北航制造技術(shù)實(shí)習(xí)報(bào)告習(xí)題答案1

數(shù)控基礎(chǔ)導(dǎo)論

解兆宏教學(xué)內(nèi)容：數(shù)控基礎(chǔ)知識(shí)教材版本：北京航空航天大學(xué)《制造實(shí)習(xí)》教學(xué)方法：課堂講授、學(xué)生編程練習(xí)

教學(xué)時(shí)間：講授100分鐘、練習(xí)60分鐘

教具：外圓車刀、切斷車刀、立銑刀各1把師范講解掛圖2張教學(xué)目的：了解數(shù)控的基本知識(shí)掌握手工編程的技能

引言：點(diǎn)名書P231至306實(shí)習(xí)報(bào)告P29、30、35簡(jiǎn)介數(shù)控組指導(dǎo)老師、機(jī)床、實(shí)習(xí)場(chǎng)地、教室一．教程第一天上午1。數(shù)控基礎(chǔ)2。編程（學(xué)生車銑各編一圖）下午講機(jī)床的結(jié)構(gòu)和操作第二天講CAXA軟件《平面作圖》（學(xué)生畫一個(gè)數(shù)銑圖案；畫一個(gè)數(shù)車圖案）第三天講CAXA《曲面、立體造型》二．評(píng)分按上級(jí)規(guī)定：每個(gè)同學(xué)兩個(gè)分?jǐn)?shù)技能：1．手編2。零件設(shè)計(jì)制作3。曲面造型表現(xiàn)：1．紀(jì)律2。安全3�？记�4。實(shí)習(xí)態(tài)度5。實(shí)習(xí)報(bào)告三.注意事項(xiàng)1．按規(guī)定穿工作服，女生戴帽子。2．同學(xué)一定不要遲到、早退。3．按時(shí)交作業(yè)。4．每個(gè)實(shí)習(xí)環(huán)節(jié)都要有競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)講課摘要一概述什么叫數(shù)控機(jī)床？即是采用數(shù)字信息技術(shù)控制的機(jī)床，是靈性極強(qiáng)的，高效的自動(dòng)化機(jī)床。1946年2月美國(guó)發(fā)明計(jì)算機(jī)；49年開始研制數(shù)控機(jī)床；52年世界第一臺(tái)三坐標(biāo)數(shù)控銑誕生，到74年數(shù)控機(jī)床經(jīng)歷五代，數(shù)控技術(shù)臻于成熟，迅速普及。后來(lái)又在質(zhì)量上、功能上得到不斷發(fā)展，（例如加工中心、柔性制造系統(tǒng)FMS、計(jì)算機(jī)集成系統(tǒng)CIMS）。加工中心---在一臺(tái)數(shù)控機(jī)床上可進(jìn)行多工序加工，并能自換刀、零件自動(dòng)裝卸、切硝自動(dòng)清除。柔性制造系統(tǒng)的作用：①多工位數(shù)控加工②自動(dòng)輸送和儲(chǔ)存③自動(dòng)檢測(cè)④自動(dòng)化管理目前使用的三臺(tái)新數(shù)控銑床型號(hào)是XK6325B/6，其中X代表銑床，K代表數(shù)控，機(jī)床所控制的軸數(shù)為３，系統(tǒng)是KND100。舊數(shù)控銑床型號(hào)是J320---1系統(tǒng)是FANUC---3M。都是三坐標(biāo)控制，可三坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)。XK6325B/6數(shù)控?fù)u臂銑床共有六個(gè)部分組成：床身部分、銑頭和變速部分、工作臺(tái)部分、橫進(jìn)給部分、升降臺(tái)部分、冷卻，潤(rùn)滑及電氣部分。數(shù)控車床八臺(tái)，其中兩臺(tái)型號(hào)為CJK1630其中C代表車床，JK代表簡(jiǎn)式數(shù)控機(jī)床，16代表最大回轉(zhuǎn)直徑為410mm，為最大加工長(zhǎng)度為750mm。系統(tǒng)是FANUC均為兩坐標(biāo)控制，可兩坐標(biāo)聯(lián)動(dòng)。兩坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床加工平面曲線；三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床加工立體曲面。加工中心分為以鏜銑為主的“鏜銑類加工中心”二臺(tái)和以車為主的“車類加工中心”一臺(tái)。其中一臺(tái)鏜銑類加工中心型號(hào)為VMC750系統(tǒng)采用美國(guó)VICKERS公司生產(chǎn)的ACRAMATIC2100E數(shù)控系統(tǒng)。VMC750銑加工中心組成部分有：主軸箱、刀庫(kù)、立柱、工作臺(tái)、滑板、床身、控制箱、電氣柜。三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的型號(hào)是0101DH/T-P目前我國(guó)數(shù)控機(jī)床使用的系統(tǒng)還有華中工學(xué)院的華中1號(hào)、德國(guó)的西門子CAD/CAM軟件除了我們常用的caxa系列外，還有美國(guó)的Por/E、UG法國(guó)的CIA等兩坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床加工平面曲線；三坐標(biāo)數(shù)控機(jī)床加工立體曲面數(shù)控機(jī)床適合加工多品種、中小批量和形狀復(fù)雜的零件加工。數(shù)控機(jī)床的加工過(guò)程：準(zhǔn)備階段；編程階段；準(zhǔn)備信息載體；加工階段。二數(shù)控機(jī)床的組成：控制介質(zhì)、控制機(jī)、伺服機(jī)構(gòu)、測(cè)量機(jī)構(gòu)、機(jī)床五部分伺服機(jī)構(gòu)的作用：接收來(lái)自控制機(jī)的進(jìn)給信號(hào)，驅(qū)動(dòng)機(jī)床工作臺(tái)，加工出合格的零件。數(shù)控車床與普通車床的主要區(qū)別是使用伺服電機(jī)控制實(shí)現(xiàn)兩軸聯(lián)動(dòng)。三數(shù)控系統(tǒng)分類1．按運(yùn)動(dòng)方式分三類：⑴點(diǎn)位控制系統(tǒng)用于鉆床和沖床⑵直線控制系統(tǒng)用于車床⑶連續(xù)控制系統(tǒng)用于銑床和加工中心2．按控制方式分三類：開環(huán)控制系統(tǒng)、閉環(huán)控制系統(tǒng)、半閉環(huán)控制系統(tǒng)。開環(huán)控制系統(tǒng)不帶位置測(cè)量裝置，不能將控制誤差反饋的系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)測(cè)量裝置檢測(cè)出工作臺(tái)的實(shí)際位移量，經(jīng)反饋回路送回控制機(jī)去與指令值進(jìn)行比較，用差值進(jìn)行控制，直到差值消除。閉環(huán)控制系統(tǒng)能消除機(jī)床傳動(dòng)的間隙。半閉環(huán)控制系統(tǒng)---測(cè)量裝置安裝在伺服電機(jī)的端部，只檢測(cè)系統(tǒng)的一部分。四數(shù)控機(jī)床加工的特點(diǎn)：①適應(yīng)性強(qiáng)②有較高的生產(chǎn)率③有較高的重復(fù)定位精度和穩(wěn)定的加工質(zhì)量④縮短生產(chǎn)準(zhǔn)備時(shí)間，減輕勞動(dòng)強(qiáng)度⑤利于生產(chǎn)管理現(xiàn)代化五名詞解釋1．脈沖當(dāng)量---控制機(jī)每發(fā)出一個(gè)脈沖，機(jī)床運(yùn)動(dòng)部件相應(yīng)的位移量叫脈沖當(dāng)量。目前使用的數(shù)控車、銑床一個(gè)脈沖當(dāng)量是0.001mm；加工中心則是0.0001mm。目前數(shù)控機(jī)床加工精度0.015/300mm2．插補(bǔ)---在一條線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)之間進(jìn)行數(shù)據(jù)密化計(jì)算過(guò)程。插補(bǔ)直線或曲線時(shí)不會(huì)影響加工精度，因?yàn)楸平�的誤差小于一個(gè)脈沖的當(dāng)量。插補(bǔ)四個(gè)節(jié)拍：偏差判別→進(jìn)給控制→新偏差判別→終點(diǎn)判別。3．刀具半徑補(bǔ)償是刀具中心自動(dòng)從零件輪廓上偏離一個(gè)指定的刀具半徑黑板畫圖講解。4．尖角過(guò)度只要輪廓線上的斜率不連續(xù)就需要尖角過(guò)度（畫圖講解）。5．絕對(duì)制編程G90:采用的是絕對(duì)坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)是唯一的，不變的。增量制編程G91:采用的是相對(duì)坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)是很多的，變化的（畫圖講解）六．編程1．坐標(biāo)系的建立數(shù)控機(jī)床的坐標(biāo)軸和運(yùn)動(dòng)方向均已標(biāo)準(zhǔn)化。平行主軸中心線的刀具運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閦軸，遠(yuǎn)離方向?yàn)檎�，X軸為水平方向，垂直于Z軸并平行于工件的裝夾面，軸用右手直角笛卡爾坐標(biāo)系確定。Y對(duì)于銑床、鏜床、鉆床等主軸帶動(dòng)刀具旋轉(zhuǎn)的軸是Z軸，X、Y則平行于工件裝夾平面。對(duì)于車床、磨床和其它加工旋轉(zhuǎn)體的機(jī)床，主軸帶動(dòng)工件旋轉(zhuǎn)，Z軸與主軸旋轉(zhuǎn)中心重合，平行于床身導(dǎo)軌，X軸與Z軸垂直，橫臥于床身導(dǎo)軌。數(shù)控車是X、Z兩坐標(biāo)控制的機(jī)床，X坐標(biāo)用零件的直徑表示，所以永遠(yuǎn)是正值；Z坐標(biāo)與機(jī)床主軸（零件軸線）重合，刀具向右移動(dòng)為正方向，反之為負(fù)方向。不同的數(shù)控系統(tǒng)，編程代碼和操作指令也不完全相同。編程坐標(biāo)系是編程時(shí)假定工件不動(dòng)，刀具相對(duì)于工件運(yùn)動(dòng)，用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系X、Y、Z進(jìn)行編程。數(shù)控機(jī)床編程時(shí)每程序段尺寸字的坐標(biāo)值為刀具要移動(dòng)的終點(diǎn)坐標(biāo)，如果尺寸字不變?cè)诔绦虻南乱欢慰梢允÷洌琑不能省。G代碼表示準(zhǔn)備功能；M代碼表示輔助功能。2．工件坐標(biāo)系原點(diǎn)的確定在編制加工程序時(shí)一般習(xí)慣是把編程坐標(biāo)系設(shè)在軸線右端（數(shù)控車）、對(duì)稱中心（數(shù)控銑）位置上。具體解釋如下：數(shù)控車工件坐標(biāo)系原點(diǎn)確定在零件的軸線和右端面的交點(diǎn)上。數(shù)控銑工件坐標(biāo)原點(diǎn)的確定以坐標(biāo)便于運(yùn)算為原則。一般有對(duì)稱中心的，對(duì)稱中心就是原點(diǎn)；有對(duì)稱軸的，原點(diǎn)應(yīng)定在對(duì)稱軸上；有直線有曲線的，原點(diǎn)的確定要照顧曲線；有的圖紙要照顧設(shè)計(jì)基準(zhǔn)。數(shù)控機(jī)床開機(jī)運(yùn)行程序之前應(yīng)首先讓機(jī)床回零點(diǎn)，然后才能執(zhí)行下面操作。操作機(jī)床時(shí)出現(xiàn)緊急情況后可采取中斷機(jī)床執(zhí)行程序的方法應(yīng)按下急停鍵防止事故發(fā)生。3．起刀點(diǎn)的確定數(shù)控車的起刀點(diǎn)確定在上述坐標(biāo)系中X100Z100的點(diǎn)上。數(shù)控銑的起刀點(diǎn)一般確定在零件圖任意一條直線延長(zhǎng)線20毫米的點(diǎn)上。若多條直線，盡量選平行X軸或Y軸的直線；若沒(méi)直線，則選在任意一條圓弧的切線上。4．編程的基本格式O____；N__G__X__Y__Z__R__F__H__S__T__M__；O____表示程序號(hào)，后面是任意四位數(shù)；N__表示程序段號(hào)，后面是任意14位數(shù)；G__表示準(zhǔn)備功能，后面是2位數(shù)，例如G00表示快速移動(dòng)；G01表示直線移動(dòng)G02表示順圓移動(dòng)；G03表示逆圓移動(dòng)；G41表示左刀補(bǔ)；G42表示右刀補(bǔ)；G54G59建立工件坐標(biāo)系等數(shù)十種。X__Y__Z__表示坐標(biāo)字；R__表示圓弧半徑F__表示進(jìn)給量（刀移動(dòng)的速度）；H__刀具半徑補(bǔ)償?shù)拇��?hào)；S__主軸旋轉(zhuǎn)的速度；T__刀具代號(hào)M---輔助功能，用于開關(guān)控制。例如M03表示主軸右轉(zhuǎn)；M05表示主軸停；M30表示程序結(jié)束。數(shù)控銑編程的規(guī)律和要點(diǎn)是刀具每次移動(dòng)寫終點(diǎn)坐標(biāo)。上一句的終點(diǎn)是下一句的起點(diǎn)（第一句應(yīng)寫初始起點(diǎn)的坐標(biāo)）。大于3π/2小于2π的弧是優(yōu)弧，應(yīng)編一段，整圓編兩段。Z方向的自動(dòng)控制是銑刀套筒的伸縮。編程方法編制數(shù)控車加工程序時(shí)，程序段中尺寸字Ｘ值永遠(yuǎn)為正值，代表直徑。編程注意事項(xiàng)：1.R不能省略。2.上一句有R，本句沒(méi)R，要加G01。數(shù)控銑零件圖：數(shù)控銑程序單：O____；N10G54G90Z2N20M03N30G00X3Y-19.774N40G01Z-2F500N50X61.65Y10.876N60G03X55.325Y9.957R-11N70G02X12.775Y15.388R40N80G03X3Y-19.774R-20N90G01Z2M05N100G00X0Y0N110M30數(shù)控車零件圖：數(shù)控車程序單：N10T11；N20G00X27Z0；N30G01X0F0.08N40G00Z1N50X23N60G01Z0F0.1N70X25Z-1F0.08N80Z-20N90X35Z-30N100Z-50N110X45N120Z-60N130G03X45Z-80R30N140G01Z-100N150G00X100Z100N160T22N170GX47Z-104N180G01X0F0.05N190X100Z-10024題：數(shù)控車零件圖：（起刀點(diǎn)Ｘ100Ｚ100）N10T11；N80X30Z-21:N20G00X22Z0；N90Z-54N30G01X0F0.05:N100G00X100Z100；N40X18F0.08；N110T22:N50X20Z-1；N120X32Z-54:N60Z-20；N130G01X0F0.05:N70X28：N140G00X100Z100；25題：數(shù)控銑圖形及程序:漢字不抄N10G54Z2；設(shè)定坐標(biāo)系N20M03；銑刀右轉(zhuǎn)N30G00G90X-50Y-50；快速由原點(diǎn)到起刀點(diǎn)絕對(duì)制N40G01Z-2F100；直線慢速下刀（由Z2到Z-2）N50Y-30F500；到X-50Y-30N60G02X-40Y-20R10；順圓R10終點(diǎn)是X-40Y-20N70G01X20；線走刀X20Y-20N80G03X40Y0R20；逆圓R20終點(diǎn)是X40Y0N90X-6.915Y39.398R40；逆圓R40終點(diǎn)是X-6.915Y39.398N100G01X-40Y20；直線走刀X-40Y20N110Y-20；直線走刀X-40Y-20N120Z2M05；抬刀停轉(zhuǎn)N130G00X0Y0；快速回原點(diǎn)N140M30；結(jié)束以上均為最簡(jiǎn)化。如果問(wèn)，兩句能不能合并，應(yīng)回答：不能。因?yàn)閮啥蔚淖鴺?biāo)不同。用caxa數(shù)控車、制造工程師軟件畫加工零件圖形時(shí)應(yīng)分別注意什么問(wèn)題？數(shù)控車：①最細(xì)直徑6mm；②槽寬不小于3mm數(shù)控銑：①不重線；②等距線不小于1mm圖形交互式自動(dòng)編程步驟及所碰到的問(wèn)題應(yīng)用→軌跡生成→平面輪廓→拾取曲線→生成代碼→傳輸→加工。主要是圖形有錯(cuò)，修改后方能生成程序。畫球體時(shí)，需用“旋轉(zhuǎn)增料”，不能用“拉伸增料”。答疑（同學(xué)應(yīng)鍛煉獨(dú)立解決問(wèn)題的能力）1．畫數(shù)控車的矩形四個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)實(shí)什么？答：（0，0）（-60，0）（-60，10）（0，10）。2．畫數(shù)控銑的圖怎樣開始？答：（1）拾取“整圓”圖標(biāo)（2）拾取“原點(diǎn)”（3）輸入半徑16（4）拾取“顯示全部”（5）畫任意圖形3．畫數(shù)車圖形注意什么？（1）答：右邊可以是尖的，也可以是圓的，但左邊必須至少￠6mm（2）除右邊第一點(diǎn)，曲線上其余各點(diǎn)距中心線3mm（3）槽的平面。寬3mm⑷向下凹的尖角要用R1.5的弧過(guò)渡。4．畫數(shù)銑圖形注意什么？答：（1）不能畫重線（2）等距線距離1mm5．寫字有哪些嚴(yán)格規(guī)定？答：⑴字體：漢字、西文均為”A”打頭，后面帶“MS”的，選第三種（2）字?jǐn)?shù)：漢字四個(gè)或西文六個(gè)6．怎樣平移？（1）拾取“平移”圖標(biāo)（2）整理菜單為：兩點(diǎn)、移動(dòng)、非答：正交（3）拾取圖形（4）右鍵確定（5）拾取基點(diǎn)7．怎樣鏡像？（1）拾取“鏡像”圖標(biāo)（2）拾取鏡像軸首點(diǎn)、未點(diǎn)（如沒(méi)有，答：可畫一條）（3）拾取圖形（4）右鍵確定8．我的圖形已存，為什么打不開？答：⑴網(wǎng)絡(luò)忙。⑵路徑不對(duì)。正確路徑是：先打開CAXA軟件，在拾取左上角“文件”-打開-網(wǎng)絡(luò)鄰居-整個(gè)網(wǎng)絡(luò)-MicrosoftWindowsNetwork-Mshome-數(shù)車（銑）-文件名-打開。如果還打不開，可能軟件用錯(cuò)了，重畫。9．實(shí)體造型規(guī)律是什么？答：（1）把復(fù)雜零件分成多個(gè)簡(jiǎn)單的塊（像搭積木）（2）選平面-繪草圖-畫封閉圖-退草圖-拉伸增（除）料。10．畫“軸承座”難點(diǎn)是什么？答：難點(diǎn)是畫“側(cè)板”，畫封閉圖時(shí)，少畫了一條底線，要在“草圖”狀態(tài)下補(bǔ)上（絕大多數(shù)同學(xué)問(wèn)題出在此）。11．如何剪裁四種方法：答：①剪裁②拉伸③打斷刪除④曲線過(guò)渡（選用“尖角”過(guò)渡）詳細(xì)操作自己試。12．如何縮放？答：①拾取“縮放”圖標(biāo)②選擇“移動(dòng)”③改寫比例④拾取“基點(diǎn)”⑤拾取元素，右鍵。13．如何旋轉(zhuǎn)？答：①拾取“平面旋轉(zhuǎn)”圖標(biāo)②填寫份數(shù)、度數(shù)③拾取中心④拾取元素，右鍵14．如何圓陣列？答：①點(diǎn)“陣列”圖標(biāo)②填寫“份數(shù)”③圓陣④拾取圖，右確⑤拾取中心關(guān)于數(shù)控銑圖形的檢查：15．如何生成刀具軌跡？答：拾取應(yīng)用→軌跡生成→平面輪廓→填寫參數(shù)表（參看說(shuō)明一）→確定→拾取任意一條曲線（參看說(shuō)明二）→查看每一條曲線是否能生成刀具軌跡（參看說(shuō)明三）。16．如何填寫參數(shù)表？答：①底層高度-0.1②每層下降0.1③走刀方式“單向”④輪廓補(bǔ)償”O(jiān)N”17．如何拾取曲線：答：①閉曲線（需點(diǎn)五次鼠標(biāo):三下左鍵，兩下右鍵）②開曲線（需點(diǎn)六次鼠標(biāo):左左右左右右）拾取任意一條曲線，按兩下左鍵，如果不出‘雙向箭頭’說(shuō)明是開曲線，需要再按一下右鍵，再按一下左鍵，再按兩下右鍵18．如何查看每一條曲線是否生成刀具軌跡：答：如果曲線變綠，并且有豎直的下、抬刀紅線，即可。19．常見(jiàn)的問(wèn)題有哪些？答：①8字形②重線③圖形疊加④特小圓�、萏匦〗嵌刃栊薷暮�，重新拾取“應(yīng)用”……20．如果每一條曲線都生成刀具軌跡，再怎么辦？答：保存。

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2-1已知三矢量i2iA2ixiyizBixizCixyz求：AB

AC

(AB)C

A與B,B與C,C與A之間夾角的余弦A與C為一對(duì)鄰邊的平行四邊

形的面積

解：iiA2ixyzBixizi2iCixyz(1)AB3ixiy2i3i(2)AC3ixyz2(3)(AB)C11(4)cos(A^B)1011102212636AB|A||B|

(^C)cosBBC3

6|B||C|(^A)cosCCA5

6|C||A|ix（5）|AC|det21iy11iz1211

2-2對(duì)于任意的三個(gè)矢量A,B,C,證明：A(BC)B(AC)C(AB)

A(BC)B(CA)C(AB)

解：對(duì)本題可采用兩種方法計(jì)算：直接計(jì)算和適當(dāng)選取坐標(biāo)系。使其一軸與一矢量平行的方法，下面我們分別介紹這兩個(gè)方法。⒈直接計(jì)算法：

A(BC)B(AC)C(AB)

ixiybycyizbzczixaxbyczbzcyiyaybzcxbxczizazbxcybycx左=(ixaxiyayizaz)bxcx

axbxcxaybycyazczcxaxcybyaycz2bxaxbycyaybzbzbxbz(1)cxazczB(CA)

azA(BC)B(CA)

axbxcxaybycyazczcxaxcybyaycz2cxbxcyaybybzbxbz(1)axazazC(AB)bzczA(BC)B(AC)C(AB)A(BC)B(CA)C(AB)

2．在不失一般性情況下，對(duì)于任意給定的A，B，C，選取坐標(biāo)系，使X軸與C平行，

aiaiaXOY面過(guò)B,C,則有AixxyyzzbibBixxyyCixcx

bib，因?yàn)檫@樣并不具有一般性）（注意，這里不能說(shuō)取Cixcx，Bixxyy于是有：

左A(BC)ix(ixaxiyayizaz)bxcxiyby0iz00

(ixaxiyayizaz)(izbycx)iyaxbycxixaybycx右B(AC)C(AB)(ixbxiyby)[(ixaxiyayizaz)(ixcx)](ixcx)[(ixaxiyayizaz)(ixbxiyby)]

(ixbxiyby)axcxixcx(axbxayby)ixaxbxcxiyaxbycxixaxbxcxixaybycxiyaxbycxixaybycx左右

左A(BC)ix(ixaxiyayizaz)bxaxiyby0iz00

(ixaxiyayizaz)(izbycx)azbycz中B(CB)ixiy0ayiz0az

(ixbxiyby)cxax

(ixbxiyby)(iyazcxizaycx)azbycx右C(AB)ixiyaybyizaz0

(ixcx)axbx

(ixcx)[ixazbyiyazbxiz(axbyaybx)]azbycx2-3已知B和A都是常量。求X，使

XBA

解：在不失一般性的情況下，可設(shè)AiXAXiYAYiZAZBiXBXiYBYiZBZ

其中AX，AY，AZ，BX，BY，BZ均為常數(shù)。

顯然，要使XBA能成立，必須，有A⊥B，此時(shí)才能有解。

另外，由矢量的有關(guān)知識(shí)可知，只要A⊥B，那么，可以找到任意多的X,使X⊥A，且XAB。更具體的說(shuō)，可通過(guò)調(diào)整X與A矢量之間的夾角，來(lái)調(diào)整X的值。所以，若

有解，解也不是唯一的。這表明，使用矢量做除法，是沒(méi)有意義的。2-4已知兩個(gè)矢量場(chǎng)

2xizixyAixyz3yixzi2yBixyz求：矢量場(chǎng)FAB

并證明在空間各點(diǎn)，F(xiàn)x,y,z的場(chǎng)矢量都與A的場(chǎng)矢量垂直。

解：依題意

2xizixyi3yixzi2yFABixyzxyzixiyzxzizxy2y=2x3y

yzx22ixy3y4iz2x23y=ixyz根據(jù)矢量垂直的定義，若F與A垂直必有FA0

yzx22ixy3y4iz2x3yi2xizixy故FAixyzxyz=yzx22xxy3y4zz2x3yxy

220

所以，在空間各點(diǎn)，F(xiàn)總是與A垂直。

A3i4i5i2-5已知xyz，求A在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)中的表達(dá)式。

解：①若A位于原點(diǎn)，即如圖2-5-1（孟春，補(bǔ)出圖）所示，則有A3ix4iy5iz

在柱坐標(biāo)系中

ArCAirC=

4i5iicosisin3ixyzxy=3cos+4sin=335445

=5

(圖2-5-1)

AAi4i5iicosisin=3ixyzxy=0

5AzAizi)A5(irCz其中irirCCtg143

在球坐標(biāo)系中：ArSAirS4i5iisincosisinsinicos=3ixyzxYz其中tg1434

ArS52

(3i4i5i)(icoscosicossinisin)AAiXYZxyz00AAiA52irS其中irirSS4,tg143

②若A位于X0,Y0,Z0出,即如圖2-5-2所示,由柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的變換關(guān)系

(孟春，補(bǔ)出圖)坐標(biāo)單位向量為此點(diǎn)X0,Y0,Z0的坐標(biāo)單位向量

icosisinixrCisinicosiyrCiizz4i5得:Aix3iyz3cosi4sini4cos3siniz5rC其中siny0xy2020cosx0xy2020

3x04y04x03y05AirCiiZ2222x0y0x0y01其中:ir,i均為tgC,y0x0處的ir,i,即:

C,irCirCtg1y0x0

iitg1y0x0

同理球坐標(biāo)系中

isincosicoscosisinixrSisinsinicossinicosiyrSicosisinizrS4i5iA3ixyzirS3sincos4sinsin5cosi4cos3sin1cos4cossin5sini3cos其中sin(x0y0)2xyz20202022cosz0xyz202020

siny0xy2020cosx0xy2020

223x04y05z03x0z04y0z05x0y04x03y0AiiirS2222222222x0y0z0x0y0z0x0y0x0y0,i均為tg其中irS,i1x0y0z022tg1y0x0,i,即處的irS,iirSirStg122x0y0,tgz01y0x0

ii1tg22x0y0,tgz01y0x0

iitg122x0y0,tgz01y0x0

2-6已知E=ixiyiz,ix2iy4iz,2ixiyiz,

求：E，E，E

解：E，E，E分別為E在，，上的投影。

EEi，EEi，EEi，，，的單位矢量為：

i121ix2iy4iz

1iii2ixyz6iz1

ix2iy211432ix3iyiz

i1142ix3iyiz

EEi2121

E26Ei3

14EEi

72-7球坐標(biāo)中點(diǎn)的表示為(rs,,),已知P1(5,

,),P2(4,,)。6436求：P1，P2之間的距離及P1P2的單位矢量。

解：為求得P1P2兩點(diǎn)間的距離，應(yīng)先將P1P2換成直角坐標(biāo)

524524P1：x1rssincos532y1rssinsin

z1rscos

同理P2：x23y2P1P2兩點(diǎn)間的距離為d3z22

(x2x1)(y2y1)(z2z1)

222=41P1P2的單位矢量為

1522562103

(xx)i(yy)i(zz)P1P2=ix21y21z21P1P2=ix(3i52(352)i(253))iyz442

411512＋562－103[ix(352553)iy(3)iz(2)]442P1P2=

P1P2d

2-8已知標(biāo)量場(chǎng)

f(r)arcsinzxy

22

（1）求它的等值面方程并指出等值面的幾何形狀

（2）求出過(guò)點(diǎn)（6，8，5）等值面方程并畫出該等值面的圖形。（3）指出標(biāo)量場(chǎng)f(r)的實(shí)數(shù)定義域

解：（1）等值面方程為：令:arcsinzxy22c(c是常數(shù))

即有：

2zxy2c其中(0c1)

或zcx2y2

可見(jiàn)，等值面是一族不含頂點(diǎn)（x=0,y=0）的圓錐面。（2）過(guò)(6,3,5)的等值面方程為：

將x=6，y=3，z=5代入等值面方程中，可求得

c12

1所以，等值面方程為tg所示。（3）

xy222(x2y20)其圖形為不含原點(diǎn)的錐面。如圖2-2

實(shí)數(shù)定義域?yàn)?/p>

0，

zxy221

或：

434rs0

2-9已知標(biāo)量場(chǎng)

222f(r)x2y2z

（1）畫出過(guò)點(diǎn)（1，1，1）的等值面

（2）求出這個(gè)等值面在該點(diǎn)的發(fā)線方向。

（3）求出f(r)在該點(diǎn)沿Aixiyiz方向的導(dǎo)數(shù)解：（1）等值面方程為：x2y2z0

cf(1,1,1)1x2y2z2222221

為橢圓雙曲面。其圖形見(jiàn)圖2-9。

（2）由梯度性質(zhì)可知，梯度的方向與等值面垂直所以f的方向即為法線方向

f2xix4yiy4ziz

f(1,1,1)2ix4iy4iz

inff(1,1,1)13ix23iy23iz

（3）根據(jù)方向?qū)��?shù)的計(jì)算式，可知

dfdAofA即為f(r)在A方向的方向?qū)��?shù)

A1o(ixiyiz)A3AdfdA(1,1,1)

o(fA)(1,1,1)1033

2-10廣義正交坐標(biāo)系中證明（2-41）式解：

(UV)VUUV（VU）

設(shè)廣義坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量為u1,u2,u3,坐標(biāo)單位矢量為i1,i2,i3,長(zhǎng)度系數(shù)為h1,h2,h3,則有：UU(u1,u2,u3)VV(u1,u2,u3)

(UV)[U(u1,u2,u3)V(u1,u2,u3)]i1UVh1u1Vu2i2UVh2u2i3UVh3u3UVu3)i11h1(VUu1UVu1)i21h2(VUu2U)i31h3(VUu3

（i11Uh1u1i21Uh2u2i31Uh3u3)V（i11Vh1u1i21Vh2u2i31Vh3u3)U(U)V(V)U

(UV)(U)V(U)U

將上式中U,V對(duì)調(diào)，則有

(VU)(V)U(U)V(U)V(V)U

(VU)(U)V(V)U(VU)

12-11已知(r)3rsrs，求(r)在（x=1,y=0,z=1）點(diǎn)處的值。指出(r)與z軸的

夾角。

解：的梯度為：

3irir[(2)1]

srssrs在（1，0，1）處，rsxyz2222

11所以|(1,0,1)ir|(1,0,1)()()ir|(1,0,1)

s22s1與z軸的夾角為：|(1,0,1)izirs|(1,0,1)iz

212cos|(1,0,1)24

而iz

2cos(aiz)|(1,0,1)iziz|(1,0,1)22

所以?shī)A角為

34。

(x2y2)3i，2-12已知平面矢量場(chǎng)F(r)ixy求沿下列路徑由P1(1,2)到P2(2,4)的路徑積分值；

1）由P1到P2的直線，

2）（1，2）（2，2）（2，4）的折線；解：路徑積分為：22Fds(xy)dx3dy

CC對(duì)路徑1，有y=2x，所以dy=2dx代入上式中，有

C1Fds21(x4x)dx6dx22533P2。

Fds，

對(duì)于路徑2，F(xiàn)dsC2P0P1FdsP0在P1P0段，y=2,dy=0,在P0P2段，x=2,dx=0

CaFdsP0P1(xy)dx3dy222P2P0(xy)dx3dy2221(x4)dx2423dy37312.33

2-13計(jì)算rds，其中rC2xyz22，c為（孟春，補(bǔ)出圖）

解：1）（0，0，0）（1，0，0）（1，2，0）的折線

2）（0，0，0）（1，2，0）的直線。

可以把積分分為兩段進(jìn)行。第一段：y=0,z=0,x為01；第二段：x=1,z=0,y為02；

11）C[(xyz)]ds2222210xdx220(1y)dy213(y13y)|2205

（2）（0，0，0）（1，2，0）的直線方程為：y=2x,z=0

1[(xyz)2]dsc2222110(x4x)(1y)2dx

222=5x2122dx=

01553

2-14計(jì)算

zrs

解：zrscos

zrscos

22-15計(jì)算

0irsd

isincosisinsinicos解：irsxyz20dirs20sincosisinsinicos)d(ixyz20(ixsinsiniysincosizcos)|iz2cos2-16證明()r1111i()i，2r2rrrr

其中，r222(xx)(yy)(zz)，和分別表示對(duì)（x,y,z）和(x,y,z)的

坐標(biāo)矢量運(yùn)算。

r(xx)(yy)(zz)

2221r[1(xx)(yy)(zz)1222]

=(ixiyiz)xyz(xx)(yy)(zz)222

=[ix(xx)iy(yy)iz(zz)]1222(xx)(yy)(zz)3

=[ix(xx)iy(yy)iz(zz)]rr31(xx)(yy)(zz)2223

=1rirr2

1(xx)(yy)(zz)222

ii)(ixyzxyz1(xx)(yy)(zz)1(xx)(yy)(zz)

rr3222

(xx)i(yy)i(zz)][ixyz1i2rr2223

2-17已知靜電場(chǎng)強(qiáng)度E(r)等于竟電位(r)的負(fù)梯度。即E(r)(r)，對(duì)于下

列電位場(chǎng)，求他們的電場(chǎng)強(qiáng)度。

xych①(r)V0sin

aa2②(r)V0(xyz)

2③(r)V0rssin2cos

④(r)V0rccosrc⑤(r)V0ln()

a解：E

⑴(r)V0sin

xachya(V)

yxEixV0cosxchiysinshy

aaaaaacosxchyisinxshy)(V/M)V0(ixyaaaaa2⑵(r)V0(xyz)(V)E

2xyix2i)(V/M)V0(ixyz⑶(r)V0rs2sin2cos(V)

EV0[ir2rssin2cosirs2cos2cosis1rssin(rssin2sin)]

22rsin2cosV0[ii2rscos2cosi2rscossin]rsssin2cos2rsV0[iicos2cosicossin](V/M)rs⑷(r)V0rccos(V)

isinVcosiisinViEV0cosirC0rC0x(V/M)

r（5）(r)V0ln(C)(V)

aaV11EV0irCV0irC0irCarCrCrC(V/M)

2-18對(duì)于良態(tài)電場(chǎng)Er可以用r0Er來(lái)求出它的電荷分布，試用此方法求出

上題中各電場(chǎng)的電荷分布。

（1）0E

sinxshy(V/M)EV0icosxchyixyaaaaaV000Easinxchysinxchy0aaaaaa0(C/M)

22E（2）V0ix2xyiyxiz(V/M)

0EV002y20V0y(C/m3)

sin2cosicos2cosicossin（3）E2rSV0irS(V/M)

0E1rS2sin2cossinrScos2cosrSsincos1120V02rrsinrsinrSSSScoscos320V03sin2cossin2sincossinsincos20V03sin2coscos6sinsin2coscoscossincoscos20V03sin2coscos6sincoscoscossinsin20V03sin2cos3sin2cos0(C/M3)

（4）EV0ix(V/M),0E0V000(C/M)

(rCV0rC)0(C/m3V（5）E0irCrC1(V/M),0E0V0rCrC)(rC0)

（第18題后面到第20題到那里去了？）P67頁(yè)

2-21由積分形式的電場(chǎng)高斯定律（1-32）式及散度的定義式（2-47）式導(dǎo)出電場(chǎng)高斯定律的微分形式（2-30）式。

解：積分形式的電場(chǎng)高斯定律為：

Eda=dv

sv其中s為任意曲面，v為s所圍的體積。將上式兩端同除體積V，可得：

Edadvs=v

VV對(duì)上式，令s向V內(nèi)任一點(diǎn)P收縮，而使V趨于零，取極限。則有：Edadvs0vlimPlimV0(P)V0(P)VV由散

P點(diǎn)的散度，既Ep

由于P點(diǎn)是V內(nèi)任意一點(diǎn)，因此，該式對(duì)V內(nèi)各點(diǎn)都成立。因此下標(biāo)P可略去，即：

E

這就是微分形式的電場(chǎng)高斯定律。

2-22在直角坐標(biāo)中證明（2-117）-（2-122）六式。

解：（1）(fA)fAfA

AfiAf左=(ixAXfiyyzzixiyyfAyizzfAz=

xfAx

=ix(fAzyfAyz)iy(fAxzfAzx)iz(fAyxfAxy)

AyAzff=ix(AZfAyf)

yyzzAyAxAxAZffffiy(AxfAZf)iz(AyfAxf)zzxxxxyy=

ff(fAfA)i(fAfA)i（AA)ixzyyxzzyxyzzxxyAAAxAzfix(z)iy(x)iz(yzzxxyAyAy)

=fAfA右（以下部分皆未輸入，為第五章部分內(nèi)容，這是哪個(gè)笨

蛋干的好事？）

根據(jù)場(chǎng)的疊加原理，我們可以把系統(tǒng)分成兩部分：

rsa,(rs)2(rs)0rsb,2(rs)3(rs)0(1)rs,3(rs)0prs0,1(rs)cos240rsra,(r)(r)V0s1s2srb,(r)(r)V0s2s3s(2)r,(r)03ssr0,(r)01ss根據(jù)邊界條件（1），我們可以把1的試探解寫成：

B1(rs)(A1rs1)cos2rsrs0時(shí)，1(rs)p40rs2cos

B1p40

rsa時(shí)，10

(A1aB1a2)cos0

A1B1a2r40a1rs23

2p400(0rsa3)cos0rsaarsbrsb(V)

由邊界條件（2），選定3的試探解為：

B2(rs)(A2)(C2D2ln(tg)(F2G2)

rs2由于系統(tǒng)與,無(wú)關(guān)，則D2G20考慮到邊界條件(2)

M(常數(shù)）MBA22rs200rsaarsbrsbA20

2(V)

rs0,當(dāng)rsb時(shí)V0V0bV0rs3V0BrsbBV0b0rsaarsbrsb(V)212rs1p()cosV0324ars0V0bV0rs300rsarsbrsb(V)

528.用代入法證明rs0P2(cos)滿足拉普拉斯方程。13)解：查表可知：P2(cos2球坐標(biāo)系中的拉氏方程為：

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