新人教版八年級數(shù)學(xué)下冊知識點總結(jié)
八年級數(shù)學(xué)下冊知識點總結(jié)張老師組稿201*.2.6
第十六章分式
1.分式的定義:如果A、B表示兩個整式,并且B中含有字母,那么式子
ABA叫做分式。BACBCAC分式有意義的條件是分母不為零,分式值為零的條件分子為零且分母不為零A2.分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式,分式的值不變。BC(C0)B3.分式的通分和約分:關(guān)鍵先是分解因式
;4.分式的運算:
bdbdbdbcbc分式乘法法則:分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為分母。
acacacadad分式除法法則:分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘。nanaababacadbcadbc()n,分式乘方法則:分式乘方要把分子、分母分別乘方。bbcccbdbdbdbd分式的加減法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減。異分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜阜质,然后再加減
混合運算:運算順序和以前一樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。
5.任何一個不等于零的數(shù)的零次冪等于1,即a01(a0);當(dāng)n為正整數(shù)時,a6.正整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪.(m,n是整數(shù))
(1)同底數(shù)的冪的乘法:amanamn;(2)冪的乘方:(am)namn;(3)積的乘方:(ab)nanbn;
(4)同底數(shù)的冪的除法:amanamn(a≠0);(5)商的乘方:()n();(b≠0)
bb7.分式方程:含分式,并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。
解分式方程的過程,實質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個整式(最簡公分母),把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。
解分式方程時,方程兩邊同乘以最簡公分母時,最簡公分母有可能為0,這樣就產(chǎn)生了增根,因此分式方程一定要驗根。
ann1an(a0)
an解分式方程的步驟:
(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母,化為整式方程;(3)解整式方程;(4)驗根.
增根應(yīng)滿足兩個條件:一是其值應(yīng)使最簡公分母為0,二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。分式方程檢驗方法:將整式方程的解帶入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解。
列方程應(yīng)用題的步驟是什么?(1)審;(2)設(shè);(3)列;(4)解;(5)答.
應(yīng)用題有幾種類型;基本公式是什么?基本上有五種:(1)行程問題:基本公式:路程=速度×?xí)r間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.(2)數(shù)字問題在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.(3)工程問題基本公式:工作量=工時×工效.(4)順?biāo)嫠畣栴}v順?biāo)?v靜水+v水.v逆水=v靜水-v水.
n8.科學(xué)記數(shù)法:把一個數(shù)表示成a10的形式(其中1a10,n是整數(shù))的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法.
用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于10的n位整數(shù)時,其中10的指數(shù)是n1
用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的正小數(shù)時,其中10的指數(shù)是第一個非0數(shù)字前面0的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個0)
第十七章反比例函數(shù)
1.定義:形如y=
kx1x(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=kykx1yk
2.圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸:直線y=x和y=-x。對稱中心是:原點3.性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小;當(dāng)k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。4.|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。第十八章勾股定理
1.勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2。2.勾股定理逆定理:如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2。,那么這個三角形是直角三角形。
3.經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。
我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題。(例:勾股定理與勾股定理逆定理)
第十九章四邊形
平行四邊形定義:有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對邊相等;平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。平行四邊形的判定1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形2.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;3.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;4.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半。
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。矩形的定義:有一個角是直角的平行四邊形。
矩形的性質(zhì):矩形的四個角都是直角;矩形的對角線平分且相等。AC=BD
矩形判定定理:1.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2.對角線相等的平行四邊形是矩形。3.有三個角是直角的四邊形是矩形。菱形的定義:鄰邊相等的平行四邊形。
菱形的性質(zhì):菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角。菱形的判定定理:1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3.四條邊相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2×ab(a、b為兩條對角線)正方形定義:一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。
正方形的性質(zhì):四條邊都相等,四個角都是直角。正方形既是矩形,又是菱形。
正方形判定定理:1.鄰邊相等的矩形是正方形。2.有一個角是直角的菱形是正方形。梯形的定義:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。直角梯形的定義:有一個角是直角的梯形
等腰梯形的定義:兩腰相等的梯形。
等腰梯形的性質(zhì):等腰梯形同一底邊上的兩個角相等;等腰梯形的兩條對角線相等。等腰梯形判定定理:同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。解梯形問題常用的輔助線:如圖
線段的重心就是線段的中點。平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點。三角形的三條中線交于疑點,這一點就是三角形的重心。寬和長的比是
5-12ADCB(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形。
第二十章數(shù)據(jù)的分析
1.加權(quán)平均數(shù):加權(quán)平均數(shù)的計算公式。權(quán)的理解:反映了某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的重要程度。
學(xué)會權(quán)沒有直接給出數(shù)量,而是以比的或百分比的形式出現(xiàn)及頻數(shù)分布表求加權(quán)平均數(shù)的方法。
2.將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到。┑捻樞蚺帕,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。3.一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(mode)。
4.一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。
5.方差越大,數(shù)據(jù)的波動越大;方差越小,數(shù)據(jù)的波動越小,就越穩(wěn)定。
數(shù)據(jù)的收集與整理的步驟:1.收集數(shù)據(jù)2.整理數(shù)據(jù)3.描述數(shù)據(jù)4.分析數(shù)據(jù)5.撰寫調(diào)查報告6.交流6.平均數(shù)受極端值的影響眾數(shù)不受極端值的影響,這是一個優(yōu)勢,中位數(shù)的計算很少不受極端值的影響。
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八年級數(shù)學(xué)(下冊)知識點總結(jié)
二次根式
【知識回顧】
1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式:必須同時滿足下列條件:⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式;⑵被開方數(shù)中不含分母;⑶分母中不含根式。3.同類二次根式:
二次根式化成最簡二次根式后,若被開方數(shù)相同,則這幾個二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì):
a(a>0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa
0(a=0);
5.二次根式的運算:
a(a<0)
(1)因式的外移和內(nèi)移:如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方,那么,就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面;如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式,那么先解因式,變形為積的形式,再移因式到根號外面,反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.
(2)二次根式的加減法:先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),將被開方數(shù)相乘(除),所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式.
ab=ab(a≥0,b≥0);
bb(b≥0,a>0).a(chǎn)a(4)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,乘法交換律及結(jié)合律,乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式,都適用于二次根式的運算.
【典型例題】
1、概念與性質(zhì)例1下列各式1)11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1,53其中是二次根式的是_________(填序號).
例2、求下列二次根式中字母的取值范圍
x5(1)
例3、在根式1)
13x;(2)
a2b2;2)(x-2)2
x;3)x2xy;4)27abc,最簡二次根式是()5A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)
1y18x8x1,求代數(shù)式2例4、已知:
xy2yx2xy2的值。yx
例5、(201*龍巖)已知數(shù)a,b,若(ab)=b-a,則()
A.a>bB.a例2、比較32與23的大小。
(3)、分母有理化法
通過分母有理化,利用分子的大小來比較。例3、比較21與的大小。3121(4)、分子有理化法
通過分子有理化,利用分母的大小來比較。例4、比較1514與1413的大小。(5)、倒數(shù)法
例5、比較76與65的大小。
(6)、媒介傳遞法
適當(dāng)選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值,利用傳遞性進(jìn)行比較。例6、比較73與873的大小。(7)、作差比較法
在對兩數(shù)比較大小時,經(jīng)常運用如下性質(zhì):①ab0ab;②ab0ab例7、比較
(8)、求商比較法
它運用如下性質(zhì):當(dāng)a>0,b>0時,則:①
ab1ab;②
ab1ab
212與的大小。313例8、比較53與23的大小。5、規(guī)律性問題
例1.觀察下列各式及其驗證過程:
,驗證:
;驗證:
.(1)按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路,猜想44的變形結(jié)果,并進(jìn)行驗證;15(2)針對上述各式反映的規(guī)律,寫出用n(n≥2,且n是整數(shù))表示的等式,并給出驗證過程.
勾股定理1.勾股定理:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a+b=c。
2222.勾股定理逆定理:如果三角形三邊長a,b,c滿足a+b=c。,那么這個三角形是直角三角
222形。
3.經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。
我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題。(例:勾股定理與勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性質(zhì)
(1)、直角三角形的兩個銳角互余。可表示如下:∠C=90°∠A+∠B=90°(2)、在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半!螦=30°
可表示如下:BC=
1AB2∠C=90°(3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∠ACB=90°
可表示如下:CD=D為AB的中點
1AB=BD=AD25、攝影定理
在直角三角形中,斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項,每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項
∠ACB=90°CD2ADBD
AC2ADABCD⊥ABBC2BDAB
6、常用關(guān)系式
由三角形面積公式可得:ABCD=ACBC
7、直角三角形的判定
1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系abc,那么這個三角形是直角三角形。
2228、命題、定理、證明
1、命題的概念
判斷一件事情的語句,叫做命題。理解:命題的定義包括兩層含義:(1)命題必須是個完整的句子;
(2)這個句子必須對某件事情做出判斷。2、命題的分類(按正確、錯誤與否分)真命題(正確的命題)命題
假命題(錯誤的命題)
所謂正確的命題就是:如果題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立的命題。所謂錯誤的命題就是:如果題設(shè)成立,不能證明結(jié)論總是成立的命題。3、公理
人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題,叫做公理。4、定理用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。5、證明
判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。6、證明的一般步驟
(1)根據(jù)題意,畫出圖形。
(2)根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形,寫出已知、求證。
(3)經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程。
9、三角形中的中位線
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
(1)三角形共有三條中位線,并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。(2)要會區(qū)別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用:
位置關(guān)系:可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系:可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論:任一個三角形都有三條中位線,由此有:
結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形,其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
10數(shù)學(xué)口訣.
平方差公式:平方差公式有兩項,符號相反切記牢,首加尾乘首減尾,莫與完全公式相混淆。完全平方公式:完全平方有三項,首尾符號是同鄉(xiāng),首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首±尾括號帶平方,尾項符號隨中央。
四邊形
1.四邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)四邊形的內(nèi)角和等于360°;(2)四邊形的外角和等于360°.ADBCA4D31B2C2.多邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°;(2)任意多邊形的外角和等于360°.3.平行四邊形的性質(zhì):(1)兩組對邊分別平行;(2)兩組對邊分別相等;因為ABCD是平行四邊形(3)兩組對角分別相等;4)對角線互相平分;((5)鄰角互補(bǔ).DOCAB4.平行四邊形的判定:(1)兩組對邊分別平行(2)兩組對邊分別相等(3)兩組對角分別相等ABCD是平行四邊形.(4)一組對邊平行且相等(5)對角線互相平分DOCAB5.矩形的性質(zhì):()具有平行四邊形的所有通性;1因為ABCD是矩形(2)四個角都是直角;3)對角線相等.(DCOADBC6.矩形的判定:ABDC(1)平行四邊形一個直角(2)三個角都是直角四邊形ABCD是矩形.(3)對角線相等的平行四邊形OADBC7.菱形的性質(zhì):因為ABCD是菱形()具有平行四邊形的所有通性;1(2)四個邊都相等;3)對角線垂直且平分對角.(ADABOCBDAOC8.菱形的判定:(1)平行四邊形一組鄰邊等(2)四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形.(3)對角線垂直的平行四邊形9.正方形的性質(zhì):因為ABCD是正方形()具有平行四邊形的所有通性;1(2)四個邊都相等,四個角都是直角;3)對角線相等垂直且平分對角.(DCDCOAB(1)AB(2)(3)10.正方形的判定:(1)平行四邊形一組鄰邊等一個直角(2)菱形一個直角四邊形ABCD是正方形.(3)矩形一組鄰邊等(3)∵ABCD是矩形DC又∵AD=AB∴四邊形ABCD是正方形AB11.等腰梯形的性質(zhì):1()兩底平行,兩腰相等;因為ABCD是等腰梯形(2)同一底上的底角相等;3)對角線相等.(AOBCD12.等腰梯形的判定:(2)梯形底角相等四邊形ABCD是等腰梯形(3)梯形對角線相等(1)梯形兩腰相等DA(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC∵AC=BDO∴ABCD四邊形是等腰梯形CB14.三角形中位線定理:三角形的中位線平行第三邊,并且等于它的一半.15.梯形中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.DAECBDECFBA
一基本概念:四邊形,四邊形的內(nèi)角,四邊形的外角,多邊形,平行線間的距離,平行四邊形,
矩形,菱形,正方形,中心對稱,中心對稱圖形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位線,梯形中位線.
二定理:中心對稱的有關(guān)定理
※1.關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形.
※2.關(guān)于中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分.
※3.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點,并且被這一點平分,那么這兩個圖形關(guān)于這一點對
稱.三公式:1.S菱形=
1ab=ch.(a、b為菱形的對角線,c為菱形的邊長,h為c邊上的高)21(a+b)h=Lh.(a、b為梯形的底,h為梯形的高,L為梯形的中位線)2矩形正方形菱形2.S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊,h為a上的高)3.S梯形=四常識:
n(n3)※1.若n是多邊形的邊數(shù),則對角線條數(shù)公式是:.
22.規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等,一對相似”.
平行四邊形3.如圖:平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.
4.常見圖形中,僅是軸對稱圖形的有:角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形;僅是中心對稱圖形的有:平行四邊形;是雙對稱圖形的有:線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓.注意:線段有兩條對稱軸.
一次函數(shù)
一.常量、變量:
在一個變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量;數(shù)值始終不變的量叫做常量。二、函數(shù)的概念:
函數(shù)的定義:一般的,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),那么我們就說x是自變量,y是x的函數(shù).三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法:
(1)用整式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是全體實數(shù)。
(2)用分式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數(shù)。(3)用寄次根式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是全體實數(shù)。用偶次根式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的一切實數(shù)。
(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成,須先求出各部分的取值范圍,然后再求其公共范圍,即為自變量的取值范圍。
(5)對于與實際問題有關(guān)系的,自變量的取值范圍應(yīng)使實際問題有意義。
四、函數(shù)圖象的定義:一般的,對于一個函數(shù),如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo),那么在坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形,就是這個函數(shù)的圖象.五、用描點法畫函數(shù)的圖象的一般步驟
1、列表(表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值。)注意:列表時自變量由小到大,相差一樣,有時需對稱。2、描點:(在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點。3、連線:(按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來)。六、函數(shù)有三種表示形式:
(1)列表法(2)圖像法(3)解析式法七、正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念:
一般地,形如y=kx(k為常數(shù),且k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。一般地,形如y=kx+b(k,b為常數(shù),且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù),是一次函數(shù)的特例.八、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì):
(1)圖象:正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù),k≠0))的圖象是經(jīng)過原點的一條直線,我們稱它為直線y=kx。
(2)性質(zhì):當(dāng)k>0時,直線y=kx經(jīng)過第三,一象限,從左向右上升,即隨著x的增大y也增大;當(dāng)k概念圖像性質(zhì)如果y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0),那么y叫x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時,一次函數(shù)y=kx(k≠0)也叫正比例函數(shù).一條直線k>0時,y隨x的增大(或減小)而增大(或減小);k<0時,y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).(1)k>0,b>0圖像經(jīng)過一、二、三象限;直線y=kx+b(k(2)k>0,b<0圖像經(jīng)過一、三、四象限;≠0)的位置與(3)k>0,b=0圖像經(jīng)過一、三象限;k、b符號之間(4)k<0,b>0圖像經(jīng)過一、二、四象限;的關(guān)系.(5)k<0,b<0圖像經(jīng)過二、三、四象限;(6)k<0,b=0圖像經(jīng)過二、四象限。一次函數(shù)表達(dá)求一次函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0)時,需要由兩個點來確式的確定定;求正比例函數(shù)y=kx(k≠0)時,只需一個點即可.5.一次函數(shù)與二元一次方程組:解方程組
a1xb1yc1從“數(shù)”的角度看,自變量(x)為何值時兩個函數(shù)的值xyc2相等.并a2b2求出這個函數(shù)
a1xb1yc1值解方程組從“形”的角度看,確定兩直線交點的坐標(biāo).a2xb2yc2
數(shù)據(jù)的分析
數(shù)據(jù)的代表:平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差1.解統(tǒng)計學(xué)的幾個基本概念
總體、個體、樣本、樣本容量是統(tǒng)計學(xué)中特有的規(guī)定,準(zhǔn)確把握教材,明確所考查的對象是解決有關(guān)總體、個體、樣本、樣本容量問題的關(guān)鍵。2.平均數(shù)
當(dāng)給出的一組數(shù)據(jù),都在某一常數(shù)a上下波動時,一般選用簡化平均數(shù)公式
,其中a是取接近于這組數(shù)據(jù)平均數(shù)中比較“整”的數(shù);當(dāng)所給一組數(shù)據(jù)中有
重復(fù)多次出現(xiàn)的數(shù)據(jù),常選用加權(quán)平均數(shù)公式。3.眾數(shù)與中位數(shù)
平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的量。平均數(shù)的大小與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān),任何一個數(shù)的波動都會引起平均數(shù)的波動,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個數(shù)據(jù)太高或太低,用平均數(shù)來描述整體趨勢則不合適,用中位數(shù)或眾數(shù)則較合適。中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列有關(guān),個別數(shù)據(jù)的波動對中位數(shù)沒影響;當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時,可用眾數(shù)來描述。4.極差
用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍,用這種方法得到的差稱為極差,極差=最大值-最小值。5.方差與標(biāo)準(zhǔn)差
用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況,這個結(jié)果叫方差,計算公式是
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2];
方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量,其值越大,波動越大,也越不穩(wěn)定或不整齊。
一、選擇題
1.一組數(shù)據(jù)3,5,7,m,n的平均數(shù)是6,則m,n的平均數(shù)是()A.6B.7C.7.5D.15
2.小華的數(shù)學(xué)平時成績?yōu)?2分,期中成績?yōu)?0分,期末成績?yōu)?6分,若按3:3:4的比例計算總評成績,則小華的數(shù)學(xué)總評成績應(yīng)為()
A.92B.93C.96D.92.73.關(guān)于一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),下列說法中正確的是()A.平均數(shù)一定是這組數(shù)中的某個數(shù)B.中位數(shù)一定是這組數(shù)中的某個數(shù)C.眾數(shù)一定是這組數(shù)中的某個數(shù)D.以上說法都不對
4.某小組在一次測試中的成績?yōu)椋?6,92,84,92,85,85,86,94,92,83,則這個小組本次測試成績的中位數(shù)是()
A.85B.86C.92D.87.9
5.某人上山的平均速度為3km/h,沿原路下山的平均速度為5km/h,上山用1h,則此人上下山的平均速度為()
A.4km/hB.3.75km/hC.3.5km/hD.4.5km/h
6.在校冬季運動會上,有15名選手參加了200米預(yù)賽,取前八名進(jìn)入決賽.已知參賽選手成績各不相同,某選手要想知道自己是否進(jìn)入決賽,只需要了解自己的成績以及全部成績的()
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.以上都可以二、填空題:(每小題6分,共42分)
7.將9個數(shù)據(jù)從小到大排列后,第個數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)8.如果一組數(shù)據(jù)4,6,x,7的平均數(shù)是5,則x=.
9.已知一組數(shù)據(jù):5,3,6,5,8,6,4,11,則它的眾數(shù)是,中位數(shù)是.10.一組數(shù)據(jù)12,16,11,17,13,x的中位數(shù)是14,則x=.11.某射擊選手在10次射擊時的成績?nèi)缦卤恚涵h(huán)數(shù)78910次數(shù)2413則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,中位數(shù)是,眾數(shù)是.12.某小組10個人在一次數(shù)學(xué)小測試中,有3個人的平均成績?yōu)?6,其余7個人的平均成績?yōu)?6,則這個小組的本次測試的平均成績?yōu)?
13.為了了解某立交橋段在四月份過往車輛承載情況,連續(xù)記錄了6天的車流量(單位:千輛/日):3.2,3.4,3,2.8,3.4,7,則這個月該橋過往車輛的總數(shù)大約為輛.
第十七章反比例函數(shù)1.定義:形如y=
k11(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=kykxykxx
2.圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸:直線y=x和y=-x。對稱中心是:原點
3.性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減;當(dāng)k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。4.|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。
5.反比例函數(shù)雙曲線,待定只需一個點,正k落在一三限,x增大y在減,圖象上面任意點,矩形面積都不變,對稱軸是角分線x、y的順序可交換。
1、反比例函數(shù)的概念
k1(k是常數(shù),k0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成ykxx的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數(shù),函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。
一般地,函數(shù)y2、反比例函數(shù)的圖像
反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一、三象限,或第二、四象限,它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0,函數(shù)y0,所以,它的圖像與x軸、y軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸,但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)
反比例函數(shù)k的符號
yOxk>0
yk(k0)xk0時,函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0,y的取值范圍是y0;
②當(dāng)k4、反比例函數(shù)解析式的確定
確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)yk中,只有一個待定系數(shù),因此只需要x一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo),即可求出k的值,從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義
k(k0)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,則所得的矩形xPMON的面積S=PMPN=yxxy。
如下圖,過反比例函數(shù)yy
k,xyk,Sk。x第十七章反比例函數(shù)
1.定義:形如y=
k11(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=kykxykxx
2.圖像:反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸:直線y=x和y=-x。對稱中心是:原點
3.性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減。划(dāng)k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。4.|k|的幾何意義:表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。
第課時
第二十章數(shù)據(jù)的分析
知識點:
選用恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)知識點詳解:
一:5個基本統(tǒng)計量(平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵:
平均數(shù):把一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商。平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平,平均數(shù)分為算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)。
眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個),叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
極差:是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。巧計方法,極差=最大值-最小值。
方差:各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),記作s2.巧計方法:方差是偏差的平方的平均數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根,記作s。二教學(xué)時對五個基本統(tǒng)計量的分析:
1算術(shù)平均數(shù)不難理解易掌握。加權(quán)平均數(shù),關(guān)鍵在于理解“權(quán)”的含義,權(quán)重是一組非負(fù)數(shù),權(quán)重之和為1,當(dāng)各數(shù)據(jù)的重要程度不同時,一般采用加權(quán)平均數(shù)作為數(shù)據(jù)的代表值。
學(xué)生出現(xiàn)的問題:對“權(quán)”的意義理解不深刻,易混淆算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的計算公式。
采取的措施:弄清權(quán)的含義和算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的關(guān)系。并且提醒學(xué)生再求平均數(shù)時注意單位。
2平均數(shù)、與中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別于聯(lián)系。聯(lián)系:平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢,其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。區(qū)別:A平均數(shù)的大小與這組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系,任一數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動。B中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān),某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時,可用它來描述其集中趨勢。C眾數(shù)主要研究個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù),其大小只
與這組數(shù)據(jù)中的某些數(shù)據(jù)有關(guān),當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時,我們往往關(guān)心眾數(shù)。其中眾數(shù)的學(xué)習(xí)是重點。
學(xué)生出現(xiàn)的問題:求中位數(shù)時忘記排序。對三種數(shù)據(jù)的意義不能正確理解。采取的措施:加強(qiáng)概念的分析,多做對比練習(xí)。
3極差,方差和標(biāo)準(zhǔn)差。方差是重難點,它是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度即穩(wěn)定性的非常重要的量,離散程度小就越穩(wěn)定,離散程度大就不穩(wěn)定,也可稱為起伏大。極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差雖然都能反映數(shù)據(jù)的離散特征,但是,對兩組數(shù)據(jù)來說,極差大的那一組方差不一定大;反過來,方差大的,極差也不一定大。
學(xué)生出現(xiàn)的問題:由于方差,標(biāo)準(zhǔn)差的公式較麻煩,在應(yīng)用時常由于粗心或公式不熟導(dǎo)致錯誤。
采取的措施:注意方差是“偏差的平方的平均數(shù)”這一重要特征;蚴褂糜嬎闫饔嬎。這些數(shù)據(jù)經(jīng)常用來解決一些“選拔”、“決策”類問題。中考中常常綜合在一起考察。
14.為了培養(yǎng)學(xué)生的環(huán)保意識,某校組織課外小組對該市進(jìn)行空氣含塵調(diào)查,下面是一天中每2小
3時測得的數(shù)據(jù)(單位:g/m):0.040.030.030.040.020.030.030.050.040.010.010.03(1)求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
3(2)如果對大氣飄塵的要求為平均值不超過0.025g/m,問這天該城市的空氣是否符合要求?為什么?
15.A、B兩班在一次百科知識對抗賽中的成績統(tǒng)計如下:
分?jǐn)?shù)人數(shù)(A班)人數(shù)(B班)5031605670151280311901315100115根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下列各題:
(1)A班眾數(shù)為分,B班眾數(shù)為分,從眾數(shù)看成績較好的是班;
(2)A班中位數(shù)為分,B班中位數(shù)為分,A班中成績在中位數(shù)以上的(包括中位數(shù))學(xué)生所占的百分比是%,B班中成績在中位數(shù)以上的(包括中位數(shù))學(xué)生所占的百分比是%,從中位數(shù)看成績較好的是班;
(3)若成績在85分以上為優(yōu)秀,則A班優(yōu)秀率為%,B班優(yōu)秀率為%,從優(yōu)秀率看成績較好的是班.
(4)A班平均數(shù)為分,B班平均數(shù)為分,從平均數(shù)看成績較好的是班;16.某酒店共有6名員工,所有員工的工資如下表所示:
人員月工資(元)經(jīng)理4000會計600廚師900服務(wù)員1服務(wù)員2勤雜工500500400(1)酒店所有員工的平均月工資是多少元?
(2)平均月工資能準(zhǔn)確反映該酒店員工工資的一般水平嗎?若能,請說明理由.若不能,如何才能較準(zhǔn)確地反映該酒店員工工資的一般水平?談?wù)勀愕目捶?
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