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數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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數(shù)學(xué)新課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章三角函數(shù)(約16課時(shí))1.任意角、弧度

了角任意角的概念和弧度制,能進(jìn)行弧度與角度的互化。2.三角函數(shù)

(1)借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;(2)借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(

2,的正弦、余

弦、正切),能畫出的圖象ysinx,ycosx,ytanx,了解三角函數(shù)的周期性;

(3)借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2],正切函數(shù)在(性質(zhì)(即單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸交點(diǎn))

(4)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx(5)結(jié)合具體實(shí)例,了解yAsin(x)的實(shí)際意義;能借助計(jì)算器或計(jì)

算機(jī)畫出yAsin(x)的圖象,觀察參數(shù)A,,對(duì)函數(shù)變化的影

響;

(6)會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)

象的重要函數(shù)模型。

第二章平面向量(約12課時(shí))1.平面向量的實(shí)際背景及基本概念

通過(guò)力和力的分析等實(shí)例,了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何意義。2.向量的線性運(yùn)算

(1)通過(guò)實(shí)例,掌握向量加、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義;

(2)通過(guò)實(shí)例,掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義,以及兩個(gè)向量共

線的含義;

(3)了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義;3.平面向量的基本定理及其幾何意義

(1)了解平面向量的基本定理及其意義;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;(3)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算;(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

Page1of

4.平面向量的數(shù)量積

(1)通過(guò)物理中“功”等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;、(2)體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;

(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;

(4)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂

直關(guān)系。

5.向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

第三章三角恒等變換(約8課時(shí))

1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角關(guān)匠余弦公式的過(guò)程,進(jìn)一步體會(huì)向量方法

的作用;

2.能從兩角差的余弦公式化導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角

的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系;

3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、

半角公式,但不要求記憶)參考例題

例1海水受日月的引力,在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮,一般地早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情況下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道,靠近船塢;卸貨后落潮時(shí)返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:時(shí)刻0:003:006:00水深/米5.07.55.0時(shí)刻9:0012:0015:00水深/米2.55.07.5時(shí)刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0(1)選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,給出

整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值;

(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少

要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船何時(shí)能進(jìn)入港口?在港口能呆多久?

(3)若某船的吃水深度為4米,安全間隙為1.5米,該船在2:00開(kāi)始卸貨,

吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少,那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域?

Page2of

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數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)

第一章《三角函數(shù)》

一,任意角與弧度制

1,角的定義:一條射線繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正角,順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為負(fù)角,不作任何旋轉(zhuǎn)形成零角。2,角的象限:角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則角的終邊落在哪一個(gè)象限,這個(gè)角就稱為哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ,第二象限的角2k,2k,kZ,22332k,kZ,第四象限的角2k,22k,kZ,22第三象限的角2k,3,所有與角終邊相同的角的集合:S|2k,kZ

4,弧度制:如果半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,那么角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是弧度與角度的互化:180radlr1180rad121801rad

12r其中,r,l分別為扇形的圓心角弧25,弧長(zhǎng)公式:lr扇形的面積公式:S扇形=rl度、半徑、弧長(zhǎng)

強(qiáng)化訓(xùn)練:

1,已知角是第二象限角,試確定角2,

的終邊所在的位置22,(1)若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,則與的關(guān)系是_____________________

(2)若角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則與的關(guān)系是_____________________

3,如圖所示,試分別表示終邊落在陰影區(qū)域的角

4,若角是第四象限角,則是第_______象限角

5,在扇形中,已知半徑為8,弧長(zhǎng)為12,則圓心角是_________弧度,扇形面積是__________6,已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取多少時(shí),才能使扇形的面積最大?最大面

積為多少?

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二,任意角的三角函數(shù)1,三角函數(shù)的第一定義:設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Px,y則siny,cosx,tanyx2,三角函數(shù)的第二定義:設(shè)是一個(gè)任意角,在角的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),令OPr則sinyxy,cos,tanrrx113,三角函數(shù)線:有向線段MP,OM,AT分別為角的正弦線,余弦線,正切線,合稱三角函數(shù)線。

4,同角三角函數(shù)關(guān)系平方關(guān)系:sincos1商數(shù)關(guān)系:22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25,sina與cos,sina與cos的大小關(guān)系

角的終邊在陰影部分內(nèi),則sincos

角的終邊在陰影部分外,則sincos

角的終邊在陰影部分內(nèi),則sincos

角的終邊在陰影部分外,則sincos

強(qiáng)化訓(xùn)練

1,已知角的終邊上有一點(diǎn)P3a,4a,分別求sin,cos,tan的值2,已知cos0,tan0,試判斷角所在的象限

3,在0,2內(nèi),使sincos成立的的取值范圍是_____________4,化簡(jiǎn):12sin5cos5_____________5,已知sin1,且角為鈍角,求cos,tan的值36,已知tan2,求sin,cos的值

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7,已知tan2,求下列各式的值

1)

sin2cos222)sin3cossin2cos

3cos4sin8,已知sincos7,0,求1)sincos2)sincos3)tan54

三,三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式一:sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二:sin+-sin,cos+-cos,tan+tan公式三:sinsin,coscos,tantan公式四:sinsin,coscos,tantan公式五:sincos,cossin

22公式六:sin+cos,cos+-sin

22誘導(dǎo)公式的規(guī)律:奇變偶不變,符號(hào)看象限。

k,kZ的三角函數(shù)值可化為角的三角函數(shù)值。(當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),函數(shù)名改變;當(dāng)k2k,kZ所在象為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不變。角的函數(shù)值前面加上視為銳角時(shí),原函數(shù)值在2意思是:限內(nèi)的符號(hào)。)

強(qiáng)化訓(xùn)練:

1,求下列各三角函數(shù)的值(1)sin(945)(2)tan35331(3)3sin1200coscos585tan346的值2,(1)已知sin15,求sin233(2)已知cos3,已知

4m,求sin的值631tan322,求cos2sincos2sin2的值

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四,三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1,正弦函數(shù):ysinx的性質(zhì)

1)定義域?yàn)镽,值域?yàn)?,12)最小正周期為23)單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間4)奇偶性奇函數(shù)

5)對(duì)稱性對(duì)稱軸:直線x2,余弦函數(shù):ycosx的性質(zhì)

1)定義域?yàn)镽,值域?yàn)?,12)最小正周期為2

3)單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間2k,2k,kZ,單調(diào)減區(qū)間2k,2k,kZ4)奇偶性偶函數(shù)

5)對(duì)稱性對(duì)稱軸:直線xk,kZ,對(duì)稱中心:點(diǎn)3,正切函數(shù):ytanx,x1)定義域?yàn)閤|xR,x32k,2k,kZ,單調(diào)減區(qū)間2k,2k,kZ

22222k,kZ,對(duì)稱中心:點(diǎn)k,0,kZ

k,0,kZ22k,kZ的性質(zhì)

k,kZ,值域?yàn)镽2)最小正周期為23)單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間4)奇偶性奇函數(shù)

k,k,kZ,

22k,0,kZ215)對(duì)稱性對(duì)稱中心:點(diǎn)4,三角函數(shù)的圖像變換三種基本變換:

1)周期變換:ysinysinx0,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

。

2)相位變換:ysinysin(x),向左0或向右0平移個(gè)單位!凹幼鬁p右”3)振幅變換:ysinyAsinxA0,橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍。

ysinyAsin(x)0,A0,三個(gè)參數(shù)不同,所以要經(jīng)過(guò)三個(gè)基本變換,每一個(gè)基

本變換改變一個(gè)參數(shù)。變換的步驟一般是先進(jìn)行相位變換,再進(jìn)行周期變換,最后進(jìn)行振幅變換。

5,已知三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)yAsin(x),A0,0解析式

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由最大(最。┲登蟪鯝,由周期求出,由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出。(注意,取零點(diǎn)時(shí)要注意是第一零點(diǎn)還是第二零點(diǎn)。)

相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的間距為一個(gè)周期;相鄰的兩個(gè)最值點(diǎn)的間距為半個(gè)周期;相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的間距為半個(gè)周期;最高點(diǎn)和與之相鄰的對(duì)稱中心的間距為四分之一個(gè)周期

強(qiáng)化訓(xùn)練:

1,函數(shù)y2sin(1x)的周期,振幅,初相分別是_______,________,_______242,函數(shù)ycos(2xA.x2)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是()

2B.x4C.x8D.x

3,要得到函數(shù)y=sin(2x-

)的圖象,只要將函數(shù)y=sin2x的圖象()3A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位

36C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位

365,,則值域是()664,若函數(shù)ycos2x2sinx的定義域?yàn)閤A.,2B.2,2C.5,函數(shù)ycos(6,函數(shù)y177,D.2,444x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定義域?yàn)開(kāi)_________________7,如圖是函數(shù)yAsin(x)(A0,0,2)的圖象的

6x一部分。則函數(shù)的解析式是___________

18,函數(shù)y2sin(x)由y=sinx(xR)的圖象怎樣變換得到的?

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第二章《平面向量》

一,向量的基本概念

1,向量的定義:既有大小又有方向的量,叫做向量。2,向量的表示:

1)字母表示:a,AB

2)幾何表示:可以用有向線段表示向量,但有向線段不是向量。3,向量的基本概念

1)模:向量的大小,也就是向量的長(zhǎng)度,也稱為模,記作a

2)零向量:長(zhǎng)度為0的向量3)單位向量:長(zhǎng)度為1的向量

4)共線向量:方向相同或相反的非零向量為共線向量,也稱平行向量,記作a//b。

5)相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量稱為相等向量。6)相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為相反向量。

強(qiáng)化訓(xùn)練

1,下列說(shuō)法正確的是()

(A)長(zhǎng)度相等的向量就是相等向量(B)共線向量就是在一條直線上的向量(C)零向量的長(zhǎng)度是0(D)方向相同或相反的向量是平行向量

A2,如圖,三角形ABC的三邊均不相等,E,F(xiàn),D分別為AC,AB,BC的中點(diǎn)

1)寫出EF與共線的向量2)寫出所有與EF模相等的向量

FEBD二,平面的線性運(yùn)算1,向量的加法1)加法法則

(1)平行四邊形法則:共起點(diǎn)(2)三角形法則:首尾相連

CCD

BABACABACADABBCAC

2)相關(guān)結(jié)論

(1)ababab(2)abba(3)abcabc

2,向量的減法

減法法則三角形法則:共起點(diǎn)。

CABACCB

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AB數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)

3,數(shù)乘運(yùn)算

1)定義:規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記做a。

長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下:(1)aa(2)當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相反

2)相關(guān)結(jié)論:

(1)aa(2)aaa(3)abab

(4)00

3)向量共線定理:a為非零向量,則a//bba(為唯一確定的實(shí)數(shù))

4)三點(diǎn)共線問(wèn)題:若A、B、C三點(diǎn)共線AB//AC或AB//BC

推論:若OAmOBnOC,則A、B、C三點(diǎn)共線mn1

強(qiáng)化訓(xùn)練:

1,在平行四邊形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,則下列運(yùn)算正確的是()

(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0

2,化簡(jiǎn)下列各式,結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè)

1)ABBCCA2)ABACBDCD3)OAODAD4)NQQPMNMP

DFCEA3,如圖,已知平行四邊形ABCD的邊BC,CD的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),且AEa,AFb,試用a,b表示BC,CD

B4,設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),BCBA2BP,則()

(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC0

15,在三角形ABC中,已知D是AB邊上的一點(diǎn),若AD2DB,CDCACB,則_____

36,已知兩非零向量a,b,設(shè)OAab,OBa2b,OCa3b,判斷A,B,C的位置關(guān)系

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三,平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1,平面向量基本定理

1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意

向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使ae1e2

2)基底:不共線的兩個(gè)向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

兩個(gè)向量成為基底的唯一限制是不共線。任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為平面的基底。3)向量共線定理的推論:

若a1e11e2,b2e12e2,則a//b1221(交叉相乘,積相等)4)向量的夾角:作OAa,OBb,則AOB叫做向量a與b的夾角。

顯然0,180,當(dāng)0時(shí),a,b同向;當(dāng)180時(shí),a,b反向,當(dāng)90時(shí),稱a,

b垂直,記作ab。

2,平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1)正交分解:把一個(gè)向量分解成兩個(gè)相互垂直的兩個(gè)向量,叫做平面向量的正交分解。

2)坐標(biāo)表示:取分別與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向

量a,則axiyj。我們將有序數(shù)對(duì)x,y叫做向量a的坐標(biāo),記作a=x,y。

3)向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若a=x1,y1,b=x2,y2,則

abx1x2,y1y2,abx1x2,y1y2,ax1,y1

4)向量平行的坐標(biāo)表示

若a=x1,y1,b=x2,y2,則a//bx1y2x2y10

強(qiáng)化訓(xùn)練

1,設(shè)e1,e2為兩個(gè)不共線的向量,若ae1e2與b(2e13e2)共線,則_____

2,在三角形ABC中,設(shè)ABa,ACb,點(diǎn)D在線段BC上,且BD3DC,則把AD用a,b表示為。

3,ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)為A(a,b),B(-b,a),C(0,0),則它的第4個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是____________4,已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAPBPCAB,則點(diǎn)P與ΔABC的關(guān)系是:()

A、P在ΔABC內(nèi)部B、P在ΔABC外部

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12-數(shù)學(xué)必修4知識(shí)小結(jié)

C、P在直線AB上D、P在ΔABC的AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)上5,兩點(diǎn)P(4,-9),Q(-2,3),y軸與直線PQ交于M且PMMQ則為_(kāi)__________

6,如圖,直線PQ經(jīng)過(guò)ΔABC的重心G,分別與AB,AC交于P,Q兩點(diǎn),A11設(shè)APmAB,AQnAC,則_____

mn7,如圖,ΔABC中,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),試用

PQGBCAAB,AC表示CE

B8,若向量a(1,2),b(x,1),,當(dāng)a2b與2ab平行時(shí),則x=______

DEC9,如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是BC,DC的

中點(diǎn),G為BF,DE的交點(diǎn),若ABa,ADb,試以DFCa,b表示DE,BF,CG

四,平面向量的數(shù)量積

AGEBb,1,數(shù)量積的定義:兩個(gè)非零向量a,b,我們把數(shù)量abcos叫做向量a與b的數(shù)量積,記作a其中是向量a,b的夾角。特別地,我們把a(bǔ)cos叫做a在b方向上的投影。

b等于a的長(zhǎng)度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。2,數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a3,運(yùn)算律:

b=ab3)abc=acbcb=ba2)ab=a1)a4,相關(guān)結(jié)論:

22a02)abab03)aa4)abab1)05)ab22222a2abb6)ababab

5,數(shù)量積的坐標(biāo)表示:

若a=x1,y1,b=x2,y2,則abx1x2y1y2

6,坐標(biāo)運(yùn)算的相關(guān)結(jié)論

221)若a=x,y,則axy2)若a=x1,y1,b=x2,y2,則abx1x2y1y20

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ab3)cosabx1x2y1y2xy2121x2y222

7,向量與三角形的“四心”

已知點(diǎn)P是三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn),

1)若PAPBPC0,則點(diǎn)P是三角形ABC的重心;

2)若PAPBPBPCPCPA,則點(diǎn)P是三角形ABC的垂心;

2223)若PAPBPC,則點(diǎn)P是三角形ABC的外心;;

4)令A(yù)Bc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0,則點(diǎn)P是三角形ABC的內(nèi)心。

強(qiáng)化訓(xùn)練

121,若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是23,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CMCBCA,則MAMB_____。

63,b2,ab7,則a與b的夾角的余弦值為_(kāi)________________2,若a13,a(2,1),b(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為_(kāi)__________________4,若向量a(1,2),b(x,1),當(dāng)a2b與2ab垂直時(shí),求x.5,已知ab2,8,ab8,16,求ab及a與b的夾角的余弦。

6,已知||a4,|b|3,(2a-3b)(2ab)61,

(1)求ab的值;(2)求a與b的夾角;(3)求ab的值.

7,設(shè)a、b是兩個(gè)不共線的單位向量,且a與b夾角為120,那么實(shí)數(shù)x為何值時(shí)|axb|的值最

。

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第三章三角恒等變換

一,兩角和與差的公式

和角公式:sinsincoscossin

coscoscossinsin

tantantan

1tantan差角公式:sinsincoscossin

coscoscossinsin

tantantan

1tantana2b2sinx(tanb,且的象限由a,b的符號(hào)確定)aasinxbcosx輔助角公式:

二,二倍角的正弦、余弦、正切公式

二倍角公式:sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan

1tan21cos21cos222降冪公式:sin,cos

22tan2

強(qiáng)化訓(xùn)練

1,若cos(1),,,則cos________33362,化簡(jiǎn):1sin6___________

11,sincos,則sin()________323123,sin,則cos2=___________4,已知,且cos241353,已知cossin5,在三角形ABC中,A6,已知cos4,cosB10,則sinC_________10113,cos,且0,(1)求tan2的值;(2)求7142武漢市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)組

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7,已知向量acosx3,sinx,bcosx,sinx3,fxa求函數(shù)fx的b,x2,3,

單調(diào)增區(qū)間。8,已知函數(shù)fx131cos2xsinxcosx,xR,該函數(shù)的圖象可由ysinxxR的圖224象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?

9,求函數(shù)fx2sinxcosxsinxcosx2的最大(最。┲.

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12-

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