初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)歸納

學(xué)大教育

初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊的知識點(diǎn)總結(jié)與歸類學(xué)習(xí)方法

初中數(shù)學(xué)知識大綱中，函數(shù)知識占了很大的知識體系比例，學(xué)好了函數(shù)，掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，真正精通了函數(shù)的每一個模塊知識，會做每一類函數(shù)題型，就讀于中考中數(shù)學(xué)成功了一大半，數(shù)學(xué)成績自然上高峰，同時，函數(shù)的思想是學(xué)好其他理科類學(xué)科的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)從性質(zhì)上分，可以分為：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)，下面介紹各類函數(shù)的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)圖象及函數(shù)應(yīng)用思維方式方法。

一、一次函數(shù)

1.定義：在定義中應(yīng)注意的問題y＝kx＋b中，k、b為常數(shù)，且k≠0，x的指數(shù)一定為1。2.圖象及其性質(zhì)（1）形狀、直線

k0時，y隨x的增大而增大，直線一定過一、三象限（2）

k0時，y隨x的增大而減小，直線一定過二、四象限（3）若直線l1：yk1xb1l2：yk2xb2

當(dāng)k1k2時，l1//l2；當(dāng)b1b2b時，l1與l2交于(0，b)點(diǎn)。

（4）當(dāng)b>0時直線與y軸交于原點(diǎn)上方；當(dāng)b學(xué)大教育

(1)是中心對稱圖形，對中稱心是原點(diǎn)（2）對稱性：是軸直線yx和yx(2)是軸對稱圖形，對稱k0時兩支曲線分別位于一、三象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而減�。�3）

k0時兩支曲線分別位于二、四象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大（4）過圖象上任一點(diǎn)作x軸與y軸的垂線與坐標(biāo)軸構(gòu)成的矩形面積為|k|。

P（1）應(yīng)用在u3.應(yīng)用（2）應(yīng)用在（3）其它F上SS上t其要點(diǎn)是會進(jìn)行“數(shù)結(jié)形合”來解決問題二、二次函數(shù)

1.定義：應(yīng)注意的問題

（1）在表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c中（a、b、c為常數(shù)且a≠0）（2）二次項指數(shù)一定為22.圖象：拋物線

3.圖象的性質(zhì)：分五種情況可用表格來說明表達(dá)式(1)y=ax2頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸(0，0)最大（�。┲祔最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直線x=hy最小=0y最大=0y隨x的變化情況隨x增大而增大隨x增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小直線x=0(y軸)①若a>0，則x=0時，若a>0，則x>0時，y②若a0，則x=0時，①若a>0，則x>0時，y②若a0，則x=h時，①若a>0，則x>h時，y②若a學(xué)大教育

表達(dá)式h)2+k頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸直線x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay隨x的變化情況隨x的增大而增大隨x的增大而減小b2a時，①若a>0，則x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，則x=h時，①若a>0，則x>h時，y②若a0，則x=4acb24ay最小=4acb24ab時，y隨x的增大而增大時，②若a2a2a時，y隨x的增大而減小b②若a學(xué)大教育

一次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1．正比例函數(shù)的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函數(shù)的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函數(shù)ykxb的圖象是經(jīng)過（3.一次函數(shù)ykxb的圖象與性質(zhì)

圖像的大致位置經(jīng)過象限第象限第象限第象限第象限y隨x的增大y隨x的增大而y隨x的增大y隨x的增大性質(zhì)而而而而

【思想方法】數(shù)形結(jié)合

k、b的符號k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）兩點(diǎn)的一條直線.k反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1．反比例函數(shù)：一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y＝或（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)．2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

k的符號k＞0yoxk＜0yox

圖像的大致位置經(jīng)過象限性質(zhì)

第象限在每一象限內(nèi),y隨x的增大而第象限在每一象限內(nèi),y隨x的增大而3．k的幾何含義：反比例函數(shù)y＝的幾何意義，即過雙曲線y＝

k(k≠0)中比例系數(shù)kxk(k≠0)上任意一點(diǎn)P作x4

x軸、y軸垂線，設(shè)垂足分別為A、B，則所得矩形OAPB

函數(shù)學(xué)習(xí)方法學(xué)大教育

的面積為.

【思想方法】數(shù)形結(jié)合

二次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1.二次函數(shù)ya(xh)2k的圖像和性質(zhì)

圖象開口對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值增減性

在對稱軸左側(cè)在對稱軸右側(cè)當(dāng)x＝時，y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而a＞0yOa＜0x當(dāng)x＝時，y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而銳角三角函數(shù)

【思想方法】

1.常用解題方法設(shè)k法2.常用基本圖形雙直角

【例題精講】例題1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=

14，則tanB=______;（2）若cosA=，則tanB=______．255

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例題2.（1）已知：cosα=

23，則銳角α的取值范圍是（）A．0°

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初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊知識點(diǎn)歸納

一、一次函數(shù)：

一次函數(shù)ykxb（1）關(guān)于x軸對稱的圖像的解析式為：ykxb（2）關(guān)于y軸對稱，則直線的解析式為ykxb

1bxkk1b（4）關(guān)于直線yx對稱，則直線的解析式為yx

kk（3）關(guān)于直線y＝x對稱，則直線的解析式為y（5）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則直線的解析式為ykxb

（6）直線yk1xa與直線yk2xb互相垂直，則有k1k21

函數(shù)圖象：

1）正比例函數(shù)y＝kx的圖象是過原點(diǎn)（0，0）與點(diǎn)（1，k）的一條直線；一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是過（0，b）平行于y＝kx的一條直線。

理解常數(shù)k的幾何意義是表示圖象與x軸傾斜的程度，一次函數(shù)的圖像中，k的絕對值越大,直線離橫軸就越遠(yuǎn)，越靠近縱軸，與橫軸的夾角越大。b表示圖象在y軸上的截距．（b也表示直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)）。

2）兩個函數(shù)當(dāng)k相同，表示兩條直線平行，當(dāng)兩個函數(shù)的b相同（k不相同）表示兩條直線與y軸交于同一點(diǎn)）直線y＝kx，y＝kx＋b所在位置與k、b的符號有直接的關(guān)系。k＞0，直線必過一、三象限；k＜0，直線必過二、四象限。

b＞0，直線與y軸正半軸相交；b＝0，直線過原點(diǎn)；b＜0，直線與y軸負(fù)半軸相交。直線y＝kx＋b（k≠0）的位置與k、b符號的示意圖如下：

注意：一次函數(shù)圖象是直線，所以可稱直線y＝kx＋b．直線y＝kx＋b均可由直線y＝kx平移而得。4.函數(shù)性質(zhì)：k＞0時y隨x增大而增大；k＜0時y隨x增大而減小。5.凡是一次函數(shù)均可設(shè)為y＝kx＋b（k≠0），這兒的k、b是待定系數(shù)。由已知條件列待定系數(shù)的方程、方程組，可解出k、b的值。

6.要理解兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是這兩條直線解析式組成的方程組的解。

了解一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是令y＝0，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是令x＝0，求解得出交點(diǎn)的坐標(biāo)。7.點(diǎn)在函數(shù)圖像上，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足該函數(shù)關(guān)系式，即把坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式后兩邊相等；反之，若一個點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式，則這個點(diǎn)必在函數(shù)圖像上。8、兩直線的位置關(guān)系

若直線L1和L2的解析式分別為yk1xb1和yk2xb2，則它們的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1）當(dāng)k1k2時，直線L1和L2相交（兩直線有且只有一個交點(diǎn)）（2）當(dāng)k1k2，且b1b2時，直線L1和L2平行（兩直線沒有交點(diǎn)）（3）當(dāng)k1k2，且b1b2時，直線L1和L2重合（兩直線有無數(shù)個交點(diǎn)）注意：在（1）中，可通過解方程組二、二次函數(shù)：

1、拋物線yax2bxc①關(guān)于x軸對稱的圖像的解析式為：yax2bxc②關(guān)于y軸對稱的圖像的解析式為：yax2bxc③關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像的解析式為：yax2bxc

拋物線yax2bxc的圖像恒在x軸上方的條件是：a0,0，圖像恒在x軸下方的條件是：

yk1xb1。求出交點(diǎn)坐標(biāo)。

yk2xb2a0,0

a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a

當(dāng)圖像的開口向上時，函數(shù)有最小值；當(dāng)圖像的開口向下時，函數(shù)有最大值，其對應(yīng)的數(shù)值可用

b4acb2,)，一般來說，拋物線頂點(diǎn)的縱頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來表示，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為(2a4a坐標(biāo)就是函數(shù)的最大（或最�。┲�。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)。常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由

b24ac決定，Δ＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。Δ=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。Δ

＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)yax2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)yax2k

5、abc的符號，看x1時，對應(yīng)點(diǎn)的位置；abc的符號，看x1時，對應(yīng)點(diǎn)的位置。

2yaxbxc(a0)與y軸的交點(diǎn)為（0，c）。6、拋物線

三、反比例函數(shù)：反比例函數(shù)解析式為yk反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在x反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為k。

當(dāng)K＞0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)（即y隨x的增大而減小）當(dāng)K＜0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)（即y隨x的增大而增大）.對于雙曲線ykk，若在分母上加減任意一個實數(shù)(即y（x±m(xù)）m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲xx線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移）

注意：雙曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)k的絕對值越大；雙曲線離原點(diǎn)越近k的絕對值越小

反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，就是兩個函數(shù)解析式聯(lián)立方程組的解，聯(lián)

立后方程組可轉(zhuǎn)化成一元二次方程，通過解方程求解，如果0，則兩個圖像沒有交點(diǎn)，如果

0，則兩個圖像有兩個交點(diǎn)。

反比例函數(shù)專項訓(xùn)練一、選擇題：1.反比例函數(shù)y6的圖象位于（）xA．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D(zhuǎn)．第一、二象限2.已知反比例函數(shù)

y=a(a≠0)的圖象，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減少，則一次函數(shù)

xy=-ax+a的圖象不經(jīng)過（）．．．

Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限

3.已知反比例函數(shù)y=

2，下列結(jié)論中，不正確的是（）．．．xA．圖象必經(jīng)過點(diǎn)(1，2)B．y隨x的增大而減少C．圖象在第一、三象限內(nèi)4.若反比例函數(shù)yA.-1

D．若x1，則y2

k1的圖象在其每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,則k的值可以是()xB.3

C.0

D.-3

5.反比例函數(shù)yk(k＞0)的部分圖象如圖所示，A、B是圖象上兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸x于點(diǎn)D，若△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2，則S1和S2的大小關(guān)系為（）A．S1＞S2B。S1=S2C。S1＜S2D。無法確定

k26.對于反比例函數(shù)y(k0)，下列說法不正確的是()

xA.它的圖象分布在第一、三象限B.點(diǎn)（k，k）在它的圖象上C.它的圖象是中心對稱圖形D.

y隨x的增大而增大

7.在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度

也會隨之改變，密度（單位：kg/m3）是體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)，它的圖象如圖3所示，當(dāng)V10m時，氣體的密度是（）A．5kg/m3

AA

Oｘ

B

8題圖8.如圖,一次函數(shù)ｙ1=ｘ－1與反比例函數(shù)ｙ2=

的ｘ的取值范圍是（）

A.ｘ＞2B.ｘ＞2或－1＜ｘ＜0C.－1＜ｘ＜2D.ｘ＞2或ｘ＜－19.函數(shù)y

3

B．2kg/m3C．100kg/m3

D，1kg/m3ｙ2的圖像交于點(diǎn)A(2,1),B(－1,－2),則使ｙ1＞ｙ2x1k的圖象與直線yx沒有交點(diǎn)，那么k的取值范圍是()x

A、k1B、k1C、k1D、k110.若A(a，b)，B(a2，c)兩點(diǎn)均在函數(shù)y

A．bc

B．bc

1

的圖象上，且a0，則b與c的大小關(guān)系為（）x

D．無法判斷

C．bc

二、填空題：

1.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，2）和（2，3）則m的值為．2.如圖：若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y則k．

3.如圖，在反比例函數(shù)y

O

123題圖

k(k0)的圖象上，AMx軸于點(diǎn)M，△AMO的面積為3，xy

yP1

2xP2

P3

P44

x32

（x0）的圖象上，有點(diǎn)P2，，P2，P13，P4，它們的橫坐標(biāo)依次為1，x

3，4．分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為

S1，S2，S3，則S1S2S3．

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y

k

，2)，B(m，n)，（x0，常數(shù)k0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1x

（m1），過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為C．若△ABC的面積為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

yA(1，2)

B(m，n)CxO

（4題圖）

5題圖5.兩個反比例函數(shù)yykxy1xkk1和y在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在y的圖象上，PC⊥xxxxk11軸于點(diǎn)C，交y的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交y的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在y的

xxx圖象上運(yùn)動時，以下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)．其中一定正確的是

6.如圖，一次函數(shù)y1x2的圖象分別交x軸、y軸于A、B，P為AB上一點(diǎn)且PC為△AOB2k3的中位線，PC的延長線交反比例函數(shù)y(k0)的圖象于Q，SOQC，則k的值和Q點(diǎn)

x2的坐標(biāo)分別為_________________________.

yyAOMQOBCPAxPN8題圖

yx(6題圖)O10題圖

x7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線yx向上平移1個單位長度得到直線l．直線l與反比例函數(shù)

yk

的圖象的一個交點(diǎn)為A(a，2)，則k的值等于．x

8.如圖，半徑為5的⊙P與軸交于點(diǎn)M（0，－4），N（0，－10），函數(shù)y則k＝．

k(x0)的圖像過點(diǎn)P，x1的圖象上，則當(dāng)x1、x2滿足______時，y1＞y2.2x10.反比例函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象如圖所示，它們的解析式可能分別

是（）．9.若A(x1，y1)、B(x2，y2)在函數(shù)ykk,ykx2x(B)y,ykx2xxxkk22（C）y,ykxx（D）y,ykxx

xx（A）y三、解答題：

1.若一次函數(shù)y＝2x－1和反比例函數(shù)y＝

k的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；2x（2）已知點(diǎn)A在第三象限，且同時在兩個函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）利用（2）的結(jié)果，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且以點(diǎn)A、O、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2.如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)圖象相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，OB5．且點(diǎn)B橫坐標(biāo)是點(diǎn)B縱坐標(biāo)的2倍．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為m，△ABO面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．

二次函數(shù)訓(xùn)練題

一、選擇題(每題3分，共15分)1、拋物線yBOyAx

12x6x21的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）2A（6,3）B（6,3）C(6,3)D（6,3）2、過（1,0）、（3,0）、（1,2）三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)是（）

A（1,2）B（1,142）C（1,5）D（2,）

333、在函數(shù)yx,y1,yx21,y(x1)2中，其圖象是軸對稱圖形并且對稱軸是坐標(biāo)軸x的共有（）

A4個B3個C2個D1個

24、已知函數(shù)yaxb的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，那么yaxbx1的圖象大致為圖中的

（）

5、無論m為任何實數(shù)，二次函數(shù)yx2(2m)xm的圖象總過的點(diǎn)是（）A（1,3）B（1,0）C（1,3）D（1,0）二、填空題（每題3分。共15分）

6、若點(diǎn)P（1,a）和Q（1,b）都在拋物線yx21的上，則線段PQ的長是7、函數(shù)yax2ax3x1的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，那么a的值和交點(diǎn)坐標(biāo)分別為8、直線yx2與拋物線yx22x的交點(diǎn)坐標(biāo)為

9、已知拋物線的對稱軸是x1，它與x軸交點(diǎn)間的距離等于4，它在y軸上的截距是6，則它的解析式是10、一次函數(shù)y5xb與二次函數(shù)yx23x5的圖象只有一個交點(diǎn)，則b的值為三、解答題（每題10分，共30分）

11、已知拋物線y2x23xm（m為常數(shù)）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的長為

求m的值；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)為P，求ABP的面積

12、已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,0)，B（m,0），且經(jīng)過第四象限內(nèi)的點(diǎn)C（1,n），

而mn1,mn12，求此拋物線的解析式。

213、已知拋物線yaxbxc，其頂點(diǎn)在x軸上方，它與y軸交于點(diǎn)A及點(diǎn)B(6,0)，又已知

1，（1）2方程axbxc0的兩根的平方和等于40，（1）求拋物線的解析式；（2）試問：在此拋物線上是否存在一點(diǎn)P，在x軸上方，且使SPABSCAB。如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。

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