新人教版高二數學必修5知識點歸納

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高二數學期中考知識點歸納資料

第一章解三角形

1、三角形的性質：

①.A+B+C=,sin(AB)sinC，cos(AB)cosCAB22C2sinAB2cosC2

②.在ABC中,ab＞c,ab＜c;A＞BsinA＞sinB,

A＞BcosA＜cosB,a＞bA＞B

③.若ABC為銳角，則AB＞

2,B+C＞

2,A+C＞

2;

a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b22、正弦定理與余弦定理：①.正弦定理：asinAbsinBcsinC2R(2R為ABC外接圓的直徑)

a2RsinA、b2RsinB、c2RsinC（邊化角）sinAa2R、sinB12b2R、sinC12c2R（角化邊）12acsinB

222面積公式：SABC222absinC2bcsinA22②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC

bca2bc222cosA、cosBacb2ac222、cosCabc2ab222（角化邊）3、常見的解題方法：（邊化角或者角化邊）第二章數列

1、數列的定義及數列的通項公式：

①.anf(n)，數列是定義域為N的函數f(n)，當n依次取1，2，時的一列函數值②.an的求法：i.歸納法

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S1,n1ii.an若S00，則an不分段；若S00，則an分段

SnSn1,n2iii.若an1panq，則可設an1mp(anm)解得m,得等比數列anm

Snf(an)iv.若Snf(an)，先求a1，再構造方程組：得到關于an1和an的遞推關系式

Sn1f(an1)Sn2an1例如：Sn2an1先求a1，再構造方程組：（下減上）an12an12an

Sn12an112.等差數列：

①定義：an1an=d（常數）,證明數列是等差數列的重要工具。②通項:ana1(n1)d,d0時，an為關于n的一次函數；

d＞0時，an為單調遞增數列；d＜0時，an為單調遞減數列。

n(a1an)2n(n1)2③前n項和：Snna1d，

d0時，Sn是關于n的不含常數項的一元二次函數，反之也成立。

④性質：i.amanapaq（m+n=p+q）ii.若an為等差數列，則am，amk，am2k，…仍為等差數列。iii.若an為等差數列，則Sn，S2nSn，S3nS2n，…仍為等差數列。iv若A為a,b的等差中項，則有A3.等比數列：①定義：

an1anq（常數），是證明數列是等比數列的重要工具。

ab2。

n1②通項:ana1q(q=1時為常數列)。

na1,q1③.前n項和,Sna11qnaaq,需特別注意,公比為字母時要討論.

1n,q11q1q

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④.性質：

i.amanapaqmnpq。

ii.an為等比數列,則am,amk,am2k,仍為等比數列，公比為qk。

iii.an為等比數列,則Sn,S2nSn,S3nS2n,K仍為等比數列，公比為qn。iv.G為a,b的等比中項,Gab4.數列求和的常用方法:

①.公式法:如an2n3,an3n1

nn12n5，可分別求出3n，2n1和2n5的和，然后把②.分組求和法:如an32三部分加起來即可。

1③.錯位相減法:如an3n2，

21111Sn579(3n1)2222123423n1n13n2

2nn1n11111Sn579…＋3n13n2222222123n

n111111兩式相減得：Sn52223n2222222，以下略。

④.裂項相消法:如an1nn111n1n1;an1n1nn1n，

an2n12n1111等。

22n12n1⑤.倒序相加法.例：在1與2之間插入n個數a1,a2,a3,,an，使這n+2個數成等差數列，求：Sna1a2an，（答案：Sn32n）

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第三章不等式

1.不等式的性質:

①不等式的傳遞性:ab,bcac

abacbdcd②不等式的可加性:ab,cRacbc,推論:

③不等式的可乘性:ababab0acbc;acbc;acbd0

c0c0cd0n④不等式的可乘方性:ab0anbn0;ab02.一元二次不等式及其解法:

anb0

①.ax2bxc0,ax2bxc0,fxax2bxc注重三者之間的密切聯(lián)系。如：ax2bxc＞0的解為：＜x＜,則ax2bxc＝0的解為x1,x2；函數fxaxbxc的圖像開口向下，且與x軸交于點,0，,0。

2對于函數fxax2bxc，一看開口方向,二看對稱軸，從而確定其單調區(qū)間等。②.注意二次函數根的分布及其應用.

如：若方程x22ax80的一個根在（0，1）上，另一個根在（4,5）上，則有

f(0)＞0且f(1)＜0且f(4)＜0且f(5)＞0

3.不等式的應用：

①基本不等式：

a0,b0,ab2ab,ab2ab,2ab2222ab2當a＞0,b＞0且ab是定值時，a+b有最小值；當a＞0,b＞0且a+b為定值時，ab有最大值。②簡單的線性規(guī)劃:

AxByC0A0表示直線AxByC0的右方區(qū)域.AxByC0A0表示直線AxByC0的左方區(qū)域

解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟是：①.找出所有的線性約束條件。

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②.確立目標函數。

③.畫可行域，找最優(yōu)點，得最優(yōu)解。

需要注意的是，在目標函數中，x的系數的符號，

當A＞0時，越向右移，函數值越大，當A＜0時，越向左移，函數值越大。

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必修1

第一章集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性

說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列舉法與描述法。非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R關于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、集合的分類：（1）．有限集含有有限個元素的集合（2）．無限集含有無限個元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x25}

二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x10}B={-1,1}“元素相同”

結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

-1-

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任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且BA那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集與并集的性質：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集與補集

（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

四、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；函數的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

定義域補充

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）（2）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)

值域補充

(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。

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3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．

集合C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2)畫法

A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法（請參考必修4三角函數）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4．了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數軸表示．

5．什么叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A→B”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數表示法及各自的優(yōu)點：

1函數圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據；2解析法：必須注明函數的定義域；3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．

解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值.

補充一：分段函數（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；（2）分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補充二：復合函數

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復合函數。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

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7．函數單調性（1）．增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量a，b，當a高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

第二章基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N．

當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數．此時，a的n次方根

*

用符號na表示．式子na叫做根式（radical），這里n叫做根指數（radicalexponent），a叫做被開方數（radicand）．

當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號－na表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并成na（a>0）．由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。

注意：當n是奇數時，naa，當n是偶數時，nan|a|a2．分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：

n(a0)a(a0)anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

指出：規(guī)定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．

3．實數指數冪的運算性質

rrrs（1）a〃aa(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）(a0,r,sR)；rrs(ab)aa(a0,r,sR)．（3）

（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數yax(a0,且a1)叫做指數函數（exponentialfunction），其中x是自變量，函數的定義域為R．

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．

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2、指數函數的圖象和性質a>1650高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

3注意對數的書寫格式．○

兩個重要對數：

1常用對數：以10為底的對數lgN；○

2自然對數：以無理數e2.71828為底的對數的對數lnN．○

對數式與指數式的互化

logaNxaxN

對數式指數式對數底數←a→冪底數對數←x→指數真數←N→冪（二）對數的運算性質

如果a0，且a1，M0，N0，那么：（1）loga(M〃N)logaM＋logaN；（2）

logaMlogaM－logaN；（3）logaMnnlogaM(nR)．N注意：換底公式logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用換底公式推導下面的結論

n（1）logambnlogab；m（2）logab1．

logba（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數ylogax(a0，且a1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是（0，+）．

1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。注意：○

如：y2log2x，ylog5x都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．52對數函數對底數的限制：(a0，且a1)．○

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2、對數函數的性質：a>132.520高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數x叫做函數

yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．3、函數零點的求法：求函數yf(x)的零點：

1（代數法）求方程f(x)0的實數根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用○

函數的性質找出零點．4、二次函數的零點：

二次函數yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數

有兩個零點．

2２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與x軸有一個交點，

二次函數有一個二重零點或二階零點．

2３）△＜０，方程axbxc0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點．

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必修2

第一章立體幾何初步

1.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側面積ch

S正棱錐側面積S正棱臺側面積1ch"21(c1c2)h"2

S圓柱側2rhS圓柱表2rrl

S圓錐側面積rlS圓錐表rrl

S圓臺側面積(rR)l

S圓臺表r2rlRlR2

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

V柱Sh

1V錐Sh31V臺(S"S"SS)h

3V圓柱Shr2h

1V圓錐r2h

311V圓臺(S"S"SS)h(r2rRR2)h

333.球體的表面積和體積公式：V求43RS4R23；球面4．空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

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第二章直線與平面的位關系

2.1空間點、直線、平面之間的位關系1平面含義：平面是無限延展的2三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.符號表示為A∈L

AB∈L=>LααLA∈α

B∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內.

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。AB

α符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，C

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據.

Pα

L2.1.2空間中直線與直線之間的位關系1空間的兩條直線有如下三種關系：

共面直線相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線a∥b=>a∥cc∥b

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.4注意點：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位來確定，與O的選擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

2

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位關系1、直線與平面有三種位關系：

（1）直線在平面內有無數個公共點

（2）直線與平面相交有且只有一個公共點（3）直線在平面平行沒有公共點

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指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：aβbβ

a∩b=P=>β∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質

1、直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβ=>a∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥β

α∩γ=a=>a∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質

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2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義：如果直線L與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。

PaL

2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A梭lβ

Bα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質

1、直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2、兩個平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

第三章直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

當0,90時，k0；當90,180時，k0；當90時，k不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：ky2y1(x1x2)（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

x2x1注意下面四點：(1)當x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；

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(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1

注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1④截矩式：別為a,b。

xy1其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分ab⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數）；平行于y軸的直線：xa（a為常數）；（6）兩直線平行與垂直當l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交點坐標即方程組的一組解。AxByC0222方程組無解l1//l2；方程組有無數解l1與l2重合

Bx2,y2）（8）兩點間距離公式：設A(x1,y1)，（是平面直角坐標系中的兩個點，

則|AB|(x2x1)2(y2y1)2（9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（10）兩平行直線距離公式

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d-14-

C1C2AB高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

第四章圓與方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標準方程xaybr2，圓心

22a,b，半徑為r；

點M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位關系：當(x0a)2(y0b)2>r，點在圓外當(x0a)2(y0b)2=r，點在圓上當(x0a)2(y0b)2高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

當d

Rr時兩圓外離，此時有公切線四條；當dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；

當RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當dRr時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；

當dRr時，兩圓內含；當d0時，為同心圓。

注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

（1）算法概念：在數學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.

（2）算法的特點:

①有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.②確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

④不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、事先設計好的步驟加以解決.

2：程序框圖

（1）程序框圖基本概念：

①程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

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一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。②構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不起止框可少的。表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法輸入、輸出框中任何需要輸入、輸出的位。賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公處理框式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框內。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明判斷框“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。

3：算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構。

（1）順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。A順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所

指定的操作。B（2）條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結構可以有多個判斷框。

（3）循環(huán)結構：在一些算法中，經常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類：

①一類是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。

②另一類是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。

AAPP成立不成立成立不成立p當型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構

注意：1循環(huán)結構要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來判斷。因此，循環(huán)結構中一定包含

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條件結構，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環(huán)次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數一次。

4：輸入、輸出語句和賦值語句（1）輸入語句

①輸入語句的一般格式圖形計算器格式INPUT“提示內容”；變量INPUT“提示內容”，變量②輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；③“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；④輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函數、變量或表達式；⑤提示內容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。

（2）輸出語句

①輸出語句的一般格式

圖形計算器格

式PRINT“提示內容”Disp“提示內容”，變量；表達式②輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結果功能；③“提示內容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達

式是指程序要輸出的數據；④輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。

（3）賦值語句

①賦值語句的一般格式圖形計算器格式表達式變量變量＝表達式

②賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；③賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；④賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；⑤對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。

5：條件語句

（1）條件語句的一般格式有兩種：①IFTHENELSE語句；②IFTHEN語句。

①IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。IF條件否

THEN滿足條件？

語句1是圖1圖2ELSE語句2語句1

語句2

ENDIF

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內容；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。

高中數學必修1至必修","p":{"h":13.499,"w":40.5,"x":358.995,"y":65.623,"z":8}高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

①用較大的數m除以較小的數n得到一個商約數；若

S0和一個余數R0；②若R0＝0，則n為m，n的最大公

R0≠0，則用除數n除以余數R0得到一個商S1和一個余數R1；③若R1＝0，則R1為m，n的最大

公約數；若

R1≠0，則用除數R0除以余數R1得到一個商S2和一個余數R2；……依次計算直至RnRn1即為所求的最大公約數。

＝0，此時所得到的

（2）更相減損術

我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。

翻譯為：①任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。②以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續(xù)這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。

（3）輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別：

①都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區(qū)別較大時計算次數的區(qū)別較明顯。

②從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉相除法體現(xiàn)結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到

8：秦九韶算法與排序（1）秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0求值問題

nn-1n-1n-2n-2n-3

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0=(anx+an-1x+….+a1)x+a0=((anx+an-1x+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。（2）兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序①直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數放入數組的第１個元素中，以后讀入的數與已存入數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位．將該位以及以后的元素向后推移一個位，將讀入的新數填入空出的位中．（由于算法簡單，可以舉例說明）

②冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數和第2個數,大數放前,小數放后.然后比較第2個數和第3個數......直到比較最后兩個數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數開始,到最后第2個數......由于在排序過程中總是大數往前,小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

9：進位制

（1）概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數,34(5)表示5進制數

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第二章：統(tǒng)計

1：簡單隨機抽樣（1）總體和樣本

①在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．②把每個研究對象叫做個體．③把總體中個體的總數叫做總體容量．

④為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：

，，，

研究，我們稱它

為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．

（2）簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。

（3）簡單隨機抽樣常用的方法：

①抽簽法②隨機數表法③計算機模擬法③使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。（4）抽簽法:

①給調查對象群體中的每一個對象編號；②準備抽簽的工具，實施抽簽；③對樣本中的每一個個體進行測量或調查（5）隨機數表法：2：系統(tǒng)抽樣

（1）系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布�？梢栽谡{查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

（2）系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

3：分層抽樣

（1）分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

①先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

②先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

（2）分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

①以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

②以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。③以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

（3）分層的比例問題：抽樣比=

樣本容量各層樣本容量

個體容量各層個體容量高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

①按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。

②不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。類別共同點各自特點相互關系適用范圍簡單抽樣過從總體中逐個抽取總體中的隨機抽樣程中每個個個體數較少系統(tǒng)體被抽取的將總體均勻分成幾部分，按再起時部分抽樣時總體中的機會相等抽樣事先確定的規(guī)則在各部分抽取采用簡單隨機抽樣個數較多分成經總體分成幾層，分層進行各層抽樣時采用簡總體由差抽樣抽取單隨機抽樣異明顯的幾部分組成4：用樣本的數字特征估計總體的數字特征（1）樣本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)2（2）樣本標準差：ss

n用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

（3）眾數：在樣本數據中，頻率分布最大值所對應的樣本數據（可以是多個）。（4）中位數：在樣本數據中，累計頻率為1.5時所對應的樣本數據值（只有一個）。注意：

①如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變②如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍

③一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；

“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理5:用樣本的頻率分布估計總體分布1：頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表盒頻率分布直方圖，是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數據分布規(guī)律，它可以使我們看到整個樣本數據的頻率分布情況。

具體步驟如下：

第一步：求極差，即計算最大值與最小值的差.

第二步：決定組距和組數：組距與組數的確定沒有固定標準，需要嘗試、選擇，力求有合適的組數，以能把數據的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準.太多或太少都不好，不利對數據規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數應與樣本的容量有關，樣本容量越大組數越多.一般來說，容量不超過100的組數在5至12之間.組距應最好“取整”，它與極差有關.

組距注意：組數的“取舍”不依據四舍五入，而是當極差不是整數時，組數=［

組距極差組距］+1.

②頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的重點，就得到頻率分布折線圖。

③總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個范圍內取值的半分比，它能給我們提供更加精細的信息。

高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

2：莖葉圖：莖是指中間的一列數，葉是指從莖旁邊生長出來的數。

例：例如：為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內100名年齡為","p":{"h":15.84,"w":63.011,"x":624.03,"y":110.953,"z":22},"ps":null,高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版

頻率/組距0.070.060.050.040.030.020.010頻率/組距富寧一中

連接頻率直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.如圖2－2－4所示.

例2：某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況如下

甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.

上述的數據可以用下圖來表示，中間數字表示得分的十位數，兩邊數字分別表示兩個人各場比賽得分的個位數.

54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.5體重甲乙085136445123587691613389854051

圖2－2－5

通常把這樣的圖叫做莖葉圖.請根據上圖對兩名運動員的成績進行比較.

從這個莖葉圖上可以看出，甲運動員的得分情況是大致對稱的，中位數是36；乙運動員的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數是25.因此甲運動員發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙好.

用莖葉圖表示有兩個突出的優(yōu)點:其一，從統(tǒng)計圖上沒有信息的損失，所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示.但莖葉圖只能表示兩位的整數，雖然可以表示兩個人以上的比賽結果（或兩個以上的記錄），但沒有兩個記錄表示得那么直觀，清晰.

6：變量間的相關關系：自變量取值一定時因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系交相關關系。對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析。

（1）回歸直線：根據變量的數據作出散點圖，如果各點大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關的關系，這條直線叫做回歸直線方程。如果這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，我們就成這兩個變量呈正相關；若從左上角到右下角的區(qū)域，則稱這兩個變量呈負相關。

設已經得到具有線性相關關系的一組數據：

xyx1y1。。。。。。xnyn

是待定的系數。

所要求的回歸直線方程為：ybxa，其中，

（2）回歸直線過的樣本中心點(x,y)

xyx1y1。。。。。。xnyn

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第三章：概率

1：隨機事件的概率及概率的意義

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數nA為事件A出現(xiàn)的頻數；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)nA為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的n隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數nA與試驗總次數n的比值n，

它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

2：概率的基本性質

（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（3）若A∩B為不可能事件，即A∩B=，那么稱事件A與事件B互斥；

（4）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（5）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（6）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；④事件A發(fā)生B不發(fā)生；⑤事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件

（1）基本事件：基本事件是在一次試驗中所有可能發(fā)生的基本結果中的一個，它是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件。

（2）基本事件的特點：①任何兩個基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：

（1）古典概型的條件：古典概型是一種特殊的數學模型，這種模型滿足兩個條件：①試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。②所有基本事件必須是有限個。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數；

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②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式p(A)A所包含的基本事件的個數

總的基本事件個數5：幾何概型

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：p(A)構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）；

試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）（3）幾何概型的特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；②每個基本事件出

現(xiàn)的可能性相等．

注意：幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結果不是有限個。其特點是在一個區(qū)域內均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位無關，值域該區(qū)域的大小有關。如果隨即事件所在區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1，但他不是必然事件。

綜上可得：必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。

概率為1的事件不一定為必然事件；概率為0的事件不一定為不可能事件。

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必修4

第一章三角函數（初等函數二）

正角:按逆時針方向旋轉形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正n*半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為的區(qū)域．

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數的絕對值是終邊所落在nl．r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，

C2rl，S11lrr2．229、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是x,y，它與原點的距離是

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rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限

余弦為正．

11、三角函數線：sin，cos，tan．

12、同角三角函數的基本關系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sintancossinsintancos,cos．

tan13、三角函數的誘導公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數名稱不變，符號看象限．

，5sincoscossin．

22，6sincoscossin．

22口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

14、函數ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數

ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標不變），得到函數ysinx的圖象．

函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數

ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數ysinx的圖象；再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍

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（橫坐標不變），得到函數ysinx的圖象．

函數ysinx0,0的性質：①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值為ymax，則12yy12ymaxmin，ymaxmin，2x2x1x1x2．15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：性函質數ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk2,k值域1,11,1R當當x2kkx2k2k時，時，ymax1；當最y1；當x2k值2x2k既無最大值也無最max小值時，kk時，ymin1．ymin1．周22期性奇偶奇函數偶函數奇函數性在在在2k,2k2k,2kk上單22k2,k2調性是增函數；在k上是增函數；2k,2kk上是增函在數．

-29-

高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中32k,2k22k上是減函數．k上是減函數．對稱中心對稱性對稱中心,0kk2k,0k對稱軸xk對稱中心k,0k2對稱軸2kxkk無對稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質：

Ca

①交換律：abba；

②結合律：abcabc；

③a00aa．

-30-

b

abCC高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

⑸坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

⑵坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

設、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數乘運算：

⑴實數與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作a．①

aa；

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，

a0．

abab⑵運算律：①aa；②aaa；③．

⑶坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使ba．

設ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向

量a，有且只有一對實數1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的

一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當

xx2y1y2,12時，點的坐標是1．

1123、平面向量的數量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數量積為0．

⑵性質：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abab；當a與

22b反向時，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

-31-

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設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

x1x2y1y2abcos22abx12y12x2y2

．

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22⑶tan22tan．21tan22sin，其中tan26、sincos

．

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必修5第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和

一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：

C當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：

a當a高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

第二章數列

1、數列：按照一定順序排列著的一列數．2、數列的項：數列中的每一個數．3、有窮數列：項數有限的數列．4、無窮數列：項數無限的數列．

5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列（即：an+1>an）．6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列（即：an+1高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版

*②若項數為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶a富寧一中

n，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

18、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．符號表示：

an1q（注：①等比數列中不會出現(xiàn)值為0的項；②同號位an上的值同號）

注：看數列是不是等比數列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數).

④正數列{an}成等比的充要條件是數列{logxan}（x1）成等比數列.

G，b成等比數列，19、在a與b中間插入一個數G，使a，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

20、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq21、通項公式的變形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．aa1m*22、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是*等比數列，且2npq（n、p、q），則an2apaq．

23、等比數列

anna1q1的前n項和的公式：①Sna11qnaaq．②

1nq11q1qsna1a2an

24、對任意的數列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：ans1a1(n1)

snsn1(n2)[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）→若d不為0，則是等差數列充分條件）.

②等差{an}前n項和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以為零也可不為零→為等差的充要條件22→若d為零，則是等差數列的充分條件；若d不為零，則是等差數列的充分條件.

③非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）．．

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附：幾種常見的數列的思想方法：

1、等差數列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

數列通項公式、求和公式與函數對應關系如下：數列等差數列等比數列（指數型函數）數列等差數列（等比數列（指數型函數）我們用函數的觀點揭開了數列神秘的“面紗”，將數列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數，為我們解決數列有關問題提供了非常有益的啟示。

例題：1、等差數列{an}中anm,amn，(nm)則anm.分析：因為{an}是等差數列，所以an是關于n的一次函數，一次函數圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(nm,anm)三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即得anm0（圖像如上），這里利用等差

數列通項公式與一次函數的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。

例題：2、等差數列{an}中，a125，前n項和為Sn，若S9S17，n為何值時Sn最大？分析：等差數列前n項和Sn可以看成關于n的二次函數Sn時為二次函數）前n項和公式對應函數通項公式對應函數（時為一次函數）d2dn(a1)n利用二次函數的性質求n的值.22anmnnm，mn(nm)md2dn(a1)n22是拋物線f(n)-36-

d2dn(a1)n上的離散點，根據題意，S9S17，高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

則因為欲求Sn最大值，故其對應二次函數圖像開口向下，并且對稱軸為x時，Sn最大。

例題：3遞增數列{an}，對任意正整數n，ann2n恒成立，求

91713，即當n132分析：1)構造一次函數，由數列{an}遞增得到：an1an0對于一切

恒成立，所以(2n1)對一切

恒成立，即

恒成立，設f(n)(2n1)，則只需求出f(n)的最大值即可，顯然f(n)有最大值f(1)3，所以的取值范圍是：3。

2)構造二次函數，

看成函數

，它的定義域是

，因為是

遞增數列，即函數為遞增函數，單調增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數

f(x)為離散函數，要函數單調遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位。從對應圖像上看，對稱軸

的左側，也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

在

2、如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前n項和可依照等比數

111列前n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242

3、兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差d1，d2的最小公倍數.

4.判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數,驗證

anan1(an)為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

5.在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

最大值.(2)當a10時，滿足注意轉化思想的應用。

am0的項數m使得sm取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,

am10附：數列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。2.裂項相消法:適用于階乘的數列等。

例題：已知數列{an}的通項為an=

c其中{an}是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含

anan11,求這個數列的前n項和Sn.

n(n1)解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=

11nn1sna1a2an

11111(1)()()

223nn111n13.錯位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數列，bn是各項不為0的等比數列。例題：已知數列{an}的通項公式為ann2n，求這個數列的前n項之和sn。解：由題設得：

sna1a2a3an

=122232n2

即sn=122232n2①把①式兩邊同乘2后得

123n123n2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

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sn1222232nn2n12(12n)2n2n11

2n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法.5.常用結論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)22）1+3+5+...+(2n-1)=n23）1323n312n(n1)2

4）122232n216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n11n1

n(n2)12(1n1n2)6）

1111pqqp(pq)(pq)

第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．4、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法

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高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

穿根法（零點分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.0二次函數00yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)bx1x22axxx或xx12bxx2aRxx1xx2對于a0(或高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

式組axbc在解-c高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

(4).一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數圖像來分析：設ax+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax+bx+c,那么：

222

y0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0

o對稱軸x=xb2ay0b②若兩根都小于0，即0,0，則有0

2af(0)0

對稱軸x=b2ayox③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數m,n之間，即mn，

yox0bmnom則有2af(m)0f(n)0

⑤若兩個根在三個實數之間，即mtn，yX=b2anxf(m)0則有f(t)0

f(n)0常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位上的參數

omtX=nxb2a高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

例如：若方程x22(m1)xm22m30有兩個正實數根，求m的取值范圍。

0解：由①型得004(m1)24(m22m3)02(m1)0m22m30m1m1m1,或m3m3

所以方程有兩個正實數根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。解：因為有兩個不同的根，所以由

2255220(1)4(m1)0m2221m12f(1)011m101m15、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．

6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“高中數學必修1至必修5知識點總結（復習專用）人教版富寧一中

例題：畫出不等式組2xy50所表示的平面區(qū)域。解：略

y3x52yx5010、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．11、設a、b是兩個正數，則

ab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．2abab．212、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即13、常用的基本不等式：

a2b2①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22214、極值定理：設x、y都為正數，則有：

22s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．⑵若xyp（積為定值），則當xy4時，和xy取得最小值2p．

例題：已知x51，求函數f(x)4x2的最大值。44x5解：x

5，4x50由原式可以化為：41111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54xf(x)4x552當54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）時取到“=”號54x2也就是說當x1時有f(x)max2

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