大一高數(shù)(下)期末考試總結(jié),期末考試必備

河北科技大學(xué)201*級(jí)高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試題1

一、填空題（共15分）

1.(5分)微分方程y3y2y0的通解為.2.(5分)設(shè)D是平面區(qū)域|x|2,|y|1,則x(xy)d.

D3.(5分)設(shè)zf(exy),其中f可微,則dz二、選擇題（共15分）

.1.(5分)若anxn在x2處收斂，則此級(jí)數(shù)在x1處().

n1(A)條件收斂;(B)絕對(duì)收斂;(C)發(fā)散;(D)收斂性不確定.

2.(5分)limun0是級(jí)數(shù)un收斂的().

nn1(A)充分條件;(B)必要條件;

(C)充分必要條件;(D)既不充分也不必要的條件.

3.(5分)已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐標(biāo)面上是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,則a=().

(A)0;(B)2;(C)1;(D)2;三、解答題（共56分）

1.（7分）已知曲線(xiàn)xt,yt2,zt3上P點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于

平面x2yz4,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

2.（7分）設(shè)zf(xy,),f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求

xy2zxy2.

3.（7分）計(jì)算曲線(xiàn)積分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L為

xx由點(diǎn)A(a,0)至點(diǎn)O(0,0)的上半圓周yaxx2(a0).4.（7分）將f(x)arctanx展開(kāi)成關(guān)于x的冪級(jí)數(shù).5.（7分）判別級(jí)數(shù)(1)nn1lnnnn的斂散性.

6.（7分）求冪級(jí)數(shù)n1(x3)n3n的收斂域.

7.（7分）計(jì)算曲面積分

I(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy

333其中為球面x2y2z2a2(a0)的內(nèi)側(cè).

8.（7分）試寫(xiě)出微分方程2y5yxcos2x的特解形式.四、應(yīng)用題（8分）

在xoy坐標(biāo)面上求一條過(guò)點(diǎn)(a,a)(a0)的曲線(xiàn),使該曲線(xiàn)的切線(xiàn)、兩個(gè)坐標(biāo)軸及過(guò)切點(diǎn)且垂直于y軸的直線(xiàn)所圍成圖形的面積為a2.

五、證明題（6分）

證明：曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒與一定直線(xiàn)平行，

其中函數(shù)g可導(dǎo).

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）

一、(每小題4分)

1.yC1exC2e2x;2.323;3.f(exy)exy(ydxxdy).

二、(每小題4分)1.(B);二、解答題

2.(B);3.(D).

21．(7分)解曲線(xiàn)在任一點(diǎn)的切向量為T(mén)1,2t,3t,┄┄┄┄2分

已知平面的法向量為n1,2,1,┄┄┄┄3分

1令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分

3于是

111P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分

3927解

2．(7分)

zxy2zx233xfxyf1xyf2,┄┄┄┄3分

34yf22┄┄┄┄7分4xf12xf2xyf113．(7分)解添加直線(xiàn)段OA,與L構(gòu)成閉曲線(xiàn)C,應(yīng)用格林公式┄┄1分

C(esinyy)dx(ecos1)dydxdyDxxa212()a.┄┄┄4分228而

OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分1a0a.┄┄┄┄7分

8811x22xxI124．(7分)解f(x)(1)xn0n2n(x1),┄┄┄┄3分f(x)(1)n0n12n1x2n1┄┄┄┄6分

x[1,1].┄┄┄┄7分

n(1)5．(7分)解limnlnnnlimlnn,

n1n(或當(dāng)n3時(shí),

(1)lnnnnlnnn1n)┄┄┄┄2分

而n11n發(fā)散,n1(1)nlnnn發(fā)散.┄┄┄┄4分

令unlnnn,則當(dāng)n3時(shí)un1un,且limun0,┄┄┄┄6分

n由萊布尼茲判別法可知原級(jí)數(shù)條件收斂.┄┄┄┄7分6．(7分)解liman1annlimn3nn1n(n1)3,R3,┄┄┄┄3分31又當(dāng)x33,即x0時(shí),級(jí)數(shù)n1(1)nn收斂;┄┄┄┄5分

當(dāng)x33,即x6時(shí),級(jí)數(shù)n11n發(fā)散┄┄┄┄6分

故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0,6).┄┄┄┄7分7.(7分)解利用高斯公式及球坐標(biāo)有

222I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分

30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分

2a12a55.┄┄┄┄7分

28.(7分)解特征方程為2r5r0,┄┄┄┄1分特征根為r10,r2.┄┄┄┄2分

25f(x)x1212cos2x,┄┄┄┄3分

120是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分

*的一個(gè)特解形式為

又02i不是特征根,2y5y*12cos2x的一個(gè)特解形式為

y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故原方程的一個(gè)特解形式為

yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分

四、解由題意畫(huà)出圖形.設(shè)所求曲線(xiàn)方程為yf(x)，┄┄┄┄1分點(diǎn)(x,y)處的切線(xiàn)方程為Yyy(Xx),┄┄┄┄2分令Y0,得切線(xiàn)在x軸的截距Xx***yy,┄┄┄┄3分y梯形的面積為S212(xX)y212(2xy)ya,

2即2(xya)yy,┄┄┄┄4分化為一階線(xiàn)性方程

dxdy2yx2ay22,┄┄┄┄5分2a22代入公式或用常數(shù)變易法求得通解：x3yCy.┄┄┄┄7分

將初始條件yxaa代入通解得C2a213a,

故所求曲線(xiàn)方程為x3yy3a.┄┄┄┄8分

五、證明曲面上任一點(diǎn)切平面的法向量為n1,g,2g3,┄┄┄2分取a3,2,1,則na0,即na,┄┄┄┄5分

故原結(jié)論成立.┄┄┄┄6分

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河北科技大學(xué)

高等數(shù)學(xué)（下）考試試題3

一、填空題(每題4分,共16分)

1.(4分)級(jí)數(shù)un收斂的必要條件是.

n12.(4分)交換二次積分的次序0dy0f(x,y)dx=.3.(4分)微分方程y4y4y2xe2x的一個(gè)特解形式可以設(shè)為.

4.(4分)在極坐標(biāo)系下的面積元素d.二、選擇題(每題4分,共16分)

221.(4分)已知曲面z4xy上點(diǎn)P處的切平面平行于平面

1y2x2yz10,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是().

A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)級(jí)數(shù)(1)n1n11n32為（）.

A.絕對(duì)收斂;B.條件收斂;C.發(fā)散;D.收斂性不確定.3.(4分)若是錐面xyz被平面z0與z1所截下的部分,則曲面積分(xy)dS().

22222A.C.

220d0rrdr;B.0d0rrdr;

12120drrdr;D.

12020drrdr.

2120nn3xn14.(4分)冪級(jí)數(shù)(1)的收斂半徑為().

n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.

23三、解答題(每題7分,共63分)1．(7分)設(shè)zsin(xy)exy,求dz.

2．(7分)計(jì)算三重積分Ixdxdydz,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面

x2yz1所圍成的閉區(qū)域.

3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圓柱面

x2y225截出的有限部分.

(1)n(x1)n的收斂域.4．(7分)求冪級(jí)數(shù)nn15．(7分)將f(x)1展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù).22xxxx6．(7分)求曲線(xiàn)積分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy,其中L為

x2y2ax上從A(a,0)到O(0,0)的上半圓周.

7．(7分)求微分方程y2xy4x在初始條件yx03下的特解.8．(7分)求曲面積分I(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,

其中為曲面xyz4的內(nèi)側(cè).

9．(7分)計(jì)算曲線(xiàn)積分I(xy)ds,其中L是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)L222為頂點(diǎn)的三角形折線(xiàn).

四、(5分)試確定參數(shù)t的值,使得在不含直線(xiàn)y0上點(diǎn)的區(qū)域上,曲線(xiàn)積分

x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy與路徑無(wú)關(guān)，其中C是該區(qū)域上一條2yyC光滑曲線(xiàn)，并求出當(dāng)C從A(1,1)到B(0,2)時(shí)I的值.

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、1.limun0;2.0dxxf(x,y)dy;

n113.y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.

三、1.解zxcosx3分(y)yexy(y)xezycosx3分

xy7分dz[cosx(y)ye]dx[cosx(yx)yxedyxy2.解I0dx111x20dy1xy20xdz3分

0xdx1x20(1x2y)dy5分

110(x2x2x3)dx6分417分483.解:z5y1分

2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分

D62dxdy6分

D7分15024.解R12分當(dāng)x2時(shí)收斂4分當(dāng)x0時(shí)發(fā)散6分

收斂域?yàn)?0,2].7分11115.解2分22xx31xx212113分

x31x6(1)21n1nxx(1)5分3n06n021n1n1(1)n1x6分3n02n7分x16.解Pesinyy,Qecosy11分

xxQP13分xy由格林公式得Idxdy6分

Da12a7分

2287.解ye2xdx2C4xexdx3分

x22eCex2[C2ed(x2)]4分

x225分

將yx03代入上式得C16分所求特解為ye

x227分8.解利用高斯公式得

4分I6dv46分643327分

(x)ydsx)yds9.解I(xy)ds(OAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12Px(x2y2)t1222(2tyxy)四、解1分2yyQ2x(x2y2t)1222(xytx)2分2xy令

PQ22可得(2t1)(xy)0yx1因?yàn)閥0,所以t3分

2因曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān),故取從點(diǎn)A(1,1)經(jīng)點(diǎn)D(0,1)到點(diǎn)B(0,2)的折線(xiàn)積分

I10xx12dx04分

5分

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