高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點(diǎn)與題型總結(jié)

5三角函數(shù)中的實際應(yīng)用例5如圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏

A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時

西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)兩船相距102海里，問乙船每小時航行多少海里？

【相關(guān)高考】如圖，測量河對岸的塔高

AB時，可以選與塔底

B在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點(diǎn)

C與

D

．現(xiàn)測得

BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，求塔高

AB．

f(x)4cosxsin(x1.已知函數(shù)6)1.

（Ⅰ）求

f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求

f(x)6,在區(qū)間4上的最大值和最小值。

cosA2cosC2ca3.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知cosBb，sinC（Ⅰ）求sinA的值；

cosB14,b2（Ⅱ）若

，求ABC的面積S。

5.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

(Ⅰ)求B；

（Ⅱ）若

A750,b2,求a，c.

f(x)2sin(17．已知函數(shù)

3x6)，xR．

f(5（1）求4)的值；

北120A2B2105BA11乙

甲

（2）設(shè)

,0,2f(3，

2)106f(32)13，5，求cos()的值．

f(x)sin(x8．已知函數(shù)（Ⅰ）求

73)cos(x)44，xR．

f(x)的最小正周期和最小值；

cos()（Ⅱ）已知

44cos()025，5，2．求證：[f()]20．

f(x)4cosxsin(x1.【解析】：（Ⅰ）因為

6)14cosx(31sinxcosx)122

3sin2x2cosx13sin2xcos2x（Ⅱ）因為

22sin(2x6)所以

f(x)的最小正周期為6x4,所以62x62.32x于是，當(dāng)

62,即x6時，

f(x)取得最大值2；當(dāng)

2x3.

6,即x時,f(x)66取得最小值1．

cosA2cosC2cacosA2cosC2sinCsinAABCcosBb及正弦定理可得，cosBsinB解：（Ⅰ）在中，由，

即sin則sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosBAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB

sin(AB)2sin(CB)cosA2coCscosB，而

ABC，則

sinC2sAin，即

sinC2sinA。另解1：在

ABC中，由

c2ab可得，bcosA2bcosC2ccosBacosB

由余弦定理可得

b2c2a2a2b2c2a2c2b2a2c2b22caa2c，整理可得

c2a，由正弦定理可得

sinCc2sinAa

。另解2：利用教材習(xí)題結(jié)論解題，在

ABC中有結(jié)論

abcosCccosB,bccosAacosC,cacosBbcosAbcoAsb2Cc由

cosA2cosC2cacosBb可得

obcosAaBcosBa2ccosBB2bcosC，則c2a，即csinCc12cosB,b22222224ca2accosB4aaa4a,c2asinAa4由正弦定理可得。（Ⅱ）由及可得

1115acsinB121cos2B24則a1，c2，S2

S，即

154。

5.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC0A75,b2,求a，c.

(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若

2asinCbsinB.

【解析】(I)由正弦定理得a2c22acb2…由余弦定理得b2a2c22accosB.故

cosB22，因此B45

（II）

sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin45264故

sinA26sinCsin60ab13cb26sinB2sinBsin45.……………………………

7．已知函數(shù)

1f(x)2sin(x)36，xR．

f(（1）求

5,0,f(3)10f(32)6)2，4的值；（2）設(shè)213，5，求cos()的值．

73)cos(x)44，xR．

f(x)sin(x8．已知函數(shù)

44cos()02f(x)[f()]20．552（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，．求證：

77332sin(x)f(x)sinxcoscosxsincosxcossinxsin4，∴f(x)的最44442sinx2cosx（Ⅰ）解析：

cos()2，最小值f(x)min2．Ⅱ）證明：由已知得

02coscos02．2，∴cos0，則式相加得，∵

[f()]224sin2204∴．

小正周期T

coscossinsin44coscossinsin5，5，兩

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)知識點(diǎn)與題型總結(jié)

三角函數(shù)典型考題歸類

1．根據(jù)解析式研究函數(shù)性質(zhì)

例1（天津理）已知函數(shù)f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間

π3π上的最小值和最大值．

8，4【相關(guān)高考1】（湖南文）已知函數(shù)f(x)12sinx2πππ2sinxcosx．888求：（I）函數(shù)f(x)的最小正周期；（II）函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．

【相關(guān)高考2】（湖南理）已知函數(shù)f(x)cosx21π，g(x)1sin2x．212（I）設(shè)xx0是函數(shù)yf(x)圖象的一條對稱軸，求g(x0)的值．（II）求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．2．根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)解析式

0≤≤例2（江西）如圖，函數(shù)y2cos(x)(xR，>0，期為．

（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)Aπ2)的圖象與y軸相交于點(diǎn)(0，3)，且該函數(shù)的最小正周

yπ，0，點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)Q(x0，y0)是PA的中點(diǎn)，當(dāng)2π時，求x0的值．，π23OAPxy032，x0【相關(guān)高考1】（遼寧）已知函數(shù)f(x)sinxππ2x，（I）求函數(shù)f(x)sinx2cos，xR（其中0）662π2，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間．

的值域；（II）（文）若函數(shù)yf(x)的圖象與直線y1的兩個相鄰交點(diǎn)間的距離為

（理）若對任意的aR，函數(shù)yf(x)，x(a，aπ]的圖象與直線y1有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，試確定的值（不必證明），并求函數(shù)yf(x)，xR的單調(diào)增區(qū)間．【相關(guān)高考2】（全國Ⅱ）在△ABC中，已知內(nèi)角A，邊BC23．設(shè)內(nèi)角Bx，周長為y．

（1）求函數(shù)yf(x)的解析式和定義域；（2）求函數(shù)yf(x)的最大值．3．三角函數(shù)求值例3（四川）已知cosα=

17,cos(α-β)＝

1314，且0【相關(guān)高考2】(重慶理)設(shè)f(x)=6cos求tan

2x3sin2x（1）求f(x)的最大值及最小正周期；（2）若銳角滿足f()323，

45的值.

4．三角形中的函數(shù)求值

例4（全國Ⅰ）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2bsinA．

（Ⅰ）求B的大�。唬ㄎ模�（Ⅱ）若a33，c5，求b．（理）（Ⅱ）求cosAsinC的取值范圍．【相關(guān)高考1】（天津文）在△ABC中，已知AC2，BC3，cosA45．

（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin2B的值．614，tanB【相關(guān)高考2】（福建）在△ABC中，tanA35．（Ⅰ）求角C的大�。晃模á颍┤鬉B邊的長為17，求BC邊的長．理（Ⅱ）若△ABC最大邊的邊長為17，求最小邊的邊長．5．三角與平面向量

△ABC36例5（湖北理）已知的面積為，且滿足0≤ABAC≤，設(shè)AB和AC的夾角為．（I）求的取值范圍；

（II）求函數(shù)f()2sin2π43cos2的最大值與最小值．

【相關(guān)高考1】（陜西）設(shè)函數(shù)fxab，

其中向量a(m,cos2x),b(1sin2x,1),xR，且函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn),2，

4（Ⅰ）求實數(shù)m的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的最小值及此時x的值的集合.

【相關(guān)高考2】（廣東）已知ΔABC三個頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

（文）(1)若ABAC0，求c的值；（理）若∠A為鈍角，求c的取值范圍；(2)若c5，求sin∠A的值．

6三角函數(shù)中的實際應(yīng)用

例6（山東理）如圖，甲船以每小時302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于

甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時兩船相距102海里，問乙船每小時航行多少海里？

【相關(guān)高考】（寧夏）如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點(diǎn)C與D．現(xiàn)測得

BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為，求塔高AB．

北120B2A2B1

7．三角函數(shù)與不等式

105A1乙

甲例7（湖北文）已知函數(shù)f(x)2sin2πx4ππ3cos2x，x，．（I）求f(x)的最大值和最小值；

42（II）若不等式f(x)m2在x8．三角函數(shù)與極值

例8（安徽文）設(shè)函數(shù)fxcos2ππ上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

4，2x4tsinx2cosx24tt3t4,xR

32其中t≤1，將fx的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達(dá)式；(Ⅱ)討論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

三角函數(shù)易錯題解析

例題1已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（sinA、

23,cos236

），則角的最小值為（）。

56B、

23C、

53D、

11例題2A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，且tanA,tanB是方程3x25x10的兩個實數(shù)根，則ABC是（）

A、鈍角三角形B、銳角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形

例題3已知方程x4ax3a10（a為大于1的常數(shù)）的兩根為tan，tan，

2且、2,的值是_________________.，則tan22例題4函數(shù)f(x)asinxb的最大值為3，最小值為2，則a______，b_______。

例題5函數(shù)f(x)=

2

sinxcosx1sinxcosx2的值域為______________。

22例題6若2sinαsin3sin,則sinsin的取值范圍是

例題7已知，求ycos6sin的最小值及最大值。例題8求函數(shù)f(x)2tanx1tanx2的最小正周期。

例題9求函數(shù)f(x)sin2x22cos(4x)3的值域

34例題10已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0≤≤)是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)M(上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。

,0)對稱，且在區(qū)間[0，

2]

201*三角函數(shù)集及三角形高考題

b5,B41.（201*年北京高考9）在ABC中，若

,sinA13，則a.

2A,B,Ca,b,cABCacosAbsinBsinAcosAcosB2.（201*年浙江高考5）.在中，角所對的邊分.若，則11(A)-2(B)2(C)-1(D)1

3.（201*年全國卷1高考7）設(shè)函數(shù)重合，則的最小值等于

f(x)cosx(0)，將yf(x)的圖像向右平移3個單位長度后，所得的圖像與原圖像

1（A）3（B）3（C）6（D）9

5.（201*年江西高考14）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若則y=_______.

p4,y是角終邊上一點(diǎn)，且

sin255，

f(x)sin(2x)，其中為實數(shù)，若

6．（201*年安徽高考9）已知函數(shù)

則

f(x)f(6)對xR恒成立，且

f(2)f()，

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

k,k36（A）(kZ)k,k2（B）(kZ)(kZ)

2k,kk,k(kZ)263（C）（D）2227．（201*四川高考8）在△ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，則A的取值范圍是

(0,（A）

6]

（B）6[,)(0,（C）

3]

（D）3[,)

f(x)4cosxsin(x1.（201*年北京高考17）已知函數(shù)

6)1.

6,4f(x)f(x)上的最大值和最小值。（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間cosA2cosC3.（201*年山東高考17）在ABC中，內(nèi)角

A,B,C的對邊分別為

a,b,c，已知

cosB2cab，

sinC（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若

cosB14,b2，求ABC的面積S。

5.（201*年全國卷高考18）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

A75,b2,求a，c(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若.

0A,B,Ca,b,c6.（201*年湖南高考17）在ABC中，角所對的邊分別為且滿足csinAacosC.（I）求角C的大��；（II）求

3sinAcos(B4的最大值，并求取得最大值時角A,B的大�。�

)f(x)2sin(7．（201*年廣東高考16）已知函數(shù)

13x6，xR．

)f(（1）求

54)106,0,f(3)f(32)2，213，5，求cos()的值．的值；（2）設(shè)

f(x)sin(x74)cos(x45，34)8．（201*年廣東高考18）已知函數(shù)（Ⅰ）求

f(x)，xR．

45，

0cos()cos()2．求證：[f()]20．

2的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知

9.（201*年江蘇高考17）在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為

a,b,c,b3csin(A（1）若

6)2cosA,求A的值；（2）若

cosA13，求sinC的值.

b10.（201*高考）△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=求B。

2a。（I）求a；（II）若c2=b2+3a2，

11.（201*年湖北高考17）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知(I)求ABC的周長；(II)求

a1,b2,cosC14

cos(AC)的值。

cos2C12.（201*年浙江高考18）在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)當(dāng)a=2，2sinA=sinC時，求b及c的長．201*三角函數(shù)集及三角形高考題答案

14

1.（201*年北京高考9）在ABC中，若

b5,B4,sinA13，則a.

a52【答案】

a【解析】：由正弦定理得sinA3bsinB又

b5,B4,sinA115sin4,a523

23所以32.（201*年浙江高考5）.在ABC中，角

A,B,C所對的邊分

a,b,c.若acosAbsinB，則sinAcosAcosB

11(A)-2(B)2(C)-1(D)1【答案】D【解析】∵acosAbsinB，∴sinAcosAsin∴sinAcosAcos22B，

Bsin2BcosB1.

3.（201*年全國卷1高考7）設(shè)函數(shù)重合，則的最小值等于

f(x)cosx(0)，將yf(x)的圖像向右平移3個單位長度后，所得的圖像與原圖像

1（A）3（B）3（C）6（D）9

【解析】由題意將

yf(x)的圖像向右平移3個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，說明了3是此函數(shù)周期的整數(shù)倍,得

2k3(kZ)6,解得6k,又0,令k1,得min.

4.（201*全國卷），設(shè)函數(shù)

（A）y=在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對稱（B）y=在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對稱

ππππ（C）y=f(x)在（0，2）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x=4對稱（D）y=f(x)在（0，2）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x=2對稱

解析：解法一：f(x)=

ππ2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x)在（0，2）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x=2對稱。故選D。

255，

5.（201*年江西高考14）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若則y=_______.

p4,y是角終邊上一點(diǎn)，且

sin答案：8.解析：根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第四象限角。

sin對邊y2255斜邊=16yy8

f(x)f(6．（201*年湖南高考9）【解析】若

6)對xR恒成立，則

f(6)sin(3)1，所以3k2,kZ，

k6,kZ.由

f(2)f()sin()sin(2)sin，（kZ），可知，即

，所以

0(2k1)6,kZ，代入

f(x)sin(2x)f(x)sin(2x，得

6，由

)2k22x62k32，

k得

6xk23，故選C.

bca2227．（201*四川高考8）解析：由sinAsinBsinCsinBsinC得abcbc，即cosA12，∵0A，故

0A2222222bc12，

3，選C．

∴f(x)4cosxsin(x1.【解析】：（Ⅰ）因為

6)14cosx(32sinx12cosx)1[高考資源網(wǎng)KS5U.COM]

3sin2x2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x6所以f(x)的最小正周期為2x)（Ⅱ）因為

6x4,所以62x623.于是，當(dāng)

62,即x6時，f(x)取得最大值2；當(dāng)

2x66,即x6時,f(x)取得最小值1．

f(x)Asin(2.（201*年浙江高考18）已知函數(shù)

3x)，xR，A0，

02.yf(x)的部分圖像，如圖所示，

P、Q分別為該圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,A).

（Ⅰ）求

f(x)的最小正周期及的值；（Ⅱ）若點(diǎn)R的坐標(biāo)為(1,0)，

PRQ23，求A的值.

T2.（Ⅰ）解：由題意得，

236P(1,A)在因為

yAsin(3x)的圖像上

sin(所以

3)1.又因為

02，所以

6（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

2(

x0,A).，由題意可知32x02623，得x04，所以Q(4,A)，連接PQ,在△PRQ中，∠PRQ=3,由余弦定理得

cosPRQRPRQPQ2RP.RP2A9A(9A)23.9A222212，解得A2=3。

又A＞0，所以A=3。

cosA2cosC2cab，

3.（201*年山東高考17）在ABC中，內(nèi)角

A,B,C的對邊分別為

a,b,c，已知

cosBsinC（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若

cosB14,b2，求ABC的面積S。cosA2cosC解：（Ⅰ）在ABC中，由

cosB2cab及正弦定理可得，

cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB，

即sinAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB則sinAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB

sinCsin(AB)2sin(CB)，而ABC，則sinCcosA2coCscosB22sAin，即sinA2。另解1：在ABC中，由

c2ab2可得，bcosA2bcosC2ccosBacosB

2bca由余弦定理可得

2cabca222acba222acb2c222，整理可得c2a，由正弦定理可得

sinCsinAca2。

另解2：利用教材習(xí)題結(jié)論解題，在

ABC中有結(jié)論

cosA2cosCabccbosCccb2caoBsCcb,ccoAsacCoc由aBcosBb2caAb可得

oAssinCo即bccosAaBcosBa2ccosBB2bcosC，則c2a，

14由正弦定理可得sinA2。（Ⅱ）由c2a及

cosB,b2可得

4ca2accosB4aaa4a,222222則a1，c2，S

12acsinB12121cosB2154，即

S154。

4.（201*年安徽高考16）在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a=BC上的高.

3，b=2，12cos(BC)0，求邊

解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又

12cos(B)C0a，∴

12cos(180bsinB得

)A0，即12cosA0cosA，

12，

又0°2(sin45cos30cos45sin30)2(22322212)312.

5.（201*年全國卷高考18）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinAcsinC2asinCbsinB.

A75,b2,求a，c.

(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若

0【解析】(I)由正弦定理得ac222acb…由余弦定理得bac2accosB.故

2222cosB22，因此B45246

故

（II）

sinAsin(3045)226sin30cos45cos30sin45absinAsinB13cbsinCsinB2sin60sin456.……………………………

A,B,C所對的邊分別為a,b,c且滿足csinAacosC.

6.（201*年安徽高考17）在ABC中，角

3sinAcos(B（I）求角C的大��；（II）求解

析：（I）

)4的最大值，并求取得最大值時角A,B的大�。�

理得

由正弦定

sinCsinAsinAcosC.因為

0A,所以

sAin從而0.Cs又Cin所C以cos則.3CcosCB0,A.ta4（II）由（I）知4于是

n1,3sinAcos(B4)3sinAcos(A)3sinAcosA2sin(A34,6).,從而當(dāng)A0A

6A6111262,即A3時,，

2sin(A)6取最大值2．

3sinAcos(B綜上所述，

4的最大值為2，此時

13)A3,B5.12

f(x)2sin(7．（201*年廣東高考16）已知函數(shù)

x6，xR．

)f(（1）求

54)106,0,f(3)f(32)2，213，5，求cos()的值．的值；（2）設(shè)f(515)2sin()2sin434642（2）

f(316．解：（1）

110)2sin[(3)]2sin232613，

sin即

163,0,f(32)2sin[(32)]2sin()cos2，13，3625，即5，∵cos∴

1sin212131213354sin，

1cos245∴

cos()coscossinsin513451665

34)f(x)sin(x7)cos(x48．（201*年廣東高考18）已知函數(shù)（Ⅰ）求

f(x)，xR．

45，

0cos()的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知f(x)sinxcos74cosxsin74cosxcos345，

cos()342．求證：[f()]20．

2sinxsin（Ⅰ）解析：

2sinx42cosx2sin(x)4，∴f(x)的最

45，兩

f(x)min2小正周期T2，最小值．Ⅱ）證明：由已知得

coscossinsin5，

coscossinsin式相加得∴

2coscos02202，∴cos0，則

2．

，∵

．

[f()]24sin4209.（201*年江蘇高考17）在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為

a,b,c,b3csin(A（1）若

6)2cosA,求A的值；（2）若

cosA13，求sinC的值.

sin(A解析：（1）

6)2cosA,sinA3cosA,A3

cosA（2）

13,b3c,abc2bccosA8c,a22c

222222c由正弦定理得：sinA

csinC，而

sinA1cosA2223,sinC13。（也可以先推出直角三角形）

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