大一高數(shù)第一章復(fù)習(xí)總結(jié)及相關(guān)習(xí)題
第一章函數(shù)與極限習(xí)題課
一、主要內(nèi)容
(一)函數(shù)的定義(二)極限的概念(三)連續(xù)的概念一)函數(shù)
1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類
2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)
5.基本初等函數(shù)6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)
8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)(二)極限
1、極限的定義:\"N\"定義\"\"定義\"X\"定義單側(cè)極限極限存在的條件2、無(wú)窮小與無(wú)窮大
無(wú)窮;無(wú)窮大;無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限4、求極限的常用方法
a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限;f.利用等價(jià)無(wú)窮;g.利用重要極限
5、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理6、兩個(gè)重要極限
(1)limsinx1x0x某過(guò)程limsin1;
1x(2)1xlim(1)exx1lim(1x)x0e
某過(guò)程
7、無(wú)窮小的比較
8、等價(jià)無(wú)窮小的替換性質(zhì)
9、極限的唯一性、局部有界性、保號(hào)性(三)連續(xù)
1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性
lim(1)e.2、間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的分類第一類、第二類
3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性
4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點(diǎn)定理二、例題例當(dāng)x1時(shí),
242n求lim(1x)(1x)(1x)(1x).n解將分子、分母同乘以因子(1-x),則
n(1x)(1x)(1x2)(1x4)(1x2)原式limn1x
2242n(1x)(1x)(1x)(1x)limn1x
n22n2n11(1x)(1x)1xn1.(當(dāng)x1時(shí),limx20.)limlimnn1xn1x1x1例1tanxx3求lim().x01sinx111tanxtanxsinx33xx解原式lim[1(1)]lim[1]x0x01sinx1sinx
1tanxsinx1limsinx(1cosx)1limsinx1cosx1lim3x0x0xx2(1sinx)cosx211sinxx3x0(1sinx)cosxx
原式e2.p(x)x3例xx2p(x)lim1,求p(x).x0x
p(x)x32,解limxx2
可設(shè)p(x)x32x2axb(其中a,b為待定系數(shù))
p(x)又lim1,
x0x32p(x)x2xaxb~x(x0)
從而得b0,a1.故p(x)x32x2x
x1,x1例6討論f(x)的連續(xù)性.x
cos,x12將f(x)改寫成解1x,x1xf(x)cos,1x12x1,x1
設(shè)p(x)是多項(xiàng)式,且lim2,顯然f(x)在(,1),(1,1),(1,)內(nèi)連續(xù).當(dāng)x1時(shí),
x1limf(x)lim(1x)2.x1x1x1x1limf(x)limf(x)coslimf(x)xlim1x20.故f(x)在x1間斷.當(dāng)x1時(shí),x1limf(x)limcosx1x20.f(x)limf(x)limf(x)lim(x1)limx1x1x1x1
故f(x)在x1連續(xù).f(x)在(,1)(1,)連續(xù).
[0,1]上連續(xù),且f(0)f(1),例設(shè)f(x)在閉區(qū)間1證明必有一點(diǎn)[0,1]使得f()f().211令F(x)f(x)f(x),則F(x)在[0,]上連續(xù).證明22111F(0)f()f(0),F()f(1)f(),222討論:1f(0)f(0);若F(0)0,則0,211111若F()0,則,f()f();222221若F(0)0,F()0,則2例證
即xn單調(diào)減,有下界
xn存在故由單調(diào)有界原理得limn1a設(shè)x10,證明xn1(xn)有極限(a0)2xn1ax(x)an1n顯然xn02xn21aax1nxn1xn(xn)02xn2xn1a1aA(A)設(shè)limxnA,則A0在xn1(xn)兩邊取極限得n2A2xn解得Aa,Aa(舍去)12sinxxcos例求xlimx0(1cosx)ln(1x)
解sinx1xcos101xx原式limx0ln(1x)212(1cosx)x例求
令ux1則x1u解3n(1u1)(1u1)(1u1)由(1u)1~u得Ilimu0un1111uuu1
lim23n1nu0n!u
(x1)(3x1)(nx1)limx1(x1)n1xxxcoscos,(x0)例.求極限2nn222
xxxxcoscos2cosn2sinn
2222解原式limnx2sin
2n
xxxxcoscoscos2sinn1n12422limnx22sin2nx
nsinxsinx2limlimnnxxnsinx2sinnn22
limcossinxxxxc設(shè)lim例4,求cxxcxc2ccxx2c2c2c2climxc11limlim1xxcxc解一xxcxxc
e2c42c2ln2得cln2
x解二c1xxxceclime2climxcxxcexc1x
limnn1例證明n
n(n1)2n(n1)22nhn1hn證首先nn1記nn1hnn(1hn)1nhn2!2!
220hn
nlimhn0limnn1由夾逼定理知nn
xb例確定a,b的值,使f(x)有無(wú)窮(xa)(x1)
間斷點(diǎn)x0,,有可去間斷點(diǎn)x解因f(x)在x=0處為無(wú)窮間斷,即limf(x)x0
xa1(xa)(x1)lim0limlimx0xbx0f(x)x0xb
又x=1為可去間斷,故limf(x)存在例解
x1a0,b01blim(xb)lim[f(x)(xa)(x1)]limf(x)lim(xa)(x1)0x1x1x1x1b11f(x)sin2x12,求limf(x)x0x0e3x11f(x)sin2x1由lim23xx0e1而lim(e3x1)0lim(1f(x)sin2x1)已知limx0x0limx0x01f(x)sin2x13x(e1)201*xe1f(x)sin2x0lim1f(x)sin2x1limx0從而由等價(jià)無(wú)窮小的代換性質(zhì)得
1f(x)sin2x1sin2x1f(x)sin2x12limf(x)2limlim3x3x02xx0x0e13xsin2xf(x)存在,且limf(x)6由lim1limx0x0x02xnn1例利用介值定理證明,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),方程a0xa1x至少有一實(shí)根
證令f(x)axnaxn1axa0,01n1n
an1anf(x)a1limlim(a)a000xxnxxxn1xn
故由函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)可知
an1xan0,(a00)又n是奇數(shù),所以
x)nX00,使當(dāng)|x|X0時(shí)f(n與a0同號(hào),亦即,當(dāng)|x|X0時(shí),f(x)與a0x同號(hào)xf(2X0)f(2X0)0a(2X)n與a(2X)n異號(hào)0000
即a0xna1xn1an1xan0至少有一實(shí)根
和差化積積化和差
sinθ+sinφ=2sin*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαsinβ=*cos(α+β)-cos(α-β)+\/2sinθ-sinφ=2cos*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαcosβ=*cos(α+β)+cos(α-β)+\/2cosθ+cosφ=2cos*(θ+φ)\/2+cos*(θ-φ)\/2+sinαcosβ=*sin(α+β)+sin(α-β)+\/2cosθ-cosφ=-2sin*(θ+φ)\/2+sin*(θ-φ)\/2+cosαsinβ=*sin(α+β)-sin(α-β)+\/2
而f(x)在[2X0,2X0]上連續(xù)故由零點(diǎn)定理知(2X0,2X0),使f()
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