三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(完)

三角形

1、三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等

判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△≌Rt△）

2、等腰三角形的判定及性質(zhì)性質(zhì)：①兩腰相等

②等邊對(duì)等角（即“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”）

③三線合一（即“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”）

B判定：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形

②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

結(jié)論總結(jié)：等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高

【即：DE+DF=CP，（D為BC上的任意一點(diǎn)）】

3、等邊三角形的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)：①三條邊都相等

②三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度

ADAC

PEBD

FC

③三線合一（即“等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”）④等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸。

判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

③有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

結(jié)論總結(jié)：①高=

32A

邊【即：AD32AB】

B②面積=

4、直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：①兩銳角互余

②勾股定理

③30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。④斜邊中線等于斜邊一半

判定：①有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形

34邊【即：SABC234D

CAB】

2ADCB

②勾股定理的逆定理（即“如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。”）③一邊中線等于這邊一半的三角形是直角三角形AD直角邊的乘積斜邊結(jié)論總結(jié)：直角三角形斜邊上的高=

5、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

【即：CDACBCAB】

CB

P性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

判定：①定義法

②到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

A

B（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。

6、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；判定：①定義法

②在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

O（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

結(jié)論總結(jié)：

①如圖，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則BOC9012A

E

BPD

A

②如圖,在△ABC中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則BOC12A

③如圖,在△ABC中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則BOC9012A

ABEDC

④如圖1，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為D，則EAD

12(CB)

四邊形

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：①邊：對(duì)邊平行且相等

②角：對(duì)角相等

③對(duì)角線：互相平分

④對(duì)稱性：中心對(duì)稱圖形

判定：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊行。

B

AOC

D結(jié)論總結(jié)：①SAOBSBOCSCODSA0D②SABCDABDEBCAF

2、等腰梯形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：①邊：兩地平行，兩腰相等

②角：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等③對(duì)角線：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等④對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形

判定：①兩腰相等的梯形是等腰梯形

②同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

14SABCDBCFD

AEAD

BAC

3、三角形中位線定義及性質(zhì)

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

4、特殊平行四邊形

（1）矩形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：①邊：對(duì)邊平行且相等

②角：四個(gè)角都是直角

③對(duì)角線：互相平分且相等

④對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

判定：①有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

③有三個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是矩形

結(jié)論總結(jié)：解決矩形問題要聯(lián)想等腰三角形和直角三角形（2）菱形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：①邊：四條邊都相等，對(duì)邊平行

②角：對(duì)角相等

③對(duì)角線：對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角④對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

判定：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

③四條邊都相等的四邊形是菱形

結(jié)論總結(jié)：①S菱形ABCDACBD2DE

BCA

OBD

CABODC

②解決菱形問題要聯(lián)想等腰三角形和直角三角形

（3）正方形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：①邊：四條邊都相等，對(duì)邊平行

②角：四個(gè)角都是直角

③對(duì)角線：對(duì)角線互相平分、垂直且相等，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角④對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形

判定：菱形+矩形=正方形

（4）中點(diǎn)四邊形（平行四邊形）

中點(diǎn)四邊形的形狀取決原四邊形的對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

原四邊形的對(duì)角線互相垂直則中點(diǎn)四邊形是矩形，原四邊形的對(duì)角線相等則中點(diǎn)四邊形是菱形，原四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等則中點(diǎn)四邊形是正方形形

擴(kuò)展閱讀：三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章圖形的初步認(rèn)識(shí)

考點(diǎn)一、線段垂直平分線，角的平分線，垂線

1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。2、角的平分線及其性質(zhì)

一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

（1）角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

（2）到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。3垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。考點(diǎn)二、平行線1、平行線的概念

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行。

4、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等；（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

考點(diǎn)三、投影與視圖1、投影

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。中心投影：由同一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。2、視圖

當(dāng)我們從某一角度觀察一個(gè)實(shí)物時(shí)，所看到的圖像叫做物體的一個(gè)視圖。物體的三視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時(shí)也叫做側(cè)視圖。

第二章三角形

考點(diǎn)一、三角形

1、三角形的分類

三角形按邊的關(guān)系分類如下：不等邊三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類如下：

直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）

三角形銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）斜三角形

鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。3、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等邊；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。4、三角形的面積

三角形的面積=

1×底×高2考點(diǎn)二、全等三角形1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)�等時(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

3、全等變換

只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換�？键c(diǎn)三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。2、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。

第三章解直角三角形

考點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

4直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2b2c2

5、攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)

∠ACB=90°CD2ADBD

AC2ADABCD⊥ABBC2BDAB6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC

考點(diǎn)二、銳角三角函數(shù)的概念（3~8分）1、如圖，在△ABC中，∠C=90°

①sinAA的對(duì)邊a

斜邊cA的鄰邊b

斜邊c②cosA③tanAA的對(duì)邊a

A的鄰邊bA的鄰邊b

A的對(duì)邊a④cotA2、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)sinα0°030°45°60°90°112222213212cosα132330tanα0333不存在cotα不存在3103、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)，tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)

（2）平方關(guān)系：sinAcosA1（3）倒數(shù)關(guān)系：tanAtan(90°A)=1（4）弦切關(guān)系：tanA=

22sinAcosA第四章圖形的相似

考點(diǎn)一、比例線段

1、比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)

①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：cbac

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）2ab（交換內(nèi)項(xiàng)）cdacdc（交換外項(xiàng)）bdba

db（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）ca（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：

acbdbdac（4）合比性質(zhì)：

acabcdbdbd（5）等比性質(zhì)：

acemacema(bdfn0)bdfnbdfnb3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=

51AB0.618AB2考點(diǎn)二、平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例�？键c(diǎn)三、相似三角形1、相似三角形的概念

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符號(hào)“∽”來表示2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

相似三角形的等價(jià)關(guān)系：

（1）反身性：對(duì)于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）對(duì)稱性：若△ABC∽△A’B’C’，則△A’B’C’∽△ABC（3）傳遞性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，則△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似

②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

③判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

④判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

⑤判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

4、相似三角形的性質(zhì)

（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。5、相似多邊形

（1）如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）

（2）相似多邊形的性質(zhì)

①相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

②相似多邊形周長(zhǎng)的比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比

③相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比④相似多邊形面積的比等于相似比的平方6、位似圖形

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，此時(shí)的相似比叫做位似比。

性質(zhì)：每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。

由一個(gè)圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小。

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