導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．

多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)的概念1．平均變化率

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfxxx2x1x注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動的平均速度。2.導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是，limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x

我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

x

3.平均變化率的幾何意義

平均變化率的幾何意義是割線的斜率；4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是f"(x0)，

"切線方程為yy0f(x)(xx0).

5.導(dǎo)數(shù)的背景

（1）切線的斜率（2）瞬時速度（3）邊際成本

6.導(dǎo)函數(shù)

當(dāng)x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).yf(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y,即

f(x)limx0f(xx)f(x)

x

二.導(dǎo)數(shù)的計算

1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

1）若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0；

12）若f(x)x,則f(x)x;

3）若f(x)sinx,則f(x)cosx4）若f(x)cosx,則f(x)sinx;

xx5）若f(x)a,則f(x)alna

6）若f(x)e,則f(x)e

xx1xlna18）若f(x)lnx,則f(x)

xx7）若f(x)loga,則f(x)2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3）[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]23.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即yf(g(x))為一個復(fù)合函數(shù)yf(g(x))g(x)

三、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，

如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.求函數(shù)yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值;3.函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

（2）將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.四、生活中的優(yōu)化問題

利用導(dǎo)數(shù)的知識，求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題

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導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．

多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值函數(shù)的最值限limf"(x0)=lim1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量

x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個極limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

-1-

注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù)yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當(dāng)于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)|x|在點(diǎn)x00處連續(xù)，但在點(diǎn)x00處不可導(dǎo)，因為時，

yyy不存在.1；當(dāng)x＜0時，1，故limx0xxxy|x|，當(dāng)x＞0xx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它

們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如：設(shè)f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點(diǎn)例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0是函數(shù)的極小值點(diǎn).8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0（C為常數(shù)）(six11x2

"x)os(xn)"nxn1（nR）s"sinx(arcc(cox)11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex

(arcoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

y"1對兩邊求導(dǎo)可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)

(xb1)(xb2)...(xbn)1x

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