二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目(學(xué)生用)

二次函數(shù)

一、定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).例：已知關(guān)于x的函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)）當(dāng)a,b,c滿足什么條件時（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)的性質(zhì)（1）①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.③｜a｜越大，開口越小。

Ox

ybb4acb2（，）（2）頂點是，對稱軸是直線x

2a2a4a（3）①當(dāng)a0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減�。辉谠趯ΨQ軸右邊，y隨x的增大而增大；

②當(dāng)a0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小。（4）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

2

c0，拋物線與y軸的交點在x軸上方，c0，拋物線與y軸的交點在x軸下方中正確的是()

例：1、（201*四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論

A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0

2山東威海題圖

練習(xí)：1、（201*山東威海，7，3分）二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時，自變量x的取值范圍是（）．

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（201*湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④a+b+c＜0.其中正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4

三、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2

1,1，下2bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，頂點是，對稱軸是直線x.

2a2a4a21

（2）配方法：yaxhk的頂點為(h,k)，對稱軸是直線xh.

2(3)利用交點式求對稱軸及頂點：yaxx1xx2例1、求下列各拋物線的頂點和對稱軸：（1）yxx，對稱軸為x122

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安，14，3分）拋物線y=x-2x-3的頂點坐標是.（1，－4）四、拋物線的平移

方法1：計算機兩條拋物線的頂點，由頂點判定平移情況方法2：將函數(shù)換成頂點式，用口決“（x）左加右減，上加下減”．．．例1、拋物線yx22x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x24x1

例2、（201*四川樂山5，3分）將拋物線yx向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（）A．y(x2)B．yx2C．y(x2)D．yx2

例3、（201*重慶江津，18，4分）將拋物線y=x－2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_______.練習(xí)：

1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1

2、拋物線yx2x3向左平移2個單位，再向上移3個單位得到y(tǒng)xbxc，求b和c。

23、（201*山東濱州，7，3分）拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確的是()

22

222222222A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

22（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.(4)一般式與頂點式的變換

2

例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：（1）已知拋物線過（－3，0），（0，－3）,(5，0)

（2）已知拋物線的頂點在x軸上，且過點（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點坐標為（－2，0），過點（1，4）

1例2、將yx6x2和y2x2x4換成頂點式（y（x37,y2(x)）2練習(xí)：1、將yx4x－5和y3x7x4換成頂點式

22229）22222、（201*山東濟寧，12，3分）將二次函數(shù)yx24x5化為y(xh)2k的形式，則yy(x2)1）（

七、yax2bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系

b4ac>0方程有兩個不相等的實數(shù)根2＝0方程有兩個相等的實數(shù)根2.（201*湖北襄陽，12，3分）已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）

A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、（201*廣東東莞，15，6分）已知拋物線y(1)求c的取值范圍；

12xxc與x軸有交點．2(2)試確定直線y＝cx+l經(jīng)過的象限，并說明理由．

八、二次函數(shù)的應(yīng)用

1、求yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)最大值或最小值

①a0，函數(shù)有最小值為頂點的縱坐標，此時x等于頂點的橫坐標；②a0，函數(shù)有最大值為頂點的縱坐標，此時x等于頂點的橫坐標。2、面積問題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積＝底高3、利潤問題：利潤＝銷量（售價－進價）－其他4、拱橋問題

例1、（201*廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)yx22x5有（）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

12例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示（單位：m），要在這塊土地上沿東

西方向挖一條水渠，沿南北方向挖兩條水渠，水渠的寬為x（m），余

下的可耕地面積為y（

m2）。

（1）請你寫出y與x之間的解析式；

（2）根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式，當(dāng)水渠的寬度為1m時，余下的可

耕地面積為多少？（3）若余下的耕地面積為4408

m2，求此時水渠的寬度。

例3、某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m（件）與每件的銷售價x(元)滿足

一次函數(shù)：m=162-3x.

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的定價為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

練習(xí)：1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500

千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答下列問題:（1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設(shè)銷售單價為每千克X元，月銷售利潤為Y元，求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？

4

3、.如圖6，一單杠高2.2m，兩立柱之間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處，繩子自然下

垂呈拋物線形狀，一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處，其頭部剛好觸到繩子，求繩子最低點到地面的距離。（答案：0.2m）

圖6

附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y軸）當(dāng)a0時開口向上當(dāng)a0時x0（y軸）xhxhyaxhk2開口向下yaxbxc

2bx2ab4acb2，()2a4a5

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二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目

第一部分基礎(chǔ)知識

21.定義：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線yax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系.

①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.

（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）.

3.二次函數(shù)

yax2bxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

24.二次函數(shù)

yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

hb2a，k4acb24a.

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①

yax2；②

yax2k；③

yaxh2yaxh2；④

k；⑤yax2bxc.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a0時，開口向上；當(dāng)a0時，開口向下；

a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于

y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2（1）公式法：

yax2bxcaxb2a4acb24a，∴頂點是

（b4acb22a，4a），對稱軸是直線

xb2a.

yaxh2（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為

k的形式，得到頂

點為(h,k)，對稱軸是直線xh.

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.

9.拋物線

yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxcxb的對稱軸是直線

2a，bba0

故：①b=0時，對稱軸為y軸；②（即a、b同號）時，對稱軸在

y軸左側(cè)；③a0（即

a、b異號）時，對稱軸在

y軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線

yax2bxc與y軸交點的位置.2當(dāng)x=0時，y=c，∴拋物線

yaxbxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：

①c=0，拋物線經(jīng)過原點;②c＞0,與y軸交于正半軸；③c＜0,與y軸交于負半軸.

b以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則a0.

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標yax2（0,0）當(dāng)a0時,x0（y軸）yax2k開口向上；x0(0,k)（y軸）yaxh2xh(h,0)yaxh2當(dāng)a0k時，xh(h,k)開口向下。yax2bxc2xb2ab2a，4acb(4a)10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

2（1）一般式：

yaxbxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點式：yaxh2k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，

通常選用交點式：

yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線

yax2bxc得交點為(0,c).

（2）與y軸平行的直線

xh與拋物線

yax2bxc有且只有一個交點

(h,

ah2bhc).（3）拋物線與x軸的交點(x1,0)、(x2,0)

二次函數(shù)

yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應(yīng)一元二次

方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程

的根的判別式判定：①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；

③沒有交點0拋物線與x軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)

縱坐標為k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)

yax2bxca0的圖像G

ykxn的交點，由方程組

yax2bxc的解的數(shù)目來確定：

①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

（6）拋物線與

xyax2軸兩交點之間的距離：若拋物線bxc與

x軸兩交點為

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個根，故

xbc1x2a,x1x2a

22ABx1x2x1x22x1x4xb4cb4ac221x2aaaa

第二部分典型習(xí)題

１.拋物線y＝x2

＋2x－2的頂點坐標是（）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）

２.已知二次函數(shù)

yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

Ａ．a(chǎn)b＞0，c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0，c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0，c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0，c＜0

AEFB

DC

第２,３題圖第4題圖

３.二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0

４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D為BC上一點，EF//BC，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設(shè)E到BC的距離為x，則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖

象大致為（）

4y444O24xO24O24O24ABCD

５.拋物線

yx22x3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為．

6.已知二次函數(shù)y＝kx2＋(2k－1)x－1與x軸交點的橫坐標為x1、x2（x1＜x2），則對于下列結(jié)

論：①當(dāng)x＝－2時，y＝1；②當(dāng)

x＞x2時，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1＋4k2x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤2－x1＝k，其中所有正確的結(jié)

論是（只需填寫序號）．7.已知直線

y2xbb0與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.

（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線

y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線

y2xb的解析式.

8.有一個運算裝置，當(dāng)輸入值為x時，其輸出值為y，且y是x的二次函數(shù)，已知輸入值為

2,0,1時,相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值

y為正數(shù)時輸入值

x的取值范圍.

9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請根據(jù)圖象回答：

⑴第一天中，在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少

時間?

⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?

⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時到22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．

10.已知拋物線yax2(433a)x4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數(shù)a，

使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．11.已知拋物線y＝－x2

＋mx－m＋2.

（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB＝5，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.

12.已知：拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果點E在(2)中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標．

（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）．

14.已知二次函數(shù)y=ax2

－2的圖象經(jīng)過點(1，－1)．求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)．

15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE∥AB，如圖(1)．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）．

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；

（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長(備用數(shù)據(jù)：21.4，計算結(jié)果精確到1米)．

16.已知在平面直角坐標系內(nèi)，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，2如圖．二次函數(shù)y＝ax＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸相交于點C．（1）a、c的符號之間有何關(guān)系?

（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．

317.如圖，直線

y3x3分別與x軸、y軸交于點A、B，⊙E經(jīng)過原點O及A、B兩點．

（1）C是⊙E上一點，連結(jié)BC交OA于點D，若∠COD＝∠CBO，求點A、B、C的坐標；（2）求經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的解析式：

（3）若延長BC到P，使DP＝2，連結(jié)AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由．

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