高中數(shù)學函數(shù)知識點總結
高中數(shù)學函數(shù)知識點總結
(1)高中函數(shù)公式的變量:因變量,自變量。
在用圖象表示變量之間的關系時,通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。(2)一次函數(shù):①若兩個變量不等于0)的形式,則稱
,間的關系式可以表示成是的一次函數(shù)。②當=0時,稱
(為常數(shù),是的正比例
函數(shù)。
(3)高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質①把一個函數(shù)的自變量與對應的因變量
的值分別作為點的橫坐標與縱坐標,
在直角坐標系內描出它的對應點,所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)
=的圖象是經過原點的一條直線。0,0,
O,則經2、3、4象限;當0時,則經1、3、4象限;當
0,0,
0時,則0時,
③在一次函數(shù)中,當經1、2、4象限;當則經1、2、3象限。④當
0時,的值隨值的增大而增大,當0時,的值隨值的增大而
減少。
(4)高中函數(shù)的二次函數(shù):①一般式:
(),對稱軸是
頂點是②頂點式:③交點式:
;((),對稱軸是),其中(
頂點是),(
;)是拋物線與x
軸的交點
(5)高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質①函數(shù)
的圖象關于直線
對稱。
②時,在對稱軸()左側,值隨值的增大而減少;在對稱軸
()右側;的值隨值的增大而增大。當時,取得最小值
③時,在對稱軸()左側,值隨值的增大而增大;在對稱軸
()右側;的值隨值的增大而減少。當時,取得最大值
9高中函數(shù)的圖形的對稱
(1)軸對稱圖形:①如果一個圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。
(2)中心對稱圖形:①在平面內,一個圖形繞某個點旋轉180度,如果旋轉前后的圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。
擴展閱讀:高中數(shù)學三角函數(shù)知識點總結實用版[1]
高中數(shù)學第四章-三角函數(shù)
1.①與(0°≤<360°)終邊相同的角的集合(角與角的終邊重合):
|k360,kZ
▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合:|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合:|k18090,kZ④終邊在坐標軸上的角的集合:|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合:|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合:|k18045,kZ
3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數(shù)值大小關系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域⑦若角與角的終邊關于x軸對稱,則角與角的關系:360k⑧若角與角的終邊關于y軸對稱,則角與角的關系:360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上,則角與角的關系:180k⑩角與角的終邊互相垂直,則角與角的關系:360k902.角度與弧度的互換關系:360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意:正角的弧度數(shù)為正數(shù),負角的弧度數(shù)為負數(shù),零角的弧度數(shù)為零.
、弧度與角度互換公式:1rad=180°≈57.30°=57°18.1°=≈0.01745(rad)
1803、弧長公式:l2||r.扇形面積公式:s扇形lr||r
12124、三角函數(shù):設是一個任意角,在的終邊上任。ó愑谠c的)一點P(x,y)P與原點的距離為r,則siny;rya的終邊P(x,y)ryxcos;tanxr;cotx;secr;.cscr.yxyox5、三角函數(shù)在各象限的符號:(一全二正弦,三切四余弦)++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx
16.幾個重要結論:(1)y6、三角函數(shù)線
正弦線:MP;余弦線:OM;正切線:AT.
高三數(shù)學總復習三角函數(shù)
(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o
7.三角函數(shù)的定義域:三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數(shù)的基本關系式:sintan
cos1tancot1cscsin1sec
sin2cos21sec2tan21csc2cot21
9、誘導公式:
把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù),概括為:2“奇變偶不變,符號看象限”
三角函數(shù)的公式:(一)基本關系
公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2
x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx
tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt(二)角與角之間的互換
公式組一公式組二
22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2
sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos
1tantan22高三數(shù)學總復習三角函數(shù)tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式組三公式組四公式組五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562
410.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質:定義域值域周期性奇偶性單調性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx(A、>0)RR[1,1]RA,A當0,非奇非偶當0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)2奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,2k]奇函數(shù)k,k22奇函數(shù)[22k,;k,k1上為減函數(shù)(kZ)22k]上為增函數(shù);[2k,232k]2上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)(kZ)上為增函數(shù)(kZ)上為增函數(shù);2k上為減函數(shù)(kZ)2(A),32k2(A)上為減函數(shù)高三數(shù)學總復習三角函數(shù)(kZ)注意:①ysinx與ysinx的單調性正好相反;ycosx與ycosx的單調性也同樣相反.一般地,若yf(x)在[a,b]上遞增(減),則yf(x)在[a,b]上遞減(增).
▲②ysinx與ycosx的周期是.
x)或ycos(x)(0)的周期T③ysin(2y.
Oxxytan的周期為2(TT2,如圖,翻折無效).
2x)的對稱軸方程是xk④ysin(2(cs(kZ),對稱中心(k,0);yox)的
對稱軸方程是xk(kZ),對稱中心(k1,0);yant(2(x)的對稱中心
k.,0)2ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x
tan1,k⑤當tan
2tan1,k(kZ);tan
2(kZ).
⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù),則
21y(x)sin(xk)cos(x).
2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).(×)[只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若在整個定義域,
ytanx為增函數(shù),同樣也是錯誤的].
⑧定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的兩個條件:一是定義域關于原點對稱(奇偶都要),二是滿足奇偶性條件,偶函數(shù):f(x)f(x),奇函數(shù):f(x)f(x))
1奇偶性的單調性:奇同偶反.例如:ytanx是奇函數(shù),ytan(x)是非奇非偶.(定
3義域不關于原點對稱)
奇函數(shù)特有性質:若0x的定義域,則f(x)一定有f(0)0.(0x的定義域,則無此性質)
▲⑨ysinx不是周期函數(shù);ysinx為周期函數(shù)(T);y▲yx1/2x高三數(shù)學總復習三角函數(shù)
y=cos|x|圖象y=|cos2x+1/2|圖象;ycosx為周期函數(shù)(T);ycosx是周期函數(shù)(如圖)
ycos2x1的周期為(如圖),并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,例如:
2yf(x)5f(xk),kR.
⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函數(shù)圖象的作法:1)、幾何法:
b有a2b2y.a2)、描點法及其特例五點作圖法(正、余弦曲線),三點二線作圖法(正、余切曲線).
3)、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.
三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T2,頻率f1||,相位x;初相||T2(即當x=0時的相位).(當A>0,ω>0時以上公式可去絕對值符號),
由y=sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變,縱坐標伸長(當|A|>1)或縮短(當0<|A|<1)到原來的|A|倍,得到y(tǒng)=Asinx的圖象,叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.(用y/A替換y)
由y=sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變,橫坐標伸長(0<|ω|<1)或縮短(|ω|>1)到原來的|1|倍,得到y(tǒng)=sinωx的圖象,叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換.(用ωx
替換x)
由y=sinx的圖象上所有的點向左(當φ>0)或向右(當φ<0)平行移動|φ|個單位,得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象,叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移.(用x+φ替換x)
由y=sinx的圖象上所有的點向上(當b>0)或向下(當b<0)平行移動|b|個單位,得到y(tǒng)=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.(用y+(-b)替換y)
由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的圖象,要特別注意:當周期變換和相位變換的先后順序不同時,原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。
4、反三角函數(shù):函數(shù)y=sinx,的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù),記作x2,2y=arcsinx,它的定義域是[-1,
1],值域是-,.
22函數(shù)y=cosx,(x∈[0,π])的反應函數(shù)叫做反余弦函數(shù),記作y=arccosx,它的定義域是[-1,1],值域是[0,π].
函數(shù)y=tanx,記作的反函數(shù)叫做反正切函數(shù),x2,222y=arctanx,它的定義域是(-
∞,+∞),值域是,.
高三數(shù)學總復習三角函數(shù)函數(shù)y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函數(shù)叫做反余切函數(shù),記作y=arcctgx,它的定義域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
II.競賽知識要點
一、反三角函數(shù).
1.反三角函數(shù):反正弦函數(shù)yarcsinx是奇函數(shù),故arcsin(x)arcsinx,x1,1(一定要注明定義域,若x,,沒有x與y一一對應,故ysinx無反函數(shù))注:sin(arcsinx)x,x1,1,arcsinx,.
22反余弦函數(shù)yarccosx非奇非偶,但有arccos(x)arccos(x)2k,x1,1.注:①cos(arccosx)x,x1,1,arccosx0,.
②ycosx是偶函數(shù),yarccosx非奇非偶,而ysinx和yarcsinx為奇函數(shù).反正切函數(shù):yarctanx,定義域(,),值域(arctan(x)arctanx,x(,).
22,),ynatcrax是奇函數(shù),
注:tan(arctanx)x,x(,).
反余切函數(shù):yarccotx,定義域(,),值域(arotc,yc,)
22x是非奇非偶.
arccot(x)arccot(x)2k,x(,).注:①cot(arccotx)x,x(,).
1x)互為奇函數(shù),yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].
正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集:
a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集
a>1=1x|x2karcsai,nkZ<1x|xk1karcsina,kZ
aa>1
a=1x|x2karccosa,kZ
aa<1x|xkarccosa,kZ
③tanxa的解集:x|xkarctana,kZ③coxta的解集:x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.
sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin
組二
sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n
高三數(shù)學總復習三角函數(shù)cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)
sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)
sindtan()tantantantantantan
1tantantantantantan組三三角函數(shù)不等式
sinx<x<tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數(shù)x若ABC,則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC
高三數(shù)學總復習三角函數(shù)
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