第一次月考總結平面向量和解三角形

向量知識點

一．向量有關概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；

AB3．單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是)；

|AB|4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；

5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a∥b，規(guī)定零向

量和任何向量平行。提醒：

①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；

②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；

③平行向量無傳遞性�。ㄒ驗橛�0)；

AC共線；④三點A、B、C共線AB、abb6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如下列命題：（1）若

，則a。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）

。（5）若abb,c若ABDC，則A是平行四邊形。（4）若A是平行四邊形，則ABDCBCDBCD（6）若a//b,b//c，則a//c。其中正確的是_______

，則ac。

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點在前，終點在后；2．符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a，b，c等；

3．坐標表示法：在平面內建立直角坐標系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j為基底，則平

面內的任一向量a可表示為axiyjx,y，稱x,y為向量a的坐標，a＝x,y叫做向量a的坐標

表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量a，有

且只有一對實數1、2，使a=1e1＋2e2。如

（1）若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，則c______

（答：

13ab22）；

（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是

A.e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.

e1(3,5),e2(6,10)D.

13e1(2,3),e2(,)

24（3）已知AD,BE分別是ABC的邊

BC,AC上的中線,且ADa,BEb,則BC可用向量a,b表示為

24ab33（答：B）；

_____

（答：

）；

四．實數與向量的積：實數與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：

1aa,2當>0時，a的方向與a的方向相同，當2．平面向量的數量積：如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為，我們把數量|a||b|cos叫做a與b的數量積（或內積或點積），記作：ab，即ab＝abcos。規(guī)定：零向量與任一向量的數量積是0，

b垂直。

注意數量積是一個實數，不再是一個向量。如

（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，則ABBC_________

（答：－9）；

11（2）已知a(1,),b(0,),cakb,dab22，c與d的夾角為

4，則k等于____

（答：1）；

（3）已知

a2,b5,ab3，則

ab等于____

（答：23（4）已知a,b是兩個非零向量，且abab，則a與ab的夾角為____3．b在a上的投影為|b|cos，它是一個實數，但不一定大于0。如

）；

（答：30）

已知|a|3，|b|5，且ab12，則向量a在向量b上的投影為______

（答：

4．ab的幾何意義：數量積ab等于a的模|a|與b在a上的投影的積。

125）

5．向量數量積的性質：設兩個非零向量a，b，其夾角為，則：

①abab0；

222aaaa,aa；b同向時，ab＝ab，ab＝－ab；②當a，特別地，當a與b反向時，

b不同向，ab0是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，ab＜當為銳角時，ab＞0，且a、b不反向，ab0是為鈍角的必要非充分條件；0，且a、ab③非零向量a，b夾角的計算公式：cos；④|ab||a||b|。如

ab（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是______

（答：43或0且13）；

（2）已知OFQ的面積為S，且OFFQ1，若_________

12S32，則OF,FQ夾角的取值范圍是

4（答：(,3)）；

（3）已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a與b之間有關系式kab3akb,其中k0，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此時a與b的夾角的大小

21k1(k0)；②最小值為，60）（答：①ab4k2六．向量的運算：

1．幾何運算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，

,BCb那么向量AC叫做a與b的和，即向量加法還可利用“三角形法則”：設ABa，

abABBCAC；

②向量的減法：用“三角形法則”：設ABa,ACb,那么abABACCA，由減向量的終點指

向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：①ABBCCD（答：①AD；②CB；③0）；

（2）若正方形ABCD的邊長為1，ABa,BCb,ACc，則|abc|＝_____

___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

（答：22）；

（3）若O是ABC所在平面內一點，且滿足OBOCOBOC2OA，則ABC的形狀為____

（4）若D為ABC的邊BC的中點，ABC所在平面內有一點P，滿足PABPCP0，設

（答：直角三角形）；

|AP|，則的值為___|PD|（5）若點O是△ABC的外心，且OAOBCO0（答：2）；

，則△ABC的內角C為____

（答：120）；

2．坐標運算：設a(x1,y1),b(x2,y2)，則：

①向量的加減法運算：ab(x1x2，y1y2)。如

（1）已知點限的角平分線上

A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若APABAC(R)，則當＝____時，點P在第一、三象

（答：）；

211（2）已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)222，則xy（答：

6或2）；

F(3,4),F(2,5),F(3,1)（3）已知作用在點A(1,1)的三個力123FFFF，則合力123②實數與向量的積：ax1,y1x1,y1。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，則ABx2x1y,2y1，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的

的終點坐標是（答：（9,1））

終點坐標減去起點坐標。如

設

1A(2,3),B(1,5)，且ACAB3，AD3AB，則C、D的坐標分別是__________

（答：(1,113),(7,9)）；

④平面向量數量積：abx1x2y1y2。如

已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝（2）若x∈[38,3，求向量a、c的夾角；

4]，函數f(x)ab的最大值為

12，求的值

（答：(1)150;(2)12或21）；

222⑤向量的模：|a|xy,a|a|2x2y2。如

60|a3b|＝_____a,b已知均為單位向量，它們的夾角為，那么

（答：13）；

⑥兩點間的距離：若Ax1,y1,Bx2,y2，則|AB|x2x1y2y1。如

22斜坐標是這樣定義的：若OPxe1ye2，其中e1,e2分別為與x軸、y軸

如圖，在平面斜坐標系xOy中，xOy60，平面上任一點P關于斜坐標系的同方向的P到O的距

單位向量，則P點斜坐標為(x,y)。（1）若點P的斜坐標為（2，－2），求離｜PO｜；（2）求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；

七．向量的運算律：

1．交換律：abba，aa，abba；

2．結合律：abcabc,abcabc，ababab；

3．分配律：aaa,abab，abcacbc。

如

下列命題中：①a(bc)abac；②a(bc)(ab)c；③(ab)|a|2

22|a||b||b|；④若ab0，則a0或b0；⑤若abcb,則ac；⑥a222a222222⑧(ab)ab；⑨(ab)a2abbabb；⑦2aa；

。其中正確的是______

（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即a(bc)(ab)c，為什么？八．向量平行(共線)的充要條件：a//b22ab(ab)(|a||b|)x1y2y1x2(1)若向量a(x,1),b(4,x)，當x＝_____時a與b共線且方向相同

（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab＝0。如

（答：2）；

，且u//v，則x＝______

（答：4）；

（3）設PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，則k＝_____時，A,B,C共線

（答：－2或11）

x1x2y1y20九．向量垂直的充要條件

A(ABBAC()ACABAC。)如ABAC：abab0|ab||ab|.特別地

(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，則m

（答：

32）；

（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，B（3）已知n(a,b),向量nm90，且

nm，則m，則點B的坐標是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（答：(b,a)或(b,a)）

的坐標是________

b同向或有0（2）||a||b|||ab||a||b|，特別地，當a、b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；當a、||a|這些和實數比較類似).b|||a|b|a|(|b12、向量中一些常用的結論：

（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；

|ab||a||b|

b|||a|b；

|a|b不共線當a、（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則其重心的坐標為

xx2x3y1y2y3G1,。如

33若ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標為_______

（答：(24,)）；331②PG(PAPBPC)G為ABC的重心，特別地PAPBPC0P為ABC的重心；3③PAPBPBPCPCPAP為ABC的垂心；AC)(0)所在直線過ABC的內心(是BAC的角平分線所在直線)；AC||PA|CA|PB0PABC的內心；

（3）若P分有向線段P1P2所成的比為，點M為平面內的任一點，則MPMP1MP2，特別地P為P1P2AB④向量(|AB||⑤|AB|PC|BC的中點2（4）向量PA、PB、PCMPMP1MP21；

中三終點A、B、C共線存在實數、使得PAPBPC且1.

如

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(1,3),若點C滿足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,則點C的軌跡是_______

（答：直線AB）

解三角形知識點：

1．正弦定理:

asinAbsinBcsinC2R或變形：a:b:csinA:sinB:sinC.

222bcacosA2222bcabc2bccosA2222acb222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2ac222222cba2bacosCbaccosC2ab3．（1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角.

2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.

00（1）三角形內角和等于180，即ABC180,靈活變形，如A1800(BC)等

（2）大邊對大角,即若abc，則ABC

2.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：

asinAbsinBcsinC2R（R為三角形外接圓半徑）

變形：(1)a:b:csinA:sinB:sinC(2)sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R（角化邊）

(3)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（邊化角）

3.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即：

a2bc2bccosA；b222a2c22accosB；c2a2b2abcosC

變形：cosA條件適用定理b2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosC邊邊邊a2b2c22ab

角角邊正弦定理邊邊角邊角邊余弦定理正弦定理（注意解的個數）余弦定理余弦定理4.三角形的面積公式

S12absinC，S12acsinB，S12bcsinA

擴展閱讀：C++類模板實現(xiàn)

1.題目：

第一題：類向量模板Myvector

模仿C++中的向量模板（vector），設計一個自己的向量模板類MyVector，能夠處理不同類型的數據，要求至少能夠實現(xiàn)如下功能：1）初始化：

(1)MyVector向量名(長度);//缺省初值為0(2)MyVector向量名(長度,初值);(3)MyVector向量名1(向量2);

(4)MyVector向量名1(向量2元素地址1,向量2元素地址2);

2）向量元素的訪問：

(1)at函數格式：向量.at(下標)(2)[]運算符格式：向量[下標]作用：返回下標所對應的元素。3）可以進行的操作：(1)begin格式：向量.begin()

作用：得到向量第一個元素的地址。(2)back

格式：向量.back()

作用：得到向量的最后一個元素的值。(3)capacity格式：向量.capacity()

作用：得到向量所能容納元素的總個數。(4)clear格式：向量.clear()

作用：刪除向量中的所有元素，使向量成為空向量。(5)empty格式：向量.empty()

作用：判斷向量是否為空，若為空則返回true，否則返回false。(6)end格式：向量.end()

作用：返回向量最后一個元素的后繼地址。(7)erase

格式：向量.erase(元素地址);或向量.erase(元素地址1,元素地址2);

作用：刪除指定地址的元素或指定地址范圍[元素地址1,元素地址2)內的元素。注意指定刪除的地址不能越界。(8)front

格式：向量.front()

作用：得到向量第一個元素的值。(9)insert

格式：向量.insert(元素地址,待插入數據)

或向量1.insert(元素地址,向量2的元素地址1,向量2的元素地址2)作用：在向量指定地址之前插入一個數據或插入另一個向量中指定地址范圍[元素地址1,元素地址2)的元素,返回新插入的第一個元素的地址。若被插入向量空間不夠，則需要增加空間。(10)pop_back格式：向量.pop_back()

作用：刪除向量的最后一個元素。(11)push_back

格式：向量.push_back(數據)作用：在向量最后增加一個元素。(12)size格式：向量.size()

作用：得到向量中實際存儲元素的數目。(13)swap

格式：向量1.swap(向量2)

作用：交互向量1和向量2的元素。(14)=

格式：向量1=向量2

作用：將向量2的元素賦值給向量1。(15)sort格式：向量.sort()

作用：將向量中的元素由小到大排序。2.類設計：#includeusingnamespacestd;templateclassMyvector{

private:

intlength;//向量實際長度intreal;//向量容量T*data;public:

Myvector(int);Myvector(int,Tb);

Myvector(constMyvector&);Myvector(T*m,T*n);

T&at(inta);//向量元素訪問

T&operator[](inta);//[]運算符重載

T*begin();//得到向量第一個元素的地址Tback();//得到向量最后一個元素的值

intcapacity();//得到向量所能容納元素的個數

voidclear();//刪除向量中的所有元素，使向量成為空向量boolempty();//判斷向量是否為空

T*end();//返回向量最后一個元素的后續(xù)地址voiderase(T*p);//刪除指定地址的元素

voiderase(T*p1,T*p2);//刪除指定地址范圍的元素Tfront();//得到向量最后一個元素的值

voidinsert(T*p1,inta);//在向量指定地址之前插入一個數據

voidinsert(T*p,T*P1,T*P2);//在向量指定地址之前插入另一個向量指定地址范圍的元素

voidpop_back();//刪除向量最后一個元素

voidpush_back(inta);//在向量最后增加一個元素intsize();//得到向量實際儲存元素的數目

voidswap(Myvector&);//交互向量1和2的元素

Myvector&operator=(constMyvector&);//“=”運算符重載將向量2的元素賦值給向量1

voidsort();//將向量中的元素由小到大排列};

3.程序清單：

1）：頭文件：

#include

usingnamespacestd;templateclassMyvector{private:

intlength;intreal;

T*data;public:

Myvector(int);Myvector(int,Tb);

Myvector(constMyvector&);Myvector(T*m,T*n);T&at(inta);

T&operator[](inta);T*begin();Tback();intcapacity();voidclear();boolempty();T*end();voiderase(T*p);

voiderase(T*p1,T*p2);Tfront();

voidinsert(T*p1,inta);

voidinsert(T*p,T*P1,T*P2);voidpop_back();

voidpush_back(inta);intsize();

voidswap(Myvector&);

Myvector&operator=(constMyvector&);voidsort();};

template

Myvector::Myvector(inta){

length=a;real=a;

data=newT[length];

for(inti=0;ifor(inti=0;ireturn*(data+length-1);}

template

intMyvector::capacity(){

returnreal;}

template

voidMyvector::clear(){

real=length=0;data=NULL;}

template

boolMyvector::empty(){

if(length==0)returntrue;elsereturnfalse;}

template

T*Myvector::end(){

return(data+length);}

template

voidMyvector::erase(T*p){

if(p>=data&&p}else

coutT*j=data;inta=p-data;intb=p2-p1;Myvectorv1(real+b);data=v1.begin();for(inti=0;ivoidMyvector::swap(Myvector&V1){

inta=V1.length;intb=V1.real;T*c=newT[b];

for(inti=0;i

}}

data[j]=p;

源文件：

#include"Myvector.h"usingnamespacestd;intmain(){Myvectorv1(10,1);coutv3.insert(v3.begin(),666);v3.insert(v3.end(),888);cout

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