復(fù)變函數(shù)積分方法的思考總結(jié)

復(fù)變函數(shù)積分方法的思考總結(jié)

錢學(xué)森11陳海琪2110405004

摘要：函數(shù)的積分問題是復(fù)變函數(shù)輪的主要內(nèi)容，也是其基礎(chǔ)部分，因此有必要總結(jié)歸納求積分的各種方法。其主要方法有：利用柯西積分定理，柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法,現(xiàn)將這些方法逐一介紹。關(guān)鍵詞：積分，解析，函數(shù)，曲線1.利用定義求積分

例1、計(jì)算積分xyix2dz，積分路徑C是連接由0到1i的直線段.

c解：yx0x1為從點(diǎn)0到點(diǎn)1i的直線方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

201*011iixdx1i3.

2.利用柯西積分定理求積分

柯西積分定理：設(shè)fz在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則

fzdzc0.

柯西積分定理的等價(jià)形式：設(shè)C是一條周線，D為C之內(nèi)部，fz在閉域

DDC上解析，則fzdz0.

c例2、求coszzidz，其中C為圓周z3i1，

c解：圓周C為z3z1，被積函數(shù)的奇點(diǎn)為i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C為邊界的閉圓z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西積分定理的等價(jià)形式得c如果D為多連通區(qū)域，有如下定理：

設(shè)D是由復(fù)周線CC0C1C2Cn所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域，fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則fzdz0.

c3.利用柯西積分公式求積分

設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則有fz12icfzdzD，即fczd2ifz.

例3.求積分c921d，其中C為圓周2.

解：

c921didc92

5

另外,若a為周線C內(nèi)部一點(diǎn)，則dzdz2icza

zacn0（n1，且n為整數(shù)）.

4.應(yīng)用留數(shù)定理求復(fù)積分

fz在復(fù)周線或周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an外解析，在閉域

DDC上除a1,a2,an外連續(xù)，則fzdz2iResfz.

ck1zakn設(shè)a為fz的n階極點(diǎn)，fzzzan，其中z在點(diǎn)a解析，a0，則

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例4.計(jì)算積分zz12dz

解：被積函數(shù)fz5z2zz12在圓周z2的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z0及z1，

Resfzz05z2z22|z25z2Resfz|z12|z12z1zz因此，由留數(shù)定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

5.用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分

某些實(shí)的定積分可應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，常是一個有效的辦法，其要點(diǎn)是將它劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分.

5.1計(jì)算Rcos,sind型積分

02令ze，則cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，

此時(shí)有例5.20zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.dacos0a1

12解：令zei，則cosI2izz，d1dziz，

zzz1dz，其中aa21，aa21，

1,1,1，

應(yīng)用留數(shù)定理得I2a12.

若Rcos,sin為的偶函數(shù)，則Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，

0因?yàn)榇藭r(shí)Rcos,sind012Rcos,sind，仍然令zei.

例6.計(jì)算taniad（a為實(shí)數(shù)且a0）

0分析：因?yàn)閠ania1eie2iai2iai11，

直接令e2iaiz，則dze2iai2id，于是tania解：I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1應(yīng)用留數(shù)定理，當(dāng)a0時(shí)，Ii當(dāng)a0時(shí)，Ii.5.2計(jì)算PxQxdx型積分

例7.計(jì)算xdx423x24.

424解：函數(shù)fzz23z在上半平面內(nèi)只有z23i一個四階極點(diǎn)，

令

23ia，zat

則fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att

211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

故xdx423x242ii57662886.6.級數(shù)法計(jì)算積分

+∞

連續(xù)性逐項(xiàng)積分定理:設(shè)在曲線C上連續(xù)(n=1,2,3…)，=1在C上

一致收斂于fz,則fz在曲線C上連續(xù)，并且沿C可逐項(xiàng)積分：

+∞dz。將函數(shù)展成泰勒級數(shù)或洛朗級數(shù)就解決了該類復(fù)積=1=

分的有關(guān)問題。

例8.計(jì)算積分(∞,C:|z|=.=12

1

解：在|z|

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哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))

題目：求復(fù)變函數(shù)的積分方法

院（系）理學(xué)院專業(yè)年級姓名指導(dǎo)教師

201*年6月1日

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)201*級閆巖徐亞蘭

學(xué)號09031123職稱副教授哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

目錄

摘要.............................................................................................................................................1Abstract.........................................................................................................................................2前言.............................................................................................................................................3第一章復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì).........................................................................................41.1復(fù)變函數(shù)積分的定義.......................................................................................................41.2復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)...............................................................................................5第二章復(fù)積分的計(jì)算.................................................................................................................72.1函數(shù)沿非閉曲線的積分的計(jì)算.......................................................................................72.1.1定義法..........................................................................................................................72.1.2參數(shù)方程法..................................................................................................................82.2函數(shù)沿閉曲線的積分的計(jì)算.........................................................................................112.2.1積分定理....................................................................................................................112.2.2挖奇點(diǎn)法....................................................................................................................132.2.3柯西積分公式............................................................................................................152.2.4高階導(dǎo)數(shù)公式............................................................................................................15第三章用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分...............................................................................................173.1留數(shù)定理及其應(yīng)用.........................................................................................................173.1.1留數(shù)的定義................................................................................................................173.1.2留數(shù)定理....................................................................................................................173.2留數(shù)定理與其它解法的聯(lián)系.........................................................................................18參考文獻(xiàn).......................................................................................................................................20致謝...........................................................................................................................................21

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摘要

復(fù)積分即指復(fù)變函數(shù)積分。在復(fù)變函數(shù)的分析理論中，復(fù)變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的重要工具。復(fù)變函數(shù)里的積分不僅僅是研究解析函數(shù)的重要工具，它也是學(xué)習(xí)后繼課程積分變換的基礎(chǔ),因此就復(fù)積分的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)和探討是十分必要的�？挛鞣e分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式以及留數(shù)定理對復(fù)積分的計(jì)算起到很大的作用。

本文介紹了計(jì)算復(fù)積分的幾種方法，同時(shí)討論了留數(shù)定理與復(fù)積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且總結(jié)出利用柯西積分定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、留數(shù)定理等來計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的基本方法，通過實(shí)例說明每種方法使用的范圍，從中揭示出他們的內(nèi)在聯(lián)系，本文對復(fù)積分的計(jì)算方法進(jìn)行了比較系統(tǒng)的歸納總結(jié)，從中概括出解題方法和技巧。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)的積分；柯西積分定理；高階導(dǎo)數(shù)公式；留數(shù)定理

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Abstract

ComplexintegrationrefersComplexintegration.Intheanalysisofcomplexfunctiontheory,

complexfunctionofintegralanalyticfunctionsisanimportanttoolforresearch.Complexfunctionsintheintegralstudyofanalyticfunctionsnotonlyanimportanttool,itisalsothesuccessorprogramtolearnthebasisofintegraltransformation,andthereforecomplexintegralcalculationmethodaresummarizedanddiscussedisverynecessary.Cauchy"sintegralformula,higherderivativeformulas,andtheresiduetheoremforcomplexintegralsplayabigrole.Thisarticledescribesseveralmethodsforcalculatingcomplexintegration,alsodiscussedtheresiduetheoremandtheintrinsiclinkbetweencomplexintegration,andsummedupusingtheCauchyintegraltheorem,Cauchy"sintegralformula,higherderivativeformula,residuetheoremetc.Complexintegrationcalculationofthebasicmethod,byexamplesillustratethescopeofuseofeachmethod,whichrevealstheirinternalrelations,thepapercomplexintegralcalculationmethodswerecomparedsystemsaresummarized,whichsummarizetheproblem-solvingmethodsandtechniques.

Keywords:complexvariablefunctionintegration;Cauchy"sintegraltheorem;higherderivativeformula;residuetheorem

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前言

復(fù)變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的一個重要工具。解析函數(shù)中許多重要的性質(zhì)都要利用復(fù)積分來證明。比如，想要證明“解析函數(shù)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)性”以及“解析函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)存在性”這些表面上看起來只跟微分學(xué)有關(guān)的命題，一般都要使用復(fù)積分。其中柯西積分公式和柯西積分定理顯得尤其重要，他們是復(fù)變函數(shù)論的基本定理和基本公式。

復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)中的一個基本的分支學(xué)科，它的研究對象是復(fù)變數(shù)的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)論的歷史悠久，內(nèi)容豐富，理論也十分完美。它在數(shù)學(xué)中的許多分支、力學(xué)以及工程技術(shù)科學(xué)中有著相對廣泛的應(yīng)用。復(fù)數(shù)起源于求代數(shù)方程的根。

本文對不同類型的復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，并且總結(jié)出了求解復(fù)積分的一些方法和技巧，這樣在遇到求解復(fù)積分問題時(shí)，我們可以先分析積分的特點(diǎn)，再根據(jù)特點(diǎn)來選擇合適的方法，如果方法得當(dāng)，便可以使一些復(fù)雜的復(fù)積分計(jì)算變得簡單、快捷。

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第一章復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)

1.1復(fù)變函數(shù)積分的定義

bz()為終點(diǎn)，f(z)定義1設(shè)有向曲線C：zzt,(t)，以az()為起點(diǎn)，

沿著曲線C有定義。順著C從a到b的方向在C上取分點(diǎn)：

az0,z1,...,zn1,znb

把曲線C分成了若干個弧段。在從zk1到zk(k1,2,...,n)的每一弧段上任意取一點(diǎn)k，做成和數(shù)snf(k)zk，其中zkzkzk1。當(dāng)分點(diǎn)無限增多，而這些弧段長度的最大值趨

k1n于零時(shí)，假如和數(shù)sn的極限存在并且等于J，就稱f(z)沿曲線C（從a到b）可積，而稱J是f(z)沿C（從a到b）的積分，并且用記號f(z)dz表示：

cJf(z)dz。

cC叫做積分路徑。f(z)dz表示沿曲線C正方向的積分，f(z)dz表示沿曲線C負(fù)方向的積

cc分。

定理1如果函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)并且沿著曲線C連續(xù)，則f(z)沿C可積，并且

f(z)dzudxvdyivdxudy

ccc例1如果C表示連接點(diǎn)a及b的任一曲線，試證：

1（1）dzba（2）zdz(b2a2)

2cc證明（1）因?yàn)閒(z)1,sn(zkzk1)ba

k1n所以

nmaxzk0limsnba

即

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dzba

c（2）因?yàn)閒(z)z，令kzk1于是就有

z1k1nk1(zkzk1)，

但我們又可以令kzk，則可得到2zk(zkzk1)，再由定理1可知積分zdz存在，

k1nc1因此sn的極限存在，并且應(yīng)該跟1和2的極限相等，從而應(yīng)該跟(12)的極限

2相等。令

11n2122(12)(zkzk)(ba2)122k12所以

122zdz(ba)。2c1.2復(fù)變函數(shù)積分的基本性質(zhì)

設(shè)函數(shù)f(z),g(z)沿曲線C連續(xù)，則有以下的性質(zhì)（1）af(z)dzaf(z)dz,a是復(fù)常數(shù)；

cc（2）f(z)g(z)dzf(z)dzg(z)dz;

ccc（3）f(z)dzf(z)dzf(z)dz,其中C由曲線C1和C2銜接而成；

cc1c2（4）f(z)dzf(z)dz

cc（5）

f(z)dzccf(z)dzf(z)ds

c在這里dz表示弧長的微分，也就是dz(dx)2(dy)2ds

定理2（積分估值）如果沿著曲線C，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且有正數(shù)M使得f(z)ML，L是曲線C的長，則

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f(z)ML

c例2試計(jì)算Rezdz，其中C是從0到2+i的直線段。

c解由題直線C可以由關(guān)系式

y1x，0x22表達(dá)，于是所求積分得

Rezdzxdxixdyxdxcc02i2xdx2i02

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第二章復(fù)積分的計(jì)算

2.1函數(shù)沿非閉曲線的積分的計(jì)算

2.1.1定義法

為終點(diǎn)的光滑曲線（yyx是有連續(xù)的導(dǎo)定義設(shè)l是復(fù)平面上以z0為起點(diǎn)，以z把l分成n段，在每一小段zk1zk上任意取一數(shù)），在l上取一系列的分點(diǎn)z0,z1,,zn1,znz點(diǎn)k做和數(shù)Snfkzkzk1fkzk,zkzkzk1

k1k1nn當(dāng)n時(shí)，并且每一小段的長度趨于零時(shí)，如果limSn存在，我們就稱fz沿l是可積

n的，limSn叫做fz沿l的路徑積分。l是積分路徑，記做fzdz【如果l是圍線（閉的

nl曲線），則記為f(z)dz】。fzdzmilllnmSilnnfzkkk1n（fz在l上取值，也就是

z在l上變化）。

例1計(jì)算積分1)dz；2)zdz，其中積分路徑表示連接點(diǎn)a及點(diǎn)b的任一曲線。

cc解對C進(jìn)行分割，并且近似求和，以下符號與上述的復(fù)積分的定義一致。（1）當(dāng)C是閉曲線的時(shí)候，dz0。由于f(z)1，Sn(zkzk1)ba，所以

Ck1max|Sk|0nmlimSnba

即

dzba．

c（2）當(dāng)C是閉曲線的時(shí)候，dz0。f(z)z，沿曲線C連續(xù)，則積分zdz存在，

CC令kzk1，則

1zk1(zkzk1)，

k1n又可以令kzk，則

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2zk(zkzk1)，

k1n由于Sn的極限是存在的，并且應(yīng)該和1及2極限相等，所以

11n1222Sn(12)zk(zkzk(ba2)，1)22k12所以

zdzC12(ba2)．22.1.2參數(shù)方程法

在簡單光滑的曲線上連續(xù),想要計(jì)算積分的步驟如下:第一步:寫出曲線的參數(shù)方程

zxiy，dzdxidy，fzux,yivx,y(通常遇到的是圓弧或者直線段)；第二

步:求出fzdz,把ux,y,vx,y代入到其中；第三步:把積分化成關(guān)于的定積分，并且

l計(jì)算該定積分。

zxiy，dzdxidy，fzux,yivx,y，

于是

ux,yivx,ydxidyfzdzllux,ydxvx,ydyivx,ydxux,ydy，

ll所以復(fù)變函數(shù)的積分可以歸納總結(jié)成為兩個實(shí)變函數(shù)的線積分，并且它們分別是復(fù)變函數(shù)積分的實(shí)部和虛部.

復(fù)變函數(shù)積分的參數(shù)表示

設(shè)曲線l的參數(shù)方程是zztxtiyt，或者表示成xxt，yyt，

z，t，z0z，z記

uxt,ytut，vxt,ytvt，

于是

dxxtdt，dyytdt，dzztdt，ztxtiyt

則

fzdzcutxtvtytdtivtxtutytdt

8

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utivtxtiytdtfztztdt.

yi1iyi1iy=xy=xyx2圖（2-1-2a）圖（2-1-2b）o1xo1x

例2試計(jì)算fzdz，其中f(x)z,l是：

l（1）從原點(diǎn)到點(diǎn)1i上的直線段；（2）拋物線yx2上從原點(diǎn)到點(diǎn)的弧段；（3）從原點(diǎn)沿x軸到點(diǎn)1再到1i上的折線；解（1）積分路徑的參數(shù)方程是

z(t)(1i)t,(0t1)

則

dz(1i)dt,122=(1+i)tdtzdz(1i)iC021如圖（2-1-2a）所示。

（2）積分路徑的參數(shù)方程是z(t)tit211(0t1),則dz(12ti)dt,

1t2143232tit（tit）(12it)dt(t-2t+3it)dtzdzi00C220如圖（2-1-2b）所示。i

y1iy=xyx2o1x哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

圖（2-1-2c）圖（2-1-2d）

（3）如圖（2-1-2c）所示.

積分路徑是由兩段直線構(gòu)成的，x軸上直線段的參數(shù)方程是z(t)t(0t1),則dzdt,1到1+i直線段的參數(shù)方程是

z(t)1it(0t1),則dzidt,

C1+it)idtzdztdt（011011ii22例3試證

2i(n1)dz，l是以za為圓心，以為半徑的圓周。l(za)n0(n為n1的整數(shù))如圖（2-1-2d）所示。

證明l的參數(shù)方程是

zaei

在l上，dzieid。當(dāng)n1的時(shí)候，

iieddzilzaeid2i

當(dāng)n1的時(shí)候，

iieddzii(n1)dl(za)nneinn1e1in1en1n111n11n10.

n1n1復(fù)變函數(shù)積分的簡單性質(zhì)（以下性質(zhì)i、ii、iii、iv都可以從積分的定義式中直接得出）

z0，z、z0分別是l的終、起點(diǎn)。dzL，dz是dz的長度，L是l的長度。i.dzzll.（可推廣）a1f1za2f2zdza1f1zdza2f2zdz，a1、a2是復(fù)常數(shù)。

lll.fzdzfzdzfzdz,其中l(wèi)1、l2連接成l。（可推廣）

ll1l2.fzdzfzdz,l表示跟l方向相反的同一條曲線。

ll不等式（估值公式）

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a)

證明

fzdzfzdz

llfzdzlimfzlnkk1nnnk1nk1nklimfkz

nk1nlimfkzklimfkzkfzdz。

l（此處運(yùn)用了z1z2z1z2的推廣，z1z2z3z1z2z3z1z2z3,

z1z2znz1z2zn,多邊形任意一邊的長其他邊長之和）b)如果M是fz上沿曲線l的最大值，L是l的長度，則

證明：

nfzdzML。

lfzkk1nkfkzkMzk

k1k1nnn兩邊取極限limfkzkMlimzk，即

nk1nk1fzdzML

l或者

fzdzfzdzMdzML.

lll

2.2函數(shù)沿閉曲線的積分的計(jì)算

2.2.1積分定理

柯西定理如果fz在單連通區(qū)域D上解析，l是D內(nèi)的任意一條圍線，則

f(z)dz0

l其實(shí)只要fz在l所圍的單連通區(qū)域內(nèi)解析，則f(z)dz0。如圖（2-2-2）所示。

l

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圖(2-2-2)

注單連通區(qū)域內(nèi)的任意一條閉曲線可以連續(xù)收縮成一點(diǎn)，簡言之區(qū)域內(nèi)沒洞。

復(fù)連通區(qū)域內(nèi)至少有一條閉曲線不能連續(xù)收縮成為一點(diǎn)，簡言之區(qū)域內(nèi)有洞。證明因?yàn)閒z在D上是解析的，也就是fz在D上的各點(diǎn)均存在。為了簡化證明，我們進(jìn)一步要求fz在D上連續(xù),uvuv、、、在D上連續(xù)。xxyyuvuvii，xxyyfzux,yivx,y，dzdxidy，fzf(z)dz(udxvdy)i(vdxudy)

lll因?yàn)閒z在D上是連續(xù)的，所以u、v有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足C－R條件

uv,而根據(jù)實(shí)的線積分的格林定理yxuv，xyvu(udxvdy)l"xydxdy0，D是l所圍單連通區(qū)域（C－R條件）

Duv(vdxudy)l"xydxdy0，D是l所圍單連通區(qū)域（C－R條件）

D所以

f(z)dz0

l注意柯西定理中只要求fz在D上解析，對fz在D外是否解析并沒有要求，證明中沒有用fz在l以外的性質(zhì)。因此只要fz在l所圍的區(qū)域內(nèi)解析。

推論：如果fz在D上解析，l1、l2是D內(nèi)有相同的端點(diǎn)的任意的兩條曲線，則

fzdzfzdz

l1l2也就是在fz解析的單連通區(qū)域內(nèi)，fz沿著任意一條曲線l的積分，只依賴于l的起點(diǎn)和終點(diǎn)，而和l的具體形狀是沒有關(guān)系的。

證明由于l1、l2的端點(diǎn)是相同的，因此l1與l2組成一圍線。根據(jù)柯西定理

l1l2fzdz0fzdzfzdzfzdz

l1l2l2

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2.2.2挖奇點(diǎn)法

（1）閉復(fù)通區(qū)域情形

所謂復(fù)通區(qū)域，就是函數(shù)在其中的某些點(diǎn)處并不解析，這些點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，為了把這些點(diǎn)排除在外，通常做一些適當(dāng)?shù)拈]合曲線把這些奇點(diǎn)挖去，形成帶“孔”的區(qū)域，也就是復(fù)通區(qū)域。

當(dāng)fz在D內(nèi)處處解析，并且圍線l全部在D內(nèi)的時(shí)候，則f(z)dz0。但當(dāng)l所圍區(qū)域

l內(nèi)有fz的奇點(diǎn)的時(shí)候，前面所說的柯西定理是針對單連通區(qū)域中的解析函數(shù)fz來說的，如果fz在l所圍的區(qū)域里有奇點(diǎn)，可以做一圍線把這個奇點(diǎn)圍住，假如把所圍的區(qū)域挖去，則區(qū)域就變成復(fù)連通區(qū)域D。如圖(2-2-3a)所示。

圖(2-2-3a)

對于復(fù)連通區(qū)域D，做輔助線c1、c2、c3，使D分成兩個單連通區(qū)域D1和D2。D1的邊界是1，D2的邊界是2，選取如此的方向當(dāng)作路徑的正方向，也就是當(dāng)沿著路徑行進(jìn)的時(shí)候，

區(qū)域始終保持在左邊，所以D的邊界是ll1l2。

12ll1l2c1c2c3c1c2c3因?yàn)閒z在D上，從而在D1、D2上解析，根據(jù)柯西定理：

所以

1f(z)dz0，f(z)dz0

2又

12f(z)dzf(z)dzf(z)dz0

12哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

12f(z)dzlll1l2c1c2c1c2c3f(z)dz

f(z)dzf(z)dzf(z)dz

l1l2f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dz

c1c2c3c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dz

ll1l2所以

f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz0

l2從而

f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz

l2很容易把上面的情形推廣到內(nèi)部有n個洞的復(fù)連通的區(qū)域，于是

f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dz

l2lnk1lkn上述積分都沿著逆時(shí)針的方向，所以在復(fù)連通的情形下，在復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，他沿著外邊界線逆時(shí)針方向的積分就等于他沿著所有內(nèi)邊界線逆時(shí)針方向的積分的和。

例4試計(jì)算

圖(2-2-3b)

dz，l是不通過za的點(diǎn)的圍線。

l(za)n解如圖（2-2-3b）所示，za是fz1zan上的一個奇點(diǎn)，如果l沒有包圍點(diǎn)

dz0（l不包圍

l(za)nza，則fz1zan在l所包圍的區(qū)域上是解析的。進(jìn)而。如果l包圍za【za是za）

則根據(jù)上面的公式就有：

1zan上的奇點(diǎn)】，作以za為圓心的圓周l1包圍a，

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dzdzl(za)nl1(za)n

據(jù)前面的例子可以得到:

2i,n1dzl1(za)n0,n為n1的整數(shù)因此

2i,當(dāng)l包圍za,且n1dzl1(za)n0,當(dāng)n為n1的整數(shù)，或l不包圍za2.2.3柯西積分公式

柯西積分公式設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或者復(fù)周線C，函數(shù)f(z)在D內(nèi)是解析的，在

DDC上是連續(xù)的，則有f(z)1f()d(zD)，即

2iC(z)f()d2if(z)

C(z)2z2z1dz的值，其中C:|z|2。例5試計(jì)算積分Cz1解由于f(z)2z2z1在|z|2上是解析的，z1z:|z|2。根據(jù)柯西積分公式就有

2z2z12z|2z1dz2i(2zz1)

2.2.4高階導(dǎo)數(shù)公式

高階導(dǎo)數(shù)公式設(shè)f(z)在D內(nèi)是解析的，在D上是連續(xù)的，C是D的邊界，z0D有

f(z)2i(n)dzf(z0),n1,2,（1.11）(zz0)n1n!例6試求coszdz，C是包含在圓周|z|1上的任何正向簡單閉曲線，z2i。z10，

Cz311取C1是|z|，C2是|zi|。

33解f(z)cosz,z00在C的內(nèi)部，由等式（1.11）

cosz2idz(cosz)z0Cz32!

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=i(2cosz)z03i

高階導(dǎo)數(shù)公式的作用不在于通過積分來進(jìn)行求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求解積分。例7試求積分1dz.其中C:(1)z32;(2)z1323(z2)zC解函數(shù)1有兩個奇點(diǎn)，分別是z2和z0,

(z2)2z3111z3dzdz(1)z32,僅包含奇點(diǎn)z2,取f(z)3,(z2)2zC(z2)2z3C2i11!z3z23i;8(2)z13的兩個奇點(diǎn)z2和z0都包含在C以內(nèi)，作簡單的閉曲線C1和C2分別包含0和2，其中C1和C2互不包含并且互不相交，由復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,

1123111(z2)zdzdzdzdzdz23232332(z2)z(z2)z(z2)zz(z2)CC1C2C1C22i12!(z2)2z02i131!zz23i3i0.88

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第三章用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分

3.1留數(shù)定理及其應(yīng)用

3.1.1留數(shù)的定義

設(shè)0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在0的去心鄰域內(nèi)有洛朗展式f(z)na(zz)n0n稱

a1是f(z)在0點(diǎn)的留數(shù)，記作Resf(z0)。即留數(shù)是(洛朗展式中)負(fù)一次冪的系數(shù)。

3.1.2留數(shù)定理

設(shè)f(z)在復(fù)周線或者周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an以外解析，在閉區(qū)域

DDC上除a1,a2,an以外連續(xù)，則

f(z)dz2iResf(z)（1.14）

Ck1zakn設(shè)a是f(z)的n階極點(diǎn)，f(z)Resf(z)za(z)(za)n，其中(z)在點(diǎn)a上解析，(a)0，則

(n1)(a)(n1)!。在這里符號(0)(a)代表(a)，并且有(n1)(a)lim(n1)(z)。

za5z2dz。例1試計(jì)算積分|z|22z(z1)解被積函數(shù)f(z)5z2在圓周|z|2的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z0和二階級點(diǎn)

z(z1)2z1。

Resf(z)z05z2(z1)2z02

2

Resf(z)(z15z22)z12zzz1所以，根據(jù)留數(shù)定理可以得到

5z2sf(z)Resf(z))2i(22)0|z|2z(z1)2dz2i(Rez1z0

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例2試計(jì)算積分

cosz|z|1z3dz。

解f(z)cosz只以z0為三階極點(diǎn)，3zResf(z)z011(cosz)z02!2所以根據(jù)留數(shù)定理就有

cosz1dz2i()i|z|1z323.2留數(shù)定理與其它解法的聯(lián)系

1.參數(shù)方程法只適用于積分曲線式的特殊類型的曲線。但有一些題目可以用參數(shù)方法解題，但是計(jì)算要復(fù)雜得多，而用柯西定理會很簡單。

2.（1）柯西積分定理可以推廣到復(fù)周線的情形，這也是計(jì)算復(fù)積分的一個比較有利工具，即復(fù)函數(shù)沿區(qū)域的外邊界曲線的積分等于沿著區(qū)域內(nèi)邊界積分的和。適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點(diǎn)的情形。

（2）如果積分與路徑無關(guān)的條件下也可以直接按實(shí)積分中的牛頓萊布尼茨公式計(jì)算。（3）利用柯西積分定理也有一定的局限性，主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或者能夠拆成若干個特殊的函數(shù)的函數(shù)計(jì)算起來較方便。3.（1）柯西積分公式解決的是形如f()f()d,(zD)的積分，形如d,(zD)的czc(z)n積分就要利用解析函數(shù)的無窮可微性f(n)(z)此類問題。

n!f()d,(zD)(n1,2,)可解決n1c2i(z)（2）柯西積分公式跟解析函數(shù)的無窮可微性在計(jì)算復(fù)積分時(shí)的主要區(qū)別在于被積函數(shù)分母的次數(shù)，二者在計(jì)算的時(shí)候都常常與柯西積分定理相結(jié)合。

4.（1）柯西積分定理、柯西積分公式以及解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式都是留數(shù)定理的特殊情況。

（2）凡是能用柯西積分定理、柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算的復(fù)積分都能夠用留數(shù)定理來計(jì)算。

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1)高階導(dǎo)數(shù)公式可以計(jì)算某種特定形式的復(fù)積分。利用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算積分的時(shí)候，如果被積函數(shù)的階數(shù)太高，會太過于繁瑣，這時(shí)要運(yùn)用留數(shù)定理以及他的計(jì)算規(guī)則來計(jì)算復(fù)積分，就簡便的多。

注意：通過柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式解決了一類復(fù)積分的計(jì)算的問題，但是在練習(xí)的過程中我們往往會發(fā)現(xiàn)應(yīng)用這兩種計(jì)算方法往往不能有效的解決復(fù)積分問題，而是把這兩種方法綜合起來。

總之，在求解有關(guān)復(fù)積分的問題時(shí)，對方法的選擇要因題而異。首先從積分路徑和被積的函數(shù)入手，確定積分路徑是封閉曲線還是不封閉曲線，然后再對被積函數(shù)在已給的區(qū)域C內(nèi)的解析性加以分析判斷，再決定采取什么樣的方式方法來解決所面對的積分問題。按照這樣的基本步驟來尋求復(fù)積分的計(jì)算方法，處理有關(guān)復(fù)積分的問題就得心應(yīng)手了。

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致謝

大學(xué)四年來,各位老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo),同時(shí)還在思想、生活上給我以無微不至的關(guān)懷,在此謹(jǐn)向各位老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意.老師們以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度,高度的敬業(yè)精神,兢兢業(yè)業(yè),孜孜以求的工作作風(fēng)和大膽創(chuàng)新的進(jìn)取精神對我產(chǎn)生了重要影響，淵博的知識,開闊的視野和敏銳的思維給了我深深的啟迪.

通過這段時(shí)間的努力我的畢業(yè)論文終于完成了，這也意味著我的大學(xué)生活即將束，大學(xué)階段，我在學(xué)習(xí)上和思想上都受益匪淺，這與同學(xué)老師和親人的鼓勵與支持是分不開的，感謝數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系的各位老師、同學(xué)們，與他們的交流讓我學(xué)到了很多.

感謝和我一起生活了4年的舍友們，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題的態(tài)度，靈活的思考問題的方式，扎實(shí)的專業(yè)知識，認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度都給了我很大的啟發(fā).

寫畢業(yè)論文是一次系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程，我要感謝在這一過程中給我建議，指導(dǎo)我寫作論文的徐老師，從選題到開題，從提綱到正文，嚴(yán)格把關(guān)，循循善誘，耐心指導(dǎo)，是我以后工作學(xué)習(xí)的榜樣。

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