導數高考知識點總結(最全)

導數知識點歸納及應用

●知識點歸納一、相關概念1．導數的概念

函數y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數y相應地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值化率，即

y叫做函數y=f（x）在x0到x0+x之間的平均變xyf(x0x)f(x0)y=。如果當x0時，有極限，我們就說函

xxx數y=f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x0處的導數，記作f’（x0）或y’|xx0。即f（x0）=lim說明：

（1）函數f（x）在點x0處可導，是指x0時，極限，就說函數在點x0處不可導，或說無導數。

（2）x是自變量x在x0處的改變量，x0時，而y是函數值的改變量，可以是零。

由導數的定義可知，求函數y=f（x）在點x0處的導數的步驟：①求函數的增量y=f（x0+x）－f（x0）；②求平均變化率

yf(x0x)f(x0)=；

xxf(x0x)f(x0)y=lim。

xxx0x0yy有極限。如果不存在xxy。

x0x例：設f(x)=x|x|,則f′(0)=.

f(0x)f(0)f(x)|x|x[解析]：∵limlimlimlim|x|0

x0x0x0x0xxx③取極限，得導數f’(x0)=lim∴f′(0)=0

2．導數的幾何意義

函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x0，f（x0））處的切線的

1/斜率是f’（x0）。相應地，切線方程為y－y0=f（x0）（x－x0）。例：在函數yx38x的圖象上，其切線的傾斜角小于

/

點的個數是A．3B．2C．1

3.導數的物理意義

如果物體運動的規(guī)律是s=s（t），那么該物體在時刻t的瞬間速度v=s（t）。如果物體運動的速度隨時間的變化的規(guī)律是v=v（t），則該物體在時刻t的加速度a=v′（t）。

例。汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖像可能是（）

ssss的點中，坐標為整數的4()

D．0

OA．

tOB．

tOC．

tOD．

t

練習：已知質點M按規(guī)律s2t23做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s）。

s；ts（2）當t=2，t0.001時，求；

t（3）求質點M在t=2時的瞬時速度。二、導數的運算

1．基本函數的導數公式:

（1）當t=2，t0.01時，求

①C0;（C為常數）②xnnxn1;③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;⑤(ex)ex;⑥(ax)axlna;

1⑦lnx;

x1⑧l(xiāng)ogaxlogae.

x2/例1：下列求導運算正確的是()

111A．(x+)12B．(log2x)′=

xxln2xxx2

C．(3)′=3log3eD．(xcosx)′=-2xsinx

例2：設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f201*(x)＝()

A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[解析]：f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)=cosx，f2(x)＝f1′(x)=-sinx，

f3(x)＝f2′(x)=-cosx，f4(x)＝f3′(x)=sinx，循環(huán)了則f201*(x)＝f1(x)＝cosx

2．導數的運算法則

法則1：兩個函數的和(或差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(或差)，即：(uv)"u"v".

法則2：兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘以第二個函數,加上第一個

函數乘以第二個函數的導數，即：(uv)"u"vuv".

若C為常數,則(Cu)"C"uCu"0Cu"Cu".即常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的導數：(Cu)"Cu".

法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與

u"vuv"u分子的積，再除以分母的平方：（v0）。2vv例：設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x＜0時,f(x)g(x)f(x)g(x)＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是()

A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)

3.復合函數的導數

形如y=f(x)的函數稱為復合函數。復合函數求導步驟：分解>求導>回代。

法則：y＇|X=y＇|Uu＇|X或者f[(x)]f()*(x).練習：求下列各函數的導數：（1）y3/6

xx5sinxx2;（2）y(x1)(x2)(x3);x（3）ysinx12cos2;（4）y2411x11x.

三、導數的應用

1.函數的單調性與導數

（1）設函數yf(x)在某個區(qū)間（a，b）可導，如果f"(x)0，則f(x)在此區(qū)間上為增函數；如果f"(x)0，則f(x)在此區(qū)間上為減函數。（2）如果在某區(qū)間內恒有f"(x)0，則f(x)為常數。例：函數f(x)x33x21是減函數的區(qū)間為

()

A．(2,)B．(,2)C．(,0)D．（0，2）

2．極點與極值：

曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；例：函數f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3時取得極值，則a=()A．2B．33．最值：

C．4

D．5

在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a，b）內連續(xù)函數f（x）不一定有最大值，例如f(x)x3,x(1,1)。（1）函數的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數值中的最小值。

（2）函數的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數值得出來的，函數的極值是比較極值點附件的函數值得出來的。函數的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。例：函數f(x)x33x1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是.●經典例題選講

例1.已知函數yxf(x)的圖象如圖所示（其中f(x)是函數f(x)的導函數），下面四個圖象中yf(x)的圖象大致是()

4/

例2.設f(x)ax3x恰有三個單調區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調區(qū)間。

例3.已知函數f(x)x3bx2axd的圖象過點P（0,2）,且在點M(1,f(1))處的切線方程為6xy70.（Ⅰ）求函數yf(x)的解析式；（Ⅱ）求函數yf(x)的單調區(qū)間.

例4.設函數fxx3bx2cx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函數。（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求g(x)的單調區(qū)間與極值。

2例5.已知f（x）=x3ax2bxc在x=1，x=時，都取得極值。

3（1）求a、b的值。

1（2）若對x[1,2]，都有f(x)恒成立，求c的取值范圍。

c例6.已知x1是函數f(x)mx33(m1)x2nx1的一個極值點，其中

m,nR,m0，

（I）求m與n的關系式；（II）求f(x)的單調區(qū)間；

（III）當x1,1時，函數yf(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍.

例7：已知函數f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR

（1）當a0時，求曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率；（2）當a5/6

2時，求函數f(x)的單調區(qū)間與極值。（3）本小題主要考查導數的幾何意義、導數的運算、利用導數研究

函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。

解：（I）當a0時，f(x)x2ex，f"(x)(x22x)ex，故f"(1)3e.

所以曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為3e.

（II）f"(x)x2(a2)x2a24aex.

令f"(x)0，解得x2a，或xa2.由a2知，2aa2.3以下分兩種情況討論。

2（1）若a＞，則2a＜a2.當x變化時，f"(x)，f(x)的變化情況如下表：

3x，2a+2a0極大值2a，a2a20極小值a2，+所以f(x)在(，2a)，(a2，)內是增函數，在(2a，a2)內是減函數.

函數f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m函數f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

（2）若a＜

2，則2a＞a2，當x變化時，f"(x)，f(x)的變化情況如下表：3x，a2+a20極大值a2，2a2a0極小值2a，+所以f(x)在(，a2)，(2a，)內是增函數，在(a2，2a)內是減函數。函數f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.

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導數知識點

一．考綱要求

考試內容8A導數概念及其幾何意義導數的概念導數的幾何意義根據導數定義求函數yc，yx，導數的運算導數及其應用yx2要求層次BC√△√，y1x√的導數導數的四則運算導數公式表◇導數在研究函數中的應用利用導數研究函數的單調性（其中多項式函數不超過三次）函數的極值、最值（其中多項式函數不超過三次）利用導數解決某些實際問題√√☆√☆√√二．知識點

1.導數的幾何意義：

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f(x)(xx0).

"2.、幾種常見函數的導數

"n"n1""①C0；②(x)nx；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(log3.導數的運算法則

x"xx"xax)"1xlna"；⑧(lnx)1x

(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vv4.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的

""""""u"uvuv""極大值，極小值同理）當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數在某一點附近的點不同）.

注①：若點x0是可導函數f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使f(x)"=0，但x0不是極值點.

是函數的極小值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x0極值與最值區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.5.導數與單調性

（1）一般地，設函數y=f(x)在某個區(qū)間可導，如果f′(x)>0，則f(x)為增函數；如果f′(x)<0，則f(x)為減函數；如果在某區(qū)間內恒有f′(x)=0，則f(x)為常數；（2）對于可導函數y=f(x)來說，f′(x)>0是f(x)在某個區(qū)間上為增函數的充分非必要條件，f′(x)<0是f(x)在某個區(qū)間上為減函數的充分非必要條件；（3）利用導數判斷函數單調性的步驟：

①求函數f(x)的導數f′(x)；②令f′(x)>0解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間；③令f′(x)<0解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間。

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