部實根；

③檢查f"(x)在方程f"(x)0的根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值。

（3）函數(shù)的最大值與最小值：

求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟：①求f(x)在(a,b)內的極值；

②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，確定f(x)的最大值與最小值；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

擴展閱讀：高中數(shù)學導數(shù)知識點歸納總結及例題

導數(shù)

考試內容：

導數(shù)的背影．導數(shù)的概念．多項式函數(shù)的導數(shù)．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：（1）了解導數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導數(shù)的幾何意義．（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

14.導數(shù)知識要點導數(shù)的概念導數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的運算法則函數(shù)的單調性函數(shù)的極值函數(shù)的最值導數(shù)導數(shù)的運算導數(shù)的應用1.導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）的定義：設x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點，如果自變量x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導數(shù)，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負，但不為零.

②以知函數(shù)yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

⑴函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點x0處可導，那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當于x0.

1

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|，當x＞0時，xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么yf(x)在點x0處可導，是不成立的.例：f(x)|x|在點x00處連續(xù)，但在點x00處不可導，因為yyy不存在.1；當x＜0時，1，故limx0xxx注：①可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù).②可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù).

3.導數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f"(x)(xx0).

4.求導數(shù)的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、

積、商不一定不可導.例如：設f(x)2sinx22，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導，但它們和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0處均可導.

5.復合函數(shù)的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

6.函數(shù)單調性：

⑴函數(shù)單調性的判定方法：設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必

2

要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）

當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數(shù)異號，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不

①

可導的點也可能是函數(shù)的極值點.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點附近的點不同）.

②

注①：若點x0是可導函數(shù)f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數(shù)，其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x0是函數(shù)的極小值點.

8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.注：函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導數(shù)：

"I.C"0（C為常數(shù)）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求導的常見方法：①常用結論：(ln|x|)"1x21

(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩

(xb1)(xb2)...(xbn)x邊同取自然對數(shù)，可轉化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，對兩邊

y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求導可得yx3

導數(shù)中的切線問題

例題1：已知切點，求曲線的切線方程

曲線yx33x21在點(1，1)處的切線方程為（）

例題2：已知斜率，求曲線的切線方程

與直線2xy40的平行的拋物線yx2的切線方程是（）

注意：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設切線方程為y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因為0，得b1，故選Ｄ．

例題3：已知過曲線上一點，求切線方程

過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法．求過曲線yx32x上的點(1，1)的切線方程．

例題4：已知過曲線外一點，求切線方程

1求過點(2，0)且與曲線y相切的直線方程．

x4

練習題：已知函數(shù)yx33x，過點A(016)，作曲線yf(x)的切線，求此切線方程．看看幾個高考題

1.（201*全國卷Ⅱ）曲線yx在點1,1處的切線方程為2x122.（201*江西卷）設函數(shù)f(x)g(x)x，曲線yg(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為

3.（201*寧夏海南卷）曲線yxe2x1在點（0,1）處的切線方程為。4.（201*浙江）（本題滿分15分）已知函數(shù)f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．（I）若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；5.（201*北京）（本小題共14分）

設函數(shù)f(x)x3axb(a0).

（Ⅰ）若曲線yf(x)在點(2,f(x))處與直線y8相切，求a,b的值；

332x.1函數(shù)的單調性和導數(shù)

1．利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調性:一般地，設函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間可導，

如果在這個區(qū)間內f(x)0，則yf(x)為這個區(qū)間內的；如果在這個區(qū)間內f(x)0，則yf(x)為這個區(qū)間內的。2．利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性的步驟：

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求出函數(shù)的導數(shù)；

(3)解不等式f(x)＞0，得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；解不等式f(x)＜0，得函數(shù)的單調遞減區(qū)間．

5

""

【例題講解】

a)b)

確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內是增函數(shù)，哪個區(qū)間內是減函數(shù).

【課堂練習】

1．確定下列函數(shù)的單調區(qū)間(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3

２．已知函數(shù)f(x)xlnx，則（）

A．在(0,)上遞增B．在(0,)上遞減

求證：yx1在(,0)上是增函數(shù)。

311ee32３．函數(shù)f(x)x3x5的單調遞增區(qū)間是_____________．

C．在0,上遞增D．在0,上遞減

6

函數(shù)圖象及其導函數(shù)圖象31.函數(shù)yf(x)在定義域(,3)內可導，其圖象如

2圖，記yf(x)的導函數(shù)為yf(x)，則不等式f(x)0的解集為_____________2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(//3,3)，導函數(shù)2yf(x)

3f(x)在(,3)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)2的單調增區(qū)間是_____________

3.如圖為函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象，f"(x)為函數(shù)

f(x)的導函數(shù)，則不等式xf"(x)0的解集為______

-3yo3x

4.若函數(shù)f(x)xbxc的圖象的頂點在第四象限，則其導函數(shù)f"(x)的圖象是（）

2

5.函數(shù)yf(x)的圖象過原點且它的導函數(shù)f"(x)的圖象是如圖所示的一

條直線，則yf(x)圖象的頂點在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.(201*年廣東佛山)設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),yf(x)的圖象如右圖所示，則yf(x)的圖象最有可能的是（）

yyy2yyf(x)

y

O12xO12A

xO12B

xO1CxO12Dx7.設函數(shù)f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導函數(shù)y=f(x)的圖象可能

為()

7

8.（安微省合肥市201*年高三第二次教學質量檢測文科）函數(shù)yf(x)的圖像如下右圖

所示，則yf(x)的圖像可能是

（）

9.(201*年3月廣東省深圳市高三年級第一次調研考試文科)已

yox(x)ax2bxc的圖象如右圖，則知函數(shù)f(x)的導函數(shù)ff(x)的圖象可能是()

10.（201*年浙江省寧波市高三“十�！甭�(lián)考文科）如右圖所示是某一

容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時間t變化的可能圖象是（）hhhOtOtO

(A)(B)(C)

正視圖側視圖h俯視圖tOt"(D)

11.(201*廣州二模文、理)已知二次函數(shù)fx的圖象如圖1所示,則其導函數(shù)f象大致形狀是（）

x的圖

8

12.（201*湖南卷文）若函數(shù)yf(x)的導函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)．．．

在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是yyy

()yoabxoA．B．C．D．

a

obxa

obxa

bx

13.（福建卷11）如果函數(shù)yf(x)的圖象如右圖，那么導

函數(shù)yf(x)的圖象可能是()

14.（201*年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象如下圖，那么

y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（）

15.(201*珠海一模文、理)設f"(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將yf(x)和yf"(x)的圖

像畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）

9

A．

B．C．D．y

16.(湖南省株洲市201*屆高三第二次質檢)已知函數(shù)

則（）yf(x)的導函數(shù)yf(x)的圖像如下，函數(shù)f(x)有1個極大值點，1個極小值點

f(x)有2個極大值點，2個極小值點

函數(shù)f(x)有3個極大值點，1個極小值點函數(shù)f(x)有1個極大值點，3個極小值點

函數(shù)

1xx2x3Ox4x

17.(201*珠海質檢理)函數(shù)f(x)的定義域為

(a,b)，其導函數(shù)f(x)在(a,b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內極小值點的個數(shù)是（）

(A).1

(B).2(C).3(D).4

118.【湛江市文】函數(shù)f(x)lnxx2的圖象大致是

2

yOyyyxOxOxOxA．B．C．D．

219.【珠海文】如圖是二次函數(shù)f(x)xbxa的部分圖

象，則函數(shù)g(x)lnxf(x)的零點所在的區(qū)間是（）

111422C.(1,2)D.(2,3)

A.(,)B.(,1)

20.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)1．f(x)為f(x)的導函數(shù)，已知函數(shù)yf(x)的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足yb2的取值范圍是（）f(2ab)1，則a210

Ox

1111)B．(,)3,C．(,3)D．(,3)A．(,22)ax3bx2cx在點x0處取得極大值5，

f"(x)的圖象經過點(1,0)，(2,0)，如圖所

的值.11

3221.已知函數(shù)f(x其導函數(shù)y示.求：

（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c

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