高中數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)題型分析
高中數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)題型分析
一、考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析
題型一:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點
42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)
4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30
4.求下列直線的方程:
322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;
即xy20即y2x1或y10x25解:(1)y1x1,(2)y12(x1)或y2510(x5),題型二:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值
32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍
32解:(1)f(x)x2x4x5.(2)在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.
2x①當(dāng)
b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;
x②當(dāng)
612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)
綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)
第1頁共5頁
32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.2.已知三次函數(shù)
(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
3f(x)x3x2.解:(1)
]上是減函數(shù);(2)當(dāng)x1時,f(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù);在區(qū)間[1,1在區(qū)間[1,)上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0,極小值是f(1)4.3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb).
(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切,切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,求實數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.解:(1)a=1,b=1.
題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
/1.f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)
A、0B、1C、2D、3
第2頁共5頁
題型四:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.
(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.
解:(1)f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減
4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,
|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5
22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函
數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。
22解:(1)函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c
為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2
題型五:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合
3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)
x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.
第3頁共5頁
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須
樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).
2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,
2x1,,故3x3.從而0
11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為
f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16
2749581616
易知f(x)的極大值為
f(x)在[1,0]上的最大值
M對任意x1,x2(1,0),恒有
|f(x1)f(x2)|Mm題型六:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?
3當(dāng)OO1為2m時,帳篷的體積最大,最大體積為163m。
2.統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/
y小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙兩地相距100千米。
(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
13(403408)2.517.580解:(I)128000(升)。
(II)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80
千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。
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導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法
一、考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析
題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。
32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21.
22.已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值,則常數(shù)c=6;
33.函數(shù)y13xx有極小值-1,極大值3
題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點
42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)
4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30
4.求下列直線的方程:
322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;
32y/3x22xky/|x-13-21解:(1)點P(1,1)在曲線yxx1上,
即xy20所以切線方程為y1x1,
2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為A(x0,y0),則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,
所以過
2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為
ky/|xx02x0,又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點,所以有
y05x03x01x05y1或y250②,由①②聯(lián)立方程組得,0,即切點為(1,1)時,切線斜率為
k12x02;;當(dāng)切點為(5,25)時,切線斜率為k22x010;所以所求的切線有兩條,方程分
即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5),
題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值
32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)
第1頁共61頁(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍
322f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.解:(1)由
過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為:
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③
32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2,b=-4,c=5∴
2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).
23x2時,f(x)0;當(dāng)2x時,f(x)0;3當(dāng)
2當(dāng)x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。
2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又
2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.
x①當(dāng)
b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;
x②當(dāng)
612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)
綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)
322.已知三次函數(shù)f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.
第2頁共61頁(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16],試求m、n應(yīng)滿足的條件.
(x)3x22axbf解:(1),
2由題意得,1,1是3x2axb0的兩個根,解得,a0,b3.
3f(2)4f(x)x3x2.c2再由可得.∴
(x)3x233(x1)(x1)f(2),
當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)1x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;
當(dāng)x1時,f(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù);]上是減函數(shù);在區(qū)間[1,)上是增函數(shù).在區(qū)間[1,1函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0,極小值是f(1)4.
(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位,向上平移4m個單位得到的,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m](m0).而f(3)20,∴44m20,即m4.
于是,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0].令f(x)0得x1或x2.由f(x)的單調(diào)性知,1n4綜上所述,m、n應(yīng)滿足的條件是:m4,且3n
3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb).
(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切,切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,求實數(shù)a,b的值;
6.
2,即3n6.
第3頁共61頁(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.
解:(1)f(x)3x2(ab)xab.
由題意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.(2)當(dāng)b=1時,
224(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2.因
""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符號如下:2,由12可判斷不妨設(shè)1"""xx時,xxx時,xx時,f(x)f(x)f(x)>01122當(dāng)>0;當(dāng)<0;當(dāng)
因此x1是極大值點,x2是極小值點.,當(dāng)b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。
題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
/f1.如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù),(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)
A、0B、1C、2D、3
題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍
第4頁共61頁1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.
(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.
22xa,x23af(x)x4ax3a解:(1)=(x3a)(xa),令f(x)0得1列表如下:
x(-∞,a)a
(a,3a)3a+
0極大
(3a,+∞)-
f(x)f(x)
-0極小
∴f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減
4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,
|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5
22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函
數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由f(
21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
第5頁共61頁x22(-,-3)-302(-3,1)-1(1,+)f(x)+f(x)0+極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c
為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2
題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根
131.已知平面向量a=(3,-1).b=(2,2).
(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y,
試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(2)據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.
yxy解:(1)∵x⊥,∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個
數(shù).
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=-1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=2.
第6頁共61頁1當(dāng)t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=-21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,
可觀察出:
11(1)當(dāng)k>2或k<-2時,方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=2或k=-2時,方程f(t)-k=0有兩解;11(3)當(dāng)-2<k<2時,方程f(t)-k=0有三解.
題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合
3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)
x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須
樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).
2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,
2x1,,故3x3.從而0
3f(x)(x2)(xa)22.已知a為實數(shù),函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍(2)若f"(1)0,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)證明對任意的
x1、x2(1,0),不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解:
333xaf"(x)3x22ax22,2
函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f"(x)0有實數(shù)解
4a243
39330a2(,2][2,)22,所以a的取值范圍是22,
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24,222,11f"(x)0,1x2;由2
f"(1)0,
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為
f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值為
f(x)在[1,0]上的最大值
M對任意x1,x2(1,0),恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為xm,則1x4
第8頁共61頁由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:
32(x1)282xx2,(單位:m)
6故底面正六邊形的面積為:
333((82xx2)22282xx)=24,(單位:m)
帳篷的體積為:
V(x)1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322(單位:m)
V"(x)求導(dǎo)得
3(123x2)2。
(x)0,解得x2(不合題意,舍去)令V",x2,(x)0,V(x)當(dāng)1x2時,V"為增函數(shù);(x)0,V(x)當(dāng)2x4時,V"為減函數(shù)。
∴當(dāng)x2時,V(x)最大。
3答:當(dāng)OO1為2m時,帳篷的體積最大,最大體積為163m。
2.統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/
y小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙兩地相距100千米。
(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
1002.5x40解:(I)當(dāng)時,汽車從甲地到乙地行駛了40小時,
13(403408)2.517.580要耗沒128000(升)。
100(II)當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了x小時,設(shè)耗油量為h(x)升,131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第9頁共61頁
令h"(x)0,得x80.
當(dāng)x(0,80)時,h"(x)0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120)時,h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。
當(dāng)x80時,h(x)取到極小值h(80)11.25.
因為h(x)在(0,120]上只有一個極值,所以它是最小值。
答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。
題型九:導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合
3113a(,),b(,).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使1.設(shè)平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy,
(1)求函數(shù)關(guān)系式Sf(t);
,上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。(2)若函數(shù)Sf(t)在1a(解:(1)
3113,),b(,).ab1,ab02222
又xy,xy0,得2ab0,(tk)(satb)2222即sa(ttk)b-(tstsk)ab0。s(t2k)t0,故s(ft)t3kt。
(2)
f(t)3t2k且f(t)在1,上是單調(diào)函數(shù),
0則在1,上有f(t)0或f(t)222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3;由
22f(t)03tk0k3t由。
因為在t∈1,上3t是增函數(shù),所以不存在k,使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22圍是k3。
第10頁共61頁導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法
一、考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析
題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。
32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21.
22.已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值,則常數(shù)c=6;
33.函數(shù)y13xx有極小值-1,極大值3
題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點
42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)
4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30
4.求下列直線的方程:
322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;
32y/3x22xky/|x-13-21解:(1)點P(1,1)在曲線yxx1上,
即xy20所以切線方程為y1x1,
2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為A(x0,y0),則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,
所以過
2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為
ky/|xx02x0,又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點,所以有
y05x03x01x05y1或y250②,由①②聯(lián)立方程組得,0,即切點為(1,1)時,切線斜率為
k12x02;;當(dāng)切點為(5,25)時,切線斜率為k22x010;所以所求的切線有兩條,方程分
即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5),
題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值
32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)
第11頁共61頁(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍
322f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.解:(1)由
過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為:
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③
32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2,b=-4,c=5∴
2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).
23x2時,f(x)0;當(dāng)2x時,f(x)0;3當(dāng)
2當(dāng)x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。
2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又
2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.
x①當(dāng)
b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;
x②當(dāng)
612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)
綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)
322.已知三次函數(shù)f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.
第12頁共61頁(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)yf(x","p":{"h":16.69,"w":7.131,"x":243(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.
解:(1)f(x)3x2(ab)xab.
由題意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.(2)當(dāng)b=1時,
224(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2.因
""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符號如下:2,由12可判斷不妨設(shè)1"""xx時,xxx時,xx時,f(x)f(x)f(x)>01122當(dāng)>0;當(dāng)<0;當(dāng)
因此x1是極大值點,x2是極小值點.,當(dāng)b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。
題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
/f1.如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù),(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)
A、0B、1C、2D、3
題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍
第14頁共61頁1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.
(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.
22xa,x23af(x)x4ax3a解:(1)=(x3a)(xa),令f(x)0得1列表如下:
x(-∞,a)a
(a,3a)3a+
0極大
(3a,+∞)-
f(x)f(x)
-0極小
∴f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減
4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,
|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5
22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函
數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由f(
21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
第15頁共61頁x22(-,-3)-302(-3,1)-1(1,+)f(x)+f(x)0+極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c
為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2
題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根
131.已知平面向量a=(3,-1).b=(2,2).
(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y,
試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(2)據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.
yxy解:(1)∵x⊥,∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個
數(shù).
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=-1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=2.
第16頁共61頁1當(dāng)t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=-21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,
可觀察出:
11(1)當(dāng)k>2或k<-2時,方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=2或k=-2時,方程f(t)-k=0有兩解;11(3)當(dāng)-2<k<2時,方程f(t)-k=0有三解.
題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合
3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)
x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須
樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).
2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,
2x1,,故3x3.從而0
3f(x)(x2)(xa)22.已知a為實數(shù),函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍(2)若f"(1)0,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)證明對任意的
x1、x2(1,0),不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解:
333xaf"(x)3x22ax22,2
函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f"(x)0有實數(shù)解
4a243
39330a2(,2][2,)22,所以a的取值范圍是22,
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24,222,11f"(x)0,1x2;由2
f"(1)0,
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為
f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值為
f(x)在[1,0]上的最大值
M對任意x1,x2(1,0),恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為xm,則1x4
第18頁共61頁由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:
32(x1)282xx2,(單位:m)
6故底面正六邊形的面積為:
333((82xx2)22282xx)=24,(單位:m)
帳篷的體積為:
V(x)1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322(單位:m)
V"(x)求導(dǎo)得
3(123x2)2。
(x)0,解得x2(不合題意,舍去)令V",x2,(x)0,V(x)當(dāng)1x2時,V"為增函數(shù);(x)0,V(x)當(dāng)2x4時,V"為減函數(shù)。
∴當(dāng)x2時,V(x)最大。
3答:當(dāng)OO1為2m時,帳篷的體積最大,最大體積為163m。
2.統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/
y小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙兩地相距100千米。
(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
1002.5x40解:(I)當(dāng)時,汽車從甲地到乙地行駛了40小時,
13(403408)2.517.580要耗沒128000(升)。
100(II)當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了x小時,設(shè)耗油量為h(x)升,131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第19頁共61頁
令h"(x)0,得x80.
當(dāng)x(0,80)時,h"(x)0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120)時,h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。
當(dāng)x80時,h(x)取到極小值h(80)11.25.
因為h(x)在(0,120]上只有一個極值,所以它是最小值。
答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。
題型九:導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合
3113a(,),b(,).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使1.設(shè)平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy,
(1)求函數(shù)關(guān)系式Sf(t);
,上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。(2)若函數(shù)Sf(t)在1a(解:(1)
3113,),b(,).ab1,ab02222
又xy,xy0,得2ab0,(tk)(satb)2222即sa(ttk)b-(tstsk)ab0。s(t2k)t0,故s(ft)t3kt。
(2)
f(t)3t2k且f(t)在1,上是單調(diào)函數(shù),
0則在1,上有f(t)0或f(t)222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3;由
22f(t)03tk0k3t由。
因為在t∈1,上3t是增函數(shù),所以不存在k,使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22圍是k3。
第20頁共61頁
導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法
一、考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析
題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。
32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21.
22.已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值,則常數(shù)c=6;
33.函數(shù)y13xx有極小值-1,極大值3
題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點
42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)
4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30
4.求下列直線的方程:
322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;
解:(1)
點P(1,1)在曲線yx3x21上,y/3x22xky/|x-13-21
即xy20所以切線方程為y1x1,
2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為A(x0,y0),則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,
所以過
2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為
ky/|xx02x0,又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點,所以有
y05x03x01x05y1或y250②,由①②聯(lián)立方程組得,0,即切點為(1,1)時,切線斜率為
k12x02;;當(dāng)切點為(5,25)時,切線斜率為k22x010;所以所求的切線有兩條,方程分
即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5),
題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值
第21頁共61頁32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍
322解:(1)由f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.
過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為:
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③
32由①②③得a=2,b=-4,c=5∴f(x)x2x4x5.
2f(x)3x4x4(3x2)(x2).(2)
23x2時,f(x)0;當(dāng)2x時,f(x)0;3當(dāng)
2當(dāng)x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.
2x①當(dāng)
b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;
x②當(dāng)
612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)
綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)
第22頁共61頁32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.2.已知三次函數(shù)
(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16],試求m、n應(yīng)滿足的條件.
2解:(1)f(x)3x2axb,
2由題意得,1,1是3x2axb0的兩個根,解得,a0,b3.
3f(2)4f(x)x3x2.c2再由可得.∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1),
當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)1x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;
當(dāng)x1時,f(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù);]在區(qū)間[1,1上是減函數(shù);在區(qū)間[1,)上是增函數(shù).
函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0,極小值是f(1)4.
(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位,向上平移4m個單位得到的,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m](m0).而f(3)20,∴44m20,即m4.
于是,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0].令f(x)0得x1或x2.由f(x)的單調(diào)性知,1n4綜上所述,m、n應(yīng)滿足的條件是:m4,且3n
3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb).
(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切,切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,
6.
2,即3n6.
第23頁共61頁求實數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.
2f(x)3x2(ab)xab.解:(1)
由題意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.(2)當(dāng)b=1時,
24(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2.因
""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨設(shè),由可判斷(x)的符號如下:"""xx時,xxx時,xx時,f(x)f(x)f(x)>01122當(dāng)>0;當(dāng)<0;當(dāng)
因此x1是極大值點,x2是極小值點.,當(dāng)b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。
題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
/f1.如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù),(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)
A、0B、1C、2D、3
第24頁共61頁
題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.
(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.
22xa,x23a解:(1)f(x)x4ax3a=(x3a)(xa),令f(x)0得1列表如下:
x(-∞,a)a
(a,3a)3a+
0極大
(3a,+∞)-
f(x)f(x)
-0極小
∴f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減
4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,
|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5
22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函
數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由f(
21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
第25頁共61頁f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x22(-,-3)-302(-3,1)-1(1,+)f(x)+f(x)0+極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c
為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2
題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根
131.已知平面向量a=(3,-1).b=(2,2).
(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y,
試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(2)據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.
yxy解:(1)∵x⊥,∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個
數(shù).
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=-1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=2.
第26頁共61頁1當(dāng)t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=-21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,
可觀察出:
11(1)當(dāng)k>2或k<-2時,方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=2或k=-2時,方程f(t)-k=0有兩解;11(3)當(dāng)-2<k<2時,方程f(t)-k=0有三解.
題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合
3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)
x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須
樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).
2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,
2x1,,故3x3.從而0
3f(x)(x2)(xa)22.已知a為實數(shù),函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍(2)若f"(1)0,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)證明對任意的
x1、x2(1,0),不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解:
333xaf"(x)3x22ax22,2
函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f"(x)0有實數(shù)解
4a243
39330a2(,2][2,)22,所以a的取值范圍是22,
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24,222,11f"(x)0,1x2;由2
f"(1)0,
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為
f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值為
f(x)在[1,0]上的最大值
M對任意x1,x2(1,0),恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為xm,則1x4
第28頁共61頁由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:
32(x1)282xx2,(單位:m)
6故底面正六邊形的面積為:
333((82xx2)22282xx)=24,(單位:m)
帳篷的體積為:
V(x)1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322(單位:m)
V"(x)求導(dǎo)得
3(123x2)2。
(x)0,解得x2(不合題意,舍去)令V",x2,(x)0,V(x)當(dāng)1x2時,V"為增函數(shù);(x)0,V(x)當(dāng)2x4時,V"為減函數(shù)。
∴當(dāng)x2時,V(x)最大。
3答:當(dāng)OO1為2m時,帳篷的體積最大,最大體積為163m。
2.統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/
y小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙兩地相距100千米。
(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
1002.5x40解:(I)當(dāng)時,汽車從甲地到乙地行駛了40小時,
13(403408)2.517.580要耗沒128000(升)。
100(II)當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了x小時,設(shè)耗油量為h(x)升,131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第29頁共61頁
令h"(x)0,得x80.
當(dāng)x(0,80)時,h"(x)0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120)時,h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。
當(dāng)x80時,h(x)取到極小值h(80)11.25.
因為h(x)在(0,120]上只有一個極值,所以它是最小值。
答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。
題型九:導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合
3113a(,),b(,).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使1.設(shè)平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy,
(1)求函數(shù)關(guān)系式Sf(t);
,上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。(2)若函數(shù)Sf(t)在1a(解:(1)
3113,),b(,).ab1,ab02222
又xy,xy0,得2ab0,(tk)(satb)2222即sa(ttk)b-(tstsk)ab0。s(t2k)t0,故s(ft)t3kt。
(2)
f(t)3t2k且f(t)在1,上是單調(diào)函數(shù),
0則在1,上有f(t)0或f(t)222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3;由
22f(t)03tk0k3t由。
因為在t∈1,上3t是增函數(shù),所以不存在k,使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22圍是k3。
第30頁共61頁
導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法
一、考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析
題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。
32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21.
22.已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值,則常數(shù)c=6;
33.函數(shù)y13xx有極小值-1,極大值3
題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點
42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)
4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30
4.求下列直線的方程:
322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;
解:(1)
點P(1,1)在曲線yx3x21上,y/3x22xky/|x-13-21
即xy20所以切線方程為y1x1,
2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為A(x0,y0),則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,
所以過
2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為
ky/|xx02x0,又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點,所以有
y05x03x01x05y1或y250②,由①②聯(lián)立方程組得,0,即切點為(1,1)時,切線斜率為
k12x02;;當(dāng)切點為(5,25)時,切線斜率為k22x010;所以所求的切線有兩條,方程分
即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5),
題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值
第31頁共61頁32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍
322解:(1)由f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.
過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為:
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③
32由①②③得a=2,b=-4,c=5∴f(x)x2x4x5.
2f(x)3x4x4(3x2)(x2).(2)
23x2時,f(x)0;當(dāng)2x時,f(x)0;3當(dāng)
2當(dāng)x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.
2x①當(dāng)
b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;
x②當(dāng)
612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)
綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)
第32頁共61頁32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.2.已知三次函數(shù)
(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16],試求m、n應(yīng)滿足的條件.
2解:(1)f(x)3x2axb,
2由題意得,1,1是3x2axb0的兩個根,解得,a0,b3.
3f(2)4f(x)x3x2.c2再由可得.∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1),
當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)1x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;
當(dāng)x1時,f(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù);]在區(qū)間[1,1上是減函數(shù);在區(qū)間[1,)上是增函數(shù).
函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0,極小值是f(1)4.
(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位,向上平移4m個單位得到的,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m](m0).而f(3)20,∴44m20,即m4.
于是,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0].令f(x)0得x1或x2.由f(x)的單調(diào)性知,1n4綜上所述,m、n應(yīng)滿足的條件是:m4,且3n
3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb).
(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切,切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,
6.
2,即3n6.
第33頁共61頁求實數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.
2f(x)3x2(ab)xab.解:(1)
由題意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.(2)當(dāng)b=1時,
24(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2.因
""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨設(shè),由可判斷(x)的符號如下:"""xx時,xxx時,xx時,f(x)f(x)f(x)>01122當(dāng)>0;當(dāng)<0;當(dāng)
因此x1是極大值點,x2是極小值點.,當(dāng)b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。
題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
/f1.如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù),(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)
A、0B、1C、2D、3
第34頁共61頁
題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.
(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.
22xa,x23a解:(1)f(x)x4ax3a=(x3a)(xa),令f(x)0得1列表如下:
x(-∞,a)a
(a,3a)3a+
0極大
(3a,+∞)-
f(x)f(x)
-0極小
∴f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減
4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,
|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5
22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函
數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由f(
21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
第35頁共61頁f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x22(-,-3)-302(-3,1)-1(1,+)f(x)+f(x)0+極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c
為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2
題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根
131.已知平面向量a=(3,-1).b=(2,2).
(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y,
試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(2)據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.
yxy解:(1)∵x⊥,∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個
數(shù).
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=-1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=2.
第36頁共61頁1當(dāng)t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=-21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,
可觀察出:
11(1)當(dāng)k>2或k<-2時,方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=2或k=-2時,方程f(t)-k=0有兩解;11(3)當(dāng)-2<k<2時,方程f(t)-k=0有三解.
題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合
3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)
x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須
樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).
2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,
2x1,,故3x3.從而0
3f(x)(x2)(xa)22.已知a為實數(shù),函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍(2)若f"(1)0,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)證明對任意的
x1、x2(1,0),不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解:
333xaf"(x)3x22ax22,2
函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f"(x)0有實數(shù)解
4a243
39330a2(,2][2,)22,所以a的取值范圍是22,
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24,222,11f"(x)0,1x2;由2
f"(1)0,
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為
f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值為
f(x)在[1,0]上的最大值
M對任意x1,x2(1,0),恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為xm,則1x4
第38頁共61頁wenku_39({"font":{"d5c147d433d4b14e8524684a0010027":"宋體","d5c147d433d4b14e8524684a00201*7":"TimesNewRoman","d5c147d433d4b14e8524684a0030027":"宋體","d5c147d433d4b14e8524684a0040027":"TimesNewRomanItalic","d5c147d433d4b14e8524684a0050027":"Symbol","d5c147d433d4b14e8524684a0080027":"TimesNewRomanBoldItalic","d5c147d433d4b14e8524684a00a0027":"TimesNewRomanBold"},"style":[{"t":"style","c":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,0],"s":{"color":"#000000"}},{"t":"style","c":[4,14,20,52,54,1],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0010027"}},{"t":"style","c":[1,4,14,16,20,52,54,2],"s":{"font-size":"15.84"}},{"t":"style","c":[1,4,14,20,34,46,48,52,54,69,3],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0010027"}},{"t":"style","c":[4],"s":{"letter-spacing":"-0.074"}},{"t":"style","c":[7,8,18,22,23,25,27,33,39,43,51,53,55,56,57,58,60,61,64,65,66,70,5],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00201*7"}},{"t":"style","c":[7,9,11,6],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[7],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[8],"s":{"font-size":"10.271"}},{"t":"style","c":[9],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[9,19,28,38,45,50,67,10],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[11],"s":{"font-size":"17.572"}},{"t":"style","c":[11,15,21,29,30,44,49,63,12],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0040027"}},{"t":"style","c":[11,12,15,21,29,30,36,44,49,63,13],"s":{"font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[14],"s":{"letter-spacing":"-0.058"}},{"t":"style","c":[15],"s":{"font-size":"18.704"}},{"t":"style","c":[16],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0030027"}},{"t":"style","c":[18,19,21,43,46,17],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[43,18],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[19],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[20],"s":{"letter-spacing":"-0.079"}},{"t":"style","c":[21],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[22],"s":{"font-size":"10.499"}},{"t":"style","c":[23],"s":{"font-size":"10.776"}},{"t":"style","c":[25,24],"s":{"font-size":"10.402"}},{"t":"style","c":[25],"s":{"font-size":"10.402"}},{"t":"style","c":[27,28,29,26],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[27],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[28],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[29],"s":{"font-size":"18.489"}},{"t":"style","c":[30],"s":{"font-size":"17.856"}},{"t":"style","c":[30,61,31],"s":{"font-size":"17.856"}},{"t":"style","c":[33,34,35,36,38,41,32],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[33],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[34],"s":{"font-size":"16.32"}},{"t":"style","c":[36,38,41,35],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[36],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0080027","font-style":"italic"}},{"t":"style","c":[35,36,38,41,42,37],"s":{"bold":"true"}},{"t":"style","c":[38],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a0050027"}},{"t":"style","c":[57,58,60,39],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[39,44,45,57,58,60,40],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[41],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00a0027"}},{"t":"style","c":[41,42],"s":{"font-family":"d5c147d433d4b14e8524684a00a0027"}},{"t":"style","c":[43],"s":{"letter-spacing":"1.023"}},{"t":"style","c":[44],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[45],"s":{"font-size":"17.77"}},{"t":"style","c":[46],"s":{"font-size":"17.998"}},{"t":"style","c":[48,49,50,51,53,47],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[48],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[49],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[50],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[53,51],"s":{"font-size":"17.398"}},{"t":"style","c":[52],"s":{"letter-spacing":"-0.087"}},{"t":"style","c":[53],"s":{"letter-spacing":"-1.094"}},{"t":"style","c":[54],"s":{"letter-spacing":"-0.043"}},{"t":"style","c":[55],"s":{"font-size":"18.126"}},{"t":"style","c":[56],"s":{"font-size":"10.272"}},{"t":"style","c":[57],
令h"(x)0,得x80.
當(dāng)x(0,80)時,h"(x)0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120)時,h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。
當(dāng)x80時,h(x)取到極小值h(80)11.25.
因為h(x)在(0,120]上只有一個極值,所以它是最小值。
答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。
題型九:導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合
3113a(,),b(,).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使1.設(shè)平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy,
(1)求函數(shù)關(guān)系式Sf(t);
,上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。(2)若函數(shù)Sf(t)在1a(解:(1)
3113,),b(,).ab1,ab02222
又xy,xy0,得2ab0,(tk)(satb)2222即sa(ttk)b-(tstsk)ab0。s(t2k)t0,故s(ft)t3kt。
(2)
f(t)3t2k且f(t)在1,上是單調(diào)函數(shù),
0則在1,上有f(t)0或f(t)222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3;由
22f(t)03tk0k3t由。
因為在t∈1,上3t是增函數(shù),所以不存在k,使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22圍是k3。
第40頁共61頁
導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法
一、考試內(nèi)容
導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析
題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。
32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21.
22.已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值,則常數(shù)c=6;
33.函數(shù)y13xx有極小值-1,極大值3
題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程
31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點
42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)
4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30
4.求下列直線的方程:
322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;
解:(1)
點P(1,1)在曲線yx3x21上,y/3x22xky/|x-13-21
即xy20所以切線方程為y1x1,
2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為A(x0,y0),則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,
所以過
2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為
ky/|xx02x0,又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點,所以有
y05x03x01x05y1或y250②,由①②聯(lián)立方程組得,0,即切點為(1,1)時,切線斜率為
k12x02;;當(dāng)切點為(5,25)時,切線斜率為k22x010;所以所求的切線有兩條,方程分
即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5),
題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值
第41頁共61頁32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍
322解:(1)由f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.
過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為:
yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).
的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3
①②
∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③
32由①②③得a=2,b=-4,c=5∴f(x)x2x4x5.
2f(x)3x4x4(3x2)(x2).(2)
23x2時,f(x)0;當(dāng)2x時,f(x)0;3當(dāng)
2當(dāng)x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。
2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.
2x①當(dāng)
b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;
x②當(dāng)
612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)
綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)
第42頁共61頁32f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.2.已知三次函數(shù)
(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16],試求m、n應(yīng)滿足的條件.
2解:(1)f(x)3x2axb,
2由題意得,1,1是3x2axb0的兩個根,解得,a0,b3.
3f(2)4f(x)x3x2.c2再由可得.∴2(2)f(x)3x33(x1)(x1),
當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)1x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;
當(dāng)x1時,f(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù);]在區(qū)間[1,1上是減函數(shù);在區(qū)間[1,)上是增函數(shù).
函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0,極小值是f(1)4.
(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位,向上平移4m個單位得到的,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m](m0).而f(3)20,∴44m20,即m4.
于是,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0].令f(x)0得x1或x2.由f(x)的單調(diào)性知,1n4綜上所述,m、n應(yīng)滿足的條件是:m4,且3n
3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb).
(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切,切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,
6.
2,即3n6.
第43頁共61頁求實數(shù)a,b的值;
(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.
2f(x)3x2(ab)xab.解:(1)
由題意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.
2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.(2)當(dāng)b=1時,
24(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2.因
""xxf(x)3(xx)(xx)f1212不妨設(shè),由可判斷(x)的符號如下:"""xx時,xxx時,xx時,f(x)f(x)f(x)>01122當(dāng)>0;當(dāng)<0;當(dāng)
因此x1是極大值點,x2是極小值點.,當(dāng)b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。
題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
/f1.如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù),(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)
(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)
642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)
o24-2-4xo24-2-4
323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)
A、0B、1C、2D、3
第44頁共61頁
題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍
1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.
(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.
22xa,x23a解:(1)f(x)x4ax3a=(x3a)(xa),令f(x)0得1列表如下:
x(-∞,a)a
(a,3a)3a+
0極大
(3a,+∞)-
f(x)f(x)
-0極小
∴f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減
4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,
22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,
∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減
(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,
|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a
44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5
22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函
數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b
-由f(
21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2
第45頁共61頁f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:x22(-,-3)-302(-3,1)-1(1,+)f(x)+f(x)0+極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c
為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2
題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根
131.已知平面向量a=(3,-1).b=(2,2).
(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y,
試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(2)據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.
yxy解:(1)∵x⊥,∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.
22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0
122∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)
11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個
數(shù).
33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=-1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=2.
第46頁共61頁1當(dāng)t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=-21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,
可觀察出:
11(1)當(dāng)k>2或k<-2時,方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=2或k=-2時,方程f(t)-k=0有兩解;11(3)當(dāng)-2<k<2時,方程f(t)-k=0有三解.
題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合
3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)
(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)
x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.
22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須
樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).
2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,
2x1,,故3x3.從而0
3f(x)(x2)(xa)22.已知a為實數(shù),函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍(2)若f"(1)0,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)證明對任意的
x1、x2(1,0),不等式
|f(x1)f(x2)|516恒成立
f(x)x3ax2解:
333xaf"(x)3x22ax22,2
函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f"(x)0有實數(shù)解
4a243
39330a2(,2][2,)22,所以a的取值范圍是22,
399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24,222,11f"(x)0,1x2;由2
f"(1)0,
32a由f"(x)0,x1或
x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為
f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16
2749581616
易知f(x)的最大值為
f(x)在[1,0]上的最大值
M對任意x1,x2(1,0),恒有
|f(x1)f(x2)|Mm
題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用
1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為xm,則1x4
第48頁共61頁由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:
32(x1)282xx2,(單位:m)
6故底面正六邊形的面積為:
333((82xx2)22282xx)=24,(單位:m)
帳篷的體積為:
V(x)1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322(單位:m)
V"(x)求導(dǎo)得
3(123x2)2。
(x)0,解得x2(不合題意,舍去)令V",x2,(x)0,V(x)當(dāng)1x2時,V"為增函數(shù);(x)0,V(x)當(dāng)2x4時,V"為減函數(shù)。
∴當(dāng)x2時,V(x)最大。
3答:當(dāng)OO1為2m時,帳篷的體積最大,最大體積為163m。
2.統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量
y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/
y小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
13x3x8(0x120).12800080
已知甲、乙兩地相距100千米。
(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
1002.5x40解:(I)當(dāng)時,汽車從甲地到乙地行駛了40小時,
13(403408)2.517.580要耗沒128000(升)。
100(II)當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了x小時,設(shè)耗油量為h(x)升,131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得
x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x
第49頁共61頁
令h"(x)0,得x80.
當(dāng)x(0,80)時,h"(x)0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120)時,h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。
當(dāng)x80時,h(x)取到極小值h(80)11.25.
因為h(x)在(0,120]上只有一個極值,所以它是最小值。
答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。
題型九:導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合
3113a(,),b(,).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使1.設(shè)平面向量
xa(t2k)b,ysatb,且xy,
(1)求函數(shù)關(guān)系式Sf(t);
,上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。(2)若函數(shù)Sf(t)在1a(解:(1)
3113,),b(,).ab1,ab02222
又xy,xy0,得2ab0,(tk)(satb)2222即sa(ttk)b-(tstsk)ab0。s(t2k)t0,故s(ft)t3kt。
(2)
f(t)3t2k且f(t)在1,上是單調(diào)函數(shù),
0則在1,上有f(t)0或f(t)222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3;由
22f(t)03tk0k3t由。
因為在t∈1,上3t是增函數(shù),所以不存在k,使k3t在1,上恒成立。故k的取值范
22圍是k3。
第50頁共61頁
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