九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_北師大版 2
北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總第一章證明(二)
bb24ac(注意在(xm)0的形式>②公式法x2a2找abc時(shí)須先把方程化為一般形式)③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解!妊切蔚摹叭合一”:頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
※等邊三角形是特殊的等腰三角形,作一條等邊三角形的三線合一線,將等邊三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形,其中一個(gè)銳角等于30,這它所對(duì)的直角邊必然等于斜邊的一半。
※有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。
※如果知道一個(gè)三角形為直角三角形首先要想的定理有:①勾股定理:a2b2c2(注意區(qū)分斜邊與直角邊)②在直角三角形中,如有一個(gè)內(nèi)角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半(此定理將在第三章出現(xiàn))
※垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。
※線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等!段垂直平分線逆定理:到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。
※三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn),并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。(如圖1所示,AO=BO=CO)
AADFOOCCB圖1BE圖2
※角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
※角平分線逆定理:在角內(nèi)部的,如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等,則它在該角的平分線上。
角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。
※三角形三條角平分線交于一點(diǎn),并且交點(diǎn)到三邊距離相等,交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。(如圖2所示,OD=OE=OF)
第二章一元二次方程
※只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程,且都可以化為ax2bxc0(a、b、c為常數(shù),a≠0)的形式,這樣的方程叫一元二次方程。
※把a(bǔ)x2bxc0(a、b、c為常數(shù),a≠0)稱為一元二次方程的一般形式,a為二次項(xiàng)系數(shù);b為一次項(xiàng)系數(shù);c為常數(shù)項(xiàng)。
※解一元二次方程的方法:①配方法0時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)
根;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2
-4ac
角線互相平分。
※平行四邊形的判別方法:
1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
一個(gè)內(nèi)角為直菱形一組鄰邊相(或?qū)蔷相一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為正方形相垂直平(或?qū)蔷互平行四邊一鄰邊相等※平行線之間的距離:若兩條直線互相平行,則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等。這個(gè)距離稱為平行線之間的距離。
菱形的定義:一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
※菱形的性質(zhì):具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱圖形,每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。※菱形的判別方法:
1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。
※矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。
※矩形的性質(zhì):具有平行四邊形的性質(zhì),且對(duì)角線相等,四個(gè)角都是直角。(矩形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸)※矩形的判定:
1.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。
※推論:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義:一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性質(zhì):正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。(正方形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸)※正方形常用的判定:
1.有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形;鄰邊相等的矩形是正方形;3.對(duì)角線相等的菱形是正方形;對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3):※梯形定義:一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。
※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形!妊菪蔚男再|(zhì):等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等,對(duì)角線相等。
同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半!鶌A在兩條平行線間的平行線段相等。
※在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半
用心愛(ài)心一內(nèi)角為直矩形或?qū)蔷垂第四章圖視圖與投影3
※三視圖包括:主視圖、俯視圖和左視圖。
三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等。一般地,俯視圖要畫(huà)在主視圖的下方,左視圖要畫(huà)在正視圖的右邊。主視圖:基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象.俯視圖:基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象
左視圖:基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象.
※視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面),而相連的兩個(gè)閉合線框一定不在一個(gè)平面上!谝粋(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框,一定是平面體(或曲面體)上凸出或凹的各個(gè)小的平面體(或曲面體)!诋(huà)視圖時(shí),看得見(jiàn)的部分的輪廓線通常畫(huà)成實(shí)線,看不見(jiàn)的部分輪廓線通常畫(huà)成虛線。
物體在光線的照射下,會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子,這就是投影。
太陽(yáng)光線可以看成平行的光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。
探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的,像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。
※區(qū)分平行投影和中心投影:①觀察光源;②觀察影子。眼睛的位置稱為視點(diǎn);由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線;眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。
※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影,是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。
①點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn);②線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況:
1.線段垂直于投影面時(shí),投影為一點(diǎn);2.線段平行于投影面時(shí),投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度;3.線段傾斜于投影面時(shí),投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。
③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況:
1.平面圖形和投影面平行的情況下,其投影為實(shí)際形狀;2.平面圖形和投影面垂直的情況下,其投影為一線段;3.平面圖形和投影面傾斜的情況下,其投影小于實(shí)際的形狀。
專心2
2.3.2.3.2.4.
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九(上)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)答案
第一章證明(一)
1、你能證明它嗎?
(1)三角形全等的性質(zhì)及判定
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角也相等判定:SSS、SAS、ASA、AAS、
(2)等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論
性質(zhì):等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角)
判定:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊)
推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(即“三線合一”)(3)等邊三角形的性質(zhì)及判定定理
性質(zhì)定理:等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于60度;等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì);等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,有3條對(duì)稱軸。
判定定理:有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。或者三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。
(4)含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)
定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30度,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形
(1)勾股定理及其逆定理
定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形。(2)命題包括已知和結(jié)論兩部分;逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換;正確的逆命題就是逆定理。
(3)直角三角形全等的判定定理
定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)3、線段的垂直平分線
(1)線段垂直平分線的性質(zhì)及判定
性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
判定:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。(2)三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)
三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。
(3)如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線
分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心,以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)M、N;作直線MN,則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線
(1)角平分線的性質(zhì)及判定定理
性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等;
判定:在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上。(2)三角形三條角平分線的性質(zhì)定理
性質(zhì):三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。(3)如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線
第二章一元二次方程
1、花邊有多寬
(1)整式方程及一元二次方程的概念
整式方程:方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式;
一元二次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式。
(2)一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義
2一般式:ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0),其中,a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)。
2、配方法
(1)直接開(kāi)平方法的定義
利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫直接開(kāi)平方法。(2)配方法的步驟和方法
一、移項(xiàng),把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊;二、配,方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方,把原方程化為(x+m)2=n(n≥0)的形式;三、直接用開(kāi)平方法求出它的解。3、公式法
(1)求根公式b-4ac≥0時(shí),x=
22bb4ac2a2
(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義
一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0);二、計(jì)算b2-4ac的值,當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根,否則方程無(wú)實(shí)數(shù)根;三、代入求根公式,求出方程的根;四、寫出方程的兩個(gè)根。4、分解因式法
(1)分解因式的概念
當(dāng)一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí),根據(jù)ab=0,那么a=0或b=0,這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。(2)分解因式法解一元二次方程的一般步驟
一、將方程右邊化為零;二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積;三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0,得到兩個(gè)一元二次方程;四、解這兩個(gè)一元二次方程,它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618(1)什么叫黃金比
線段AB上一點(diǎn)C分線段AB成兩條線段AC,BC,若黃金分割點(diǎn),其中
ACABACAB=
BCAC,則C點(diǎn)叫線段AB的
叫黃金比,其值為0.618。
(2)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟
一、審題;二、設(shè)求知數(shù);三、列代數(shù)式;四、列方程;五、解方程;六、檢驗(yàn);七、答
第三章證明(三)
1、平行四邊行
(1)平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形
性質(zhì):平行四邊形的對(duì)邊分別平行;平行四邊形的對(duì)邊分別相等;平行四邊形的對(duì)角分別相等;平行四邊形的對(duì)角線互相平分。判定:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊行。(2)等腰梯形的性質(zhì)及判定
性質(zhì):等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等;等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。
判定:同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形;對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。(3)三角形中位線定義及性質(zhì)
定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì):三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形
(1)矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定
第四章視圖與投影
1、視圖
(1)三視圖的種類及三種視圖之間的關(guān)系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖;三種視圖間的關(guān)系:主、俯長(zhǎng)對(duì)正;主、左高平齊;俯、左寬相等;(2)會(huì)畫(huà)圓柱、圓錐、球的三視圖
2、太陽(yáng)光與影子
(1)投影與平行投影的含義、平行投影的性質(zhì)
一般地,用光線照射物體,在某個(gè)平面上得到的影子叫做投影;由平行光線形成的投影是平行投影。
平行投影的性質(zhì):物體上的點(diǎn)以及影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行;當(dāng)物體與投影面平行時(shí),所形成的影子與物體全等;同一時(shí)刻,在平行光線下,互相平行的物體的高度與影子長(zhǎng)度的比值相等。
(2)物體影長(zhǎng)的變化規(guī)律,會(huì)將影長(zhǎng)與相似結(jié)合起來(lái)進(jìn)行計(jì)算
在太陽(yáng)光的照射下,不同時(shí)刻,物體影子的長(zhǎng)短也不一樣,早晚影子長(zhǎng),中午影子短。(3)平行投影與視圖之間的關(guān)系
視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線下的投影。3、燈光與影子
(1)中心投影的概念及應(yīng)用,區(qū)別平行投影與中心投影從一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影稱為中心投影。(2)視點(diǎn)、視線與盲區(qū)的概念
眼睛的位置稱為視點(diǎn);由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線;眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。
第五章反比例函數(shù)
1、反比例函數(shù)
(1)反比例函數(shù)的概念
一般地,如果兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為0。(2)掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法
將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。
kx的形式,那么稱y是x的反比例2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)反比例函數(shù)圖象的畫(huà)法
一般采用描點(diǎn)法:先列表,再描點(diǎn),再連線。
(2)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì),其表達(dá)式與圖象的關(guān)系,函數(shù)值大小的比較(表5-1)3、反比例函數(shù)的應(yīng)用
(1)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路
1、根據(jù)問(wèn)題情境,設(shè)出所求的反比例函數(shù)表達(dá)式;
2、由問(wèn)題中的已知數(shù)據(jù),代入所求表達(dá)式,列出方程(或方程組),求出方程的解,確定出待定系數(shù)的值,從而確定函數(shù)表達(dá)式;3、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,去解決實(shí)際問(wèn)題。
(2)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別及綜合應(yīng)用(表5-1)
表5-1
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