寒假初一第1講

第一講有理數（1）

【知識要點】

1．整數與分數統(tǒng)稱為有理數．有理數

2．數軸三要素：原點，正方向和單位長度；數軸上的點與實數是一一對應的。3．如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數．0的相反數是0，一般地實數a的相反數是－a；若a與b互為相反數，則有a+b=0，反之亦然；

幾何意義：在數軸上，表示相反數的兩個點位于原點的兩側，并且到原點的距離相等。4．倒數：若兩個數的積等于1，則這兩個數互為倒數。5．絕對值：

代數意義：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0；幾何意義：一個數的絕對值，就是在數軸上表示這個數的點到原點的距離.6．有理數的加、減、乘、除四則運算加法交換律：a+b=b+a(a、b為任意有理數)

加法結合律：(a+b）+c=a+(b+c)(a,b,c為任意有理數)

【典型例題】

1．把下面各數填入表示它所在的數集里．

2

－3，7，－，0，201*，－1．41，0．608，－5％

5

正有理數集｛｝；負有理數集｛｝；整數集｛｝；有理數集｛｝；2．－（－4）的相反數是_______，－（+8）是______的相反數．

3、今年我市二月份某一天的最低氣溫為－5C，最高氣溫為13C，那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高（）

A．－18CB．18CC．13CD．5C4、|－2|的值是（）

A．－2B.2C．4D．－4

32a-95．若的倒數與互為相反數，則a等于__________________

a36．已知有理數x、y滿足x1+2y-4+z-6=0，求xyz的值．

1529

7．比較－與－的大小

1632

8．已知|x|=3，|y|=2，且xy≠0，則x+y的值等于___9．計算12－|－18|+(－7)+(－15)．

10.自然數中有許多奇妙而有趣的現象，很多秘密等待著我們去探索！比如：對任意一個自然數，先將其各位數字求和，再將其和乘以3后加上1，多次重復這種操作運算，運算結果最終會得到一個固定不變的數R，它會掉入一個數字“陷斷”，永遠也別想逃出來，沒有一個自然數能逃出它的“魔掌”．那么最終掉人“陷井”的這個固定不變的數R=_________

11．如圖是一個正方體盒子的展開圖，請把

-10，8，10，－2，－8，2分別填入六個小正方形，使得按虛線折成的正方體相對面上的兩數互為相反數．

12.下面請同學來玩“24點”游戲:從一副撲克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4張，

22ooooo

o

根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌只能用一次）使得運算結果可能為24，其中紅色撲克牌代表負數，黑色撲克牌代表正數，J、Q、K分別代表11、12、13。

（1）某同學如抽到下列一組牌3、12、－1、－12，你幫她設計一下算式使之能湊成24。

24×3-（-12）×（-1）=24

（2）老師抽到下列四張牌，1、-2、2、3，你認為能湊成24嗎？

[3-（-2）]-1=24

試一試，你自編兩組可湊成24的牌，請鄰座同學幫你設計算式。

2

【經典練習】

一選擇題

1、下列說法不正確的是（）

A．沒有最大的有理數B．沒有最小的有理數C．有最大的負數D．有絕對值最小的有理數

2、－2，3，－4，－5，6這五個數中，任取兩個數相乘，得的積最大的是（）A．10B．20．C．－30D．181

3、一個數的倒數的相反數是1,則這個數是（）

5

6565

A、B、C、D、－

56564、如果ab<0，a+b>0，那么這兩個有理數為（）A．絕對值相等的數

B．符號不同的數，其中正數的絕對值較大C．符號不同的數，其中負數的絕對值較大D．以上都不正確

5、若|a|=7，|b|=5,a+b＞0，那么a－b的值是（）

A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或121

6、一個正整數a與其倒數，相反數－a，相比較，正確的是（）

a11

A、－a＜≤aB、－a＜＜a

aa11

C、－a＜＜aD、－a＜＜a

aa

二、填空題

7、數軸上點A到原點的距離是5，則A表示的數是_____________56

8、比較大�。海璤___－

671

9、若－|a|=－，那么a=_______．

2

10、若a的相反數是最大的負整數，b是絕對值最小的數，則a＋b=___________．11

11、（－3）×÷(－)×3

33

12、在某次數學小測驗中，某小班8個人的平均分為85分，其中6位同學平均分為84分，另兩人中一個人比另一個人高6分，求這兩位同學各多少分？

13、體育課上，全班男同學進行百米測驗，達標成績?yōu)?5秒，下面是第1小組8名男生的成績記錄，其中“+”號表示成績大于15秒．

－0．8+10－1．2－0．7+0．6－0．4－0．l（1）這個小組男生的達標率為多少？平均成績?yōu)槎嗌倜�？�?）以15秒為0點，用數軸來表示第1小組男生的成績．

【課后作業(yè)】

1．已知數軸上表示－2和－101的兩點分別為A，B，那么A，B兩點間距離等于()（A）99（B）100（C）102（D）103

512．從－1中減去與的和，所得的差是（）

812（A）

77711（B）（C）2（D）1242424243．銀行儲蓄所辦理了7件儲蓄業(yè)務：取出9.5元，存進5元，取出8元，存進12元，

存進25元，取出10.25元，取出2元，這時銀行現款增加了（）

（A）12.25元（B）－12.25元（C）12元（D）－12元4．下列等式中，正確的是（）

（A）23＝2×3（B）23＝32（C）－24＝(－2)4（D）(－2)3＝－23

325．計算的結果是（）

23131513（A）（B）（C）（D）

66666．當a＝－4，b＝－5，c＝－7時，a－b－c＝237．2912＝248．一個病人每天下午要測量一次血壓，下表是該病人星期一至星期五血壓變化情況，該病人上個星期日的血壓為160單位，血壓的變化與前一天比較：星期血壓的變化一升30單位二降20單位三升17單位四升18單位五降20單位請算出星期五該病人的血壓

9．有資料表明：某地區(qū)高度每增加100米，氣溫下降0.8℃，小明和小穎想出一個測量山峰高度的方法，小穎在山腳，小明在峰頂，他們同時在上午10點測得山腳和山峰頂的氣溫分別為2.2℃和0.2℃，你知道山峰有多高嗎？

擴展閱讀：初一寒假第1講 整除 帶余除法

第一講整除帶余除法

板塊1數論中的基本概念和常識

質數合數整除約數倍數互質進位制定義略。質數是數論中第一重要的概念。算數基本定理：整數分解的唯一性。1不是質數，因為破壞了這個唯一性。定理敘述如下：任何大于1的整數a能唯一地寫成ap1a1p2a2......psas

（1）

的形式，其中p1p2......ps都是質數.式（1）被稱為a的標準分解式。【例】證明：若n0,anbn，則ab.

【例】（1）求201*的標準分解式2×5×3×67（2）求201*的標準分解式質數（3）求201*的標準分解式22×503

【例】如果自然數n使得2n1和3n1都恰好是平方數，試問5n3能否是一個素數．【解析】如果2n1k2，3n1m2，則

5n342n13n14k2m22km2km．因為2km1，否則，將有5n32m1，并且

m12而這是不可能的．故5n3不是素數．m22m123n15n322n0．

判定質數很困難，判定合數的方法是分解。

(1)若b|c且c|a，則b|a(傳遞性)；

|a)c。(2)若b|a且b|c，則b(若反復運用這一性質，易知對于任意的整數u,v有b|(aucv)。

有時候要想知道a|b是否成立，只需考察a|db+ca是否成立。這里的c,d是適當選取的。

(較高級技巧)

【例】我們想知道一個數是不是7的倍數（34675676），可以用34675（截掉末三位）減去676（末三位），看看差是不是7的倍數，這是為什么？更徹底的，我們想知道5740376987465是不是7的倍數，可以去計算465-987+376-740+5是不是7的倍數。

【例】已知一個七位自然數62xy427是99的倍數(其中x、y是阿拉伯數字)，試求950x24y1之值，簡寫出求解過程．【解析】由9962xy427知962xy427且1162xy427

①962xy427，所以62xy427是9的倍數，所以xy39m(m是自然數)由0≤x≤9，0≤y≤9，可得3≤xy3≤21，從而xy6或xy15；②1162xy427，所以11(6x47)(2y2)，所以13xy11k(k是整數)又9≤xy≤9，即4≤13xy≤22，所以xy2或xy9，

xy6xy15x2x12xyxy(舍去)，因為與同奇同偶性，所以或，即或xy2xy9y4y950x24y11997

(3)若b|a，則或者a=0，或者|a||b|，因此若a|b且b|a，則ab；1整除任何整數，任何非0整數整除0。這里相當于提供了證明兩數相等的一個方法。(4)a,b互質，若a|c,b|c，則ab|c；

這個性質的意義是，滿足整除條件的除數變大了，被除數不變，整除條件變得更強。

【例】某公園門票價格對達到一定人數的團隊按團隊票優(yōu)惠．現有A、B、C三個旅游團共72人，如果各團單獨購票，門票費依次為360元、384元、480元；如果三個團合起來購票，總共可少花72元．(1)這三個旅游團各有多少人?

(2)在下面填寫一種票價方案，使其與上述購票情況相符．

售票處

普通票團體票(須滿人)

每人每人

【解析】360+384+480－72=1152(元)，1152÷72=16(元／人)，即團體票是每人16元．

因為16不能整除360，所以A團未達到優(yōu)惠人數．

若三個團都未達到優(yōu)惠人數，則三個團的人數比為360：384：480=15：16：20，即三個團的人數分別為

15162072,72,72，這都不是整數(只要指出其中某一個不是整515151數即可)，不可能．所以C團本來就已達到優(yōu)惠人數．

這有兩種可能：①只有C團達到；②B、C兩團都達到．對于①，可得C團人數為480÷16=30，A、B兩團共有42人，A團人數為15/31×42，不是整數，不可能．劉于②，可得B團人數為384÷16=24，C團人數為480÷16=30A團18人

售票處

普通票團體票(須滿20人)

每人20元每人16元(或／或8折優(yōu)惠)

【例】是否存在3個大于1的自然數，使得其中每個自然數的平方減1，能分別被其余的每個自然數所整除？

【解析】設a≥b≥c是滿足題設條件的三個自然數．因為a2－1被b整除，所以a與b互素．又c2－1能分別被a、b整除，因而被ab整除，于是c2－1≥ab．另一方面由a≥c及b≥c得ab≥c2，矛盾．所以滿足題設的數不存在．

【例】已知p、q都是大于1的自然數，并且

2p12q1

和都是整數，問pq的值是多少？qp

2p1為大于0小于2的整數，為1，則q【解析】運用排序思想，不妨設q大于等于p，則

2p1q，

2q13化為4，則p3,q5，結果為8．pp

a|bc,a,b互質，則a|c

這個性質的意義是：需要討論的被除數變小了，整除條件變得更強。

【例】可將1~30這30個整數寫成一行，使得由第二個數開始的每個數都是它前面所排列的所有數之和的約數．則排在第30個位置上的數最大應是．

3031設排在第30位的數為x，由題意x被sx整除，3531，

2即x被s整除.x顯然不能為31或31的倍數，因此x最大為3515，而這也是可以達到的，

【解析】1~30的和為s將1~30排列為

16，，117，2，18，3，19，4，20，5，21，6，22，7，23，8，24，9，25，10，26，11，27，12，28，13，29，14，30，15即可．

【例】已知7xyz641808，其中x，y，z代表非0數字．那么x2y2z2．【解析】根據個位數字分析可知x3或8，代入7xyz641808試驗可得x8，此時有7853641808，即可得x2y2z298．

(5)p是質數，若p|a1a2a3a4...an，則p能整除a1,a2,a3,a4...an中的某一個；特別地，若p是質數，p|an，則p|a。互質數乘積是平方數，則互質數都是平方數。【例】在正整數范圍解方程x2=y(y+p)p是奇質數

【解析】若y是p的k倍，代入得到(k+1)k是平方數，無解。

(p1)2(y,p)=1則y,y+p都是平方數，y=

4(6)p|n,那么n在p進制之下尾數是0。(7)正約數個數，正約數和公式。（會用，會證明）

常識：正整數中，平方數且只有平方數有奇數個正約數。

【例】n是滿足下列條件的最小正整數：（1）n是75的倍數；

（2）n恰為75個正整數因子（包括1及本身）．試求n/75．

【解析】為保證n是75的倍數而又盡可能地小，可設n＝2α3β5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75

由75＝523，易知當α＝β＝4，γ＝2時，符合條件（1）、（2）．此時n＝243452，n/75＝432．

(8)質數性質：a是合數，p是它的最小質因數，則p2不超過a。所以判斷n的質合性的時候，只需檢查1,2,3,4…,[n]1中的質數(9)質數有無限個。質數之間的縫隙可以超過任意正數。

【例】2+3+4+5+…+n是質數，求n。【解析】原式=

(n2)(n1)。n>3時，分子是兩個大于2的數乘積（一奇一偶），所以原2式是合數。只要計算n=2,3的情形。

【例】是否存在201*個連續(xù)正整數，其中恰有20個質數？

【解析】我們知道存在201*個連續(xù)合數，不妨設他們是n,n+1,n+2…，n+201*。

我們還知道前201*個正整數中的質數多于20個。前201*個正整數都加1，算作一次操作。一直進行這個操作，每次操作后得到的數列中的質數只能增加1，減小1或不變。n-1次操作后，質數個數變成0。那么必有某次操作后質數個數等于20。

構造任意長的連續(xù)合數列有多種方法，比如201*！+2,201*！+3,201*！+4…,201*！+201*是1999個連續(xù)的合數。后面學到剩余定理會給出其他構造方法。

(10)整數的正約數可以湊對，一個整數的所有正約數的乘積的平方，是這個整數的冪。如果一個正整數的所有正約數的乘積不是這個整數的冪，那么這個整數是平方數。逆命題不真。

板塊2最小公倍數最大公約數

(1)兩個整數除以他們的最大公約數，得到的商互質。兩個整數分別除他們的最小公倍數，得到的商互質。兩個整數的乘積等于最小公倍數與最大公約數的乘積。這里又提供了一種處理兩個數的方法：

我們有時利用這個代換a=(a,b)xb=(a,b)y其中(x,y)=1(2)(a,b)=(a,ab)(a,b)|(am+bn,ap+bq)

【例】正整數m和n有大于1的最大公約數，且滿足m3n371，則mn．

【解析】設k是m、n的最大公約數，則m、n可表示為mka，nkb(k1，a、b均為正整數)

故m3n(ka)3kbk(k2a3b)371753，

因為k1且7與53都是質數，又k2a3bk2a3≥k2k，所以k7且k2a3b53，

即49a3b53，由a、b均為正整數，得a1，b4；所以m7，n28，故mn196

【例】50＋n2與50+（n+1）2的最大公約數最大值．【解析】d=（50＋n2,50+（n+1）2）＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）

＝（2（n2＋50），2n＋1）（因2n＋1是奇數）＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）

＝（100－n，2n＋1＋2（100－n））＝（100－n，201）≤201在n＝100時，d＝201．故所求值為201．

(3)若干個整數的最大公約數d，最小公倍數k。那么對于任意質數p，p在d中的次數是p在這些整數中的次數的最小值；p在k中的次數是p在這些整數中的次數的最大值。

【例】證明：對于自然數k、m和n．不等式[k，m][m，n][n，k]≥[k，m，n]2成立．【解析】將k、m、n分解．設

kp11p22p33...pllmp11p22p33...pll

np11p22p33...pll

其中pi（i=1，2，…，l）為不同的素數，αi、βi、γi為非負整數．對任一個素因數pi，不妨設0≤αi≤βi≤γi．在所要證明的不等式左邊，pi的指數為βi＋γi＋γi=βi＋2γi；而右邊pi的指數為2γi．因而所要證明的不等式成立．

要證明一個數大于另一個數，方法之一是只要證明任何質數，在兩個數中的質數都滿足同一方向的不等關系。

【例】找到正整數a,b滿足（a，b）＋[a，b]＋a＋b＝ab【解析】設a=kxb=ky(x,y)=1得到k+xyk+kx+ky=kx×ky*1+x+y+xy=kxyx|y+1,y|x+1若x=y，則x=y=1。a=b=4

若x>y，則x=y+1代入*得到y(tǒng)|y+2y=1,2所以x=2,3從而a=6,b=3,4

所有的解是(a,b)=(4,4)(6,3)(3,6)(6,4)(4,6)

板塊3帶余除法

一般地，如果a，b是正整數（b≠0），那么一定有另外兩個整數q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

當r=0時，我們稱a能被b整除。

當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）.用帶余除式又可以表示為a÷b=q…r，0≤r＜b。這里q,r的選取是唯一的。

帶余除法提供了一種處理兩個整數的方法，這種方法以后會經常用到。

【例】在大于201*的自然數中，被56除后，商與余數相等的數共有多少個？這些數的總和是多少？

【解析】由于余數小于除數，商和余數相等，故商小于56。另一方面，由于被除數大于201*，故商數大于201*除以56帶余除法中的商35，所以

56商數35。

所以，在大于201*的自然數中，被56除后，商與余數相等的數有30個。由于

被除數＝56商數＋余數＝57商數，

其中，商數等于36至55。所以，

30個整數的和=5736375557159177805。

【例】最簡分數,ab。它能分解成不超過a個正整數的倒數和，這些整數互不等。解析：也就是寫成單位分數的和。我們先看能寫出的最大單位分數是多少。為此要利用一下帶余除法。

設b=aq+r，那么不超過的最大單位分數是

ab1。q1aba1arar所以我們還需要把分解成單位分數的和。bq1b(q1)b(q1)通過觀察，這個分數的分子嚴格減小了。這說明至多a-1次這樣的操作之后，我們的任務就完成了。顯然這些單位分數的大小不同，個數不超過a。

課后練習

1.能將1,2,3,……,7,8,9填在33的方格表中，使橫向和豎向相鄰兩數之和都是質數嗎？如果能，請給出一種解法。如果不能，請說明理由。

解析：橫向和豎向相鄰兩數之和都是質數，那么奇偶相同的兩數不能相鄰。所以正中間是奇數，它與2，4，6，8相鄰。容易看出無論中間添的n是幾，n+2,n+4,n+6,n+8中有合數。

2.173A是一個四位數，數學老師說：“先后用三個數代替A，A所得到的3個四位數，依次可以被9、11、6整除�！眴栠@3個數的和是多少？解析：9|173711|17386|1734

三個數的和是19。.

3.兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。兩只甲蟲同時從A點出發(fā)，按所指的方向以相同的速度分別沿兩個圓爬行。問：當小圓上的甲蟲最少爬了幾圈時，兩只甲蟲相距最遠？

解析：小圓上的甲蟲爬整數圈，大圓上的甲蟲爬整數圈多半圈，距離最遠。設小圓上的爬了a圈，大圓上的爬了b圈。由于速度相同，30a=48b其中a是整數，b的小數部分是0.5。5a=8b最小的解是a=4，b=2.5所以答案是4。.

4.n個自然數，從第二個開始，每一個都比它前面相鄰的一個大3：4,7,10,……,1+3n。它們相乘的積的末尾恰有32個0，求n的最小值。解析：答案只而和數列中5的倍數有關。數列中5的倍數是10,25,40,55,70…10+15k…

令25|10+15k得到k=1,6,11,16,21,26,31…的時候10+15k是25的倍數令125|10+15k得到k=16,41…的時候10+15k是125的倍數

所以10,25,40,55,70…10+15×25的乘積當中5的指數是26+5+1=32。.

所以當1+3n=10+15×25時，n的最小值是128。

5在1-201*的所有的整數中，有多少個x使2x和x2被7除有相同的余數？解析：將1,2,3,4…代入2x，考察除以7的余數，呈2,4,1,2,4,1…循環(huán)，周期是3。將1,2,3,4…代入x2，考察除以7的余數，呈1,4,2,2,4,1,0…循環(huán)，周期是7。

可見兩個數列的余數對也是循環(huán)的，周期是21。每個長度21的周期內第2,4,5,6,10,15個位置是相同的。201*÷21=95〃〃〃10所以答案是96×6-1=5756已知

a201*201*201*

201*個201*問：除以13所得的余數是幾？

解析：201*201*201*是13的倍數，所以只需計算201*除以13的余數。答案是3。

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