三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)

三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)

山西省原平市第一中學(xué)任所懷

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求證：它的三條高交于一點(diǎn)。

證明：如圖：作BE

于點(diǎn)E，CFAB于點(diǎn)F，且BE交CF于點(diǎn)H，連接AH并

延長交BC于點(diǎn)D�，F(xiàn)在我們只要證明ADBC即可。

因?yàn)镃FAB，BE

所以四邊形BFEC為圓內(nèi)接四邊形。四邊形AFHE為圓內(nèi)接四邊形。所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得

四邊形AFDC為圓內(nèi)接四邊形所以∠AFC=∠ADC=90°即ADBC。

點(diǎn)評：以上證明主要應(yīng)用了平面幾何中的四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)。三角形垂心的性質(zhì)定理1：

銳角三角形的垂心是以三個垂足為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)心。

如上圖，在三角形ABC中，AD、CF、BE分別為BC、AB、AC上的高，D、F、E分別為垂足，H為三角形ABC的垂心。求證：H為三角形DFE的內(nèi)心。

證明：要證H為三角形DFE的內(nèi)心，只需證明HF、HE、HD分別平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同樣我們還是利用四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)來證明。

由BCEF四點(diǎn)共圓得∠EFC=∠EBC（都是弧CE所對的圓周角）

由HFBD四點(diǎn)共圓得∠HFD=∠HBD=∠EBC（都是弧HD所對的圓周角）

所以∠EFH=∠HFD所以HF平分∠EFD。同理HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H為三角形DFE的內(nèi)心。

點(diǎn)評：以上兩個問題都用到了四點(diǎn)共圓。因?yàn)樵谶@個圖形中共可得到6個圓內(nèi)接四邊形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：

在心。

中，若點(diǎn)O滿足

，則點(diǎn)O為三角形ABC的垂證明：由同理OB

，得

，則點(diǎn)O為垂心。

，所以。

三角形垂心性質(zhì)定理2：

若三角形的三個頂點(diǎn)都在函數(shù)證明：設(shè)點(diǎn)O(x,y)為

的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。

的垂心，則上面的向量表示得

因?yàn)榈娜齻�頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，所以設(shè)，

因?yàn)�，所�?/p>

所以

所以(1)

同理：由得(2)

聯(lián)立（1）（2）兩式，就可解出

顯然有垂心O在函數(shù)的圖象上。

點(diǎn)評：此題恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用了垂心的向量表示，把幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

（201*年全國一卷理科）

的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，

，則實(shí)數(shù)m=

分析：H顯然為

的垂心，我們可取特殊情況來猜想m的值。于是我取

為

直角三角形，角A為直角，此時(shí)H點(diǎn)與A點(diǎn)重合，且O為BC的中點(diǎn)（如圖所示）。此時(shí)

，于是猜想m=1.

而對于一般情況，上面問題，我們不妨稱之為三角形的垂心性質(zhì)定理3：

的外心為O，垂心為H，則

證明：作出

。

的外接圓和外接圓直徑AD，連接BD,CD。

，。

因?yàn)橹睆剿鶎�圓周角為直角，所以有因?yàn)镠為

的垂心，所以

所以HC//BD，BH//DC,所以四邊形BDCH為平行四邊形，所以

因?yàn)樗��?/p>。

，且

點(diǎn)評：這條性質(zhì)聯(lián)系了三角形的外心與垂心，所得向量關(guān)系也相當(dāng)簡潔。以此為背景出高考題，也確實(shí)體現(xiàn)了命題者深厚的知識功底。三角形垂心性質(zhì)定理3：

三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。即：

的外心為O，垂心為H，D為BC中點(diǎn)，則AH=2OD。

證明：因?yàn)镈為BC中點(diǎn)所以由性質(zhì)2知：

得

所以AH=2OD。

點(diǎn)評：性質(zhì)定理3，也可看做是性質(zhì)定理2的推論。三角形垂心性質(zhì)定理4：

銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。分析：應(yīng)用上面的性質(zhì)定理3，上面這一結(jié)論可改為

銳角三角形的外接圓與內(nèi)切圓徑之和等于外心到三角形三邊距離之和。

即：如圖在銳角

中，O為外心，D,E,F分別為三邊的中點(diǎn)。設(shè)外接圓半徑

為R，內(nèi)切圓半徑為r,則OD+OE+OF=R+r.

證明：在銳角

，

中，O為外心，D,E,F分別為三邊的中點(diǎn)，則OF

，所以有

=設(shè)

中角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.

=2C

在圓O中，弧AB所對的圓心角又因OA=OB，OF

，所以

OF=OA*cosC=RcosC。

同理OD=R*cosB,OE=R*cosA

所以

而由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知：所以

這個式子就指出了內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的關(guān)系。

而要證OD+OE+OF=R+r，

需證：RcosA+RcosB+RcosC=R+即需證

需證(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c

而對上式的證明我們可采用正弦定理，化角為邊，即需證：

sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC需證：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC

而因?yàn)锳+B+C=所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC顯然成立所以命題得證。

點(diǎn)評：此題的證明充分聯(lián)系我們初高中的大量知識，真是做到了“八方聯(lián)系，渾然一體”（孫維剛老師語）。通過這樣的一個問題，我們的數(shù)學(xué)能力將大大提高。

三角形垂心性質(zhì)定理5：

H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。

此定理的證明相對簡單，讀者不妨自已試試。在此提出這個性質(zhì)，主要是看到這里存在的一種廣義對稱性，即四個點(diǎn)中每一點(diǎn)都可為垂心。這個結(jié)論進(jìn)一步提醒我們要經(jīng)常換個角度相問題。三角形垂心性質(zhì)定理6：

H為△ABC的垂心，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。分析：要證兩圓為等圓，只要證明它們的半徑（或直徑）相等就可以啦。而這兩圓都是三角形的外接圓，于是我們就想到了正弦定理。

的直徑為

因?yàn)镠D

，，

的直徑為，

所以四邊形BEHD是圓內(nèi)接四邊形

所以所以sinB=sin

所以

所以

=，

的外接圓為等圓。

同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。證明略。

點(diǎn)評：該題的證明過程中，應(yīng)用到了性質(zhì)1中的圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和正弦定理。這也正是在提示我們要注意八方聯(lián)系。

以上我對與三角形垂心有關(guān)的性質(zhì)做了一些總結(jié)，當(dāng)然也難免還有其它性質(zhì)，我還沒有發(fā)現(xiàn)。我寫文章的目的，也就是在于啟發(fā)讀者經(jīng)常進(jìn)行總結(jié)，在總結(jié)中我們才會有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。

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三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)

山西省原平市第一中學(xué)任所懷

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求證：它的三條高交于一點(diǎn)。

證明：如圖：作BE

于點(diǎn)E，CFAB于點(diǎn)F，且BE交CF于點(diǎn)H，連接AH并

延長交BC于點(diǎn)D�，F(xiàn)在我們只要證明ADBC即可。

因?yàn)镃FAB，BE

所以四邊形BFEC為圓內(nèi)接四邊形。四邊形AFHE為圓內(nèi)接四邊形。所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得

四邊形AFDC為圓內(nèi)接四邊形所以∠AFC=∠ADC=90°即ADBC。

點(diǎn)評：以上證明主要應(yīng)用了平面幾何中的四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)。三角形垂心的性質(zhì)定理1：

銳角三角形的垂心是以三個垂足為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)心。

如上圖，在三角形ABC中，AD、CF、BE分別為BC、AB、AC上的高，D、F、E分別為垂足，H為三角形ABC的垂心。求證：H為三角形DFE的內(nèi)心。

證明：要證H為三角形DFE的內(nèi)心，只需證明HF、HE、HD分別平分∠DFE、∠FED、∠EDF。

同樣我們還是利用四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)來證明。

由BCEF四點(diǎn)共圓得∠EFC=∠EBC（都是弧CE所對的圓周角）

由HFBD四點(diǎn)共圓得∠HFD=∠HBD=∠EBC（都是弧HD所對的圓周角）

所以∠EFH=∠HFD所以HF平分∠EFD。同理HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H為三角形DFE的內(nèi)心。

點(diǎn)評：以上兩個問題都用到了四點(diǎn)共圓。因?yàn)樵谶@個圖形中共可得到6個圓內(nèi)接四邊形，你不妨找一找。

三角形垂心的向量表示：

在心。

中，若點(diǎn)O滿足，則點(diǎn)O為三角形ABC的垂

證明：由同理OB

，得

，則點(diǎn)O為垂心。

，所以。

三角形垂心性質(zhì)定理2：

若三角形的三個頂點(diǎn)都在函數(shù)證明：設(shè)點(diǎn)O(x,y)為

的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。

的垂心，則上面的向量表示得

因?yàn)榈娜齻�頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，所以設(shè)，

因?yàn)�，所�?/p>

所以

所以(1)

同理：由得(2)

聯(lián)立（1）（2）兩式，就可解出

顯然有垂心O在函數(shù)的圖象上。

點(diǎn)評：此題恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用了垂心的向量表示，把幾何問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題，完美體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

（201*年全國一卷理科）

的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，

，則實(shí)數(shù)m=

分析：H顯然為

的垂心，我們可取特殊情況來猜想m的值。于是我取

為

直角三角形，角A為直角，此時(shí)H點(diǎn)與A點(diǎn)重合，且O為BC的中點(diǎn)（如圖所示）。此時(shí)

，于是猜想m=1.

而對于一般情況，上面問題，我們不妨稱之為三角形的垂心性質(zhì)定理3：

的外心為O，垂心為H，則

證明：作出

。

的外接圓和外接圓直徑AD，連接BD,CD。

，。

因?yàn)橹睆剿鶎�圓周角為直角，所以有因?yàn)镠為

的垂心，所以

所以HC//BD，BH//DC,所以四邊形BDCH為平行四邊形，所以

因?yàn)樗��?/p>。

，且

點(diǎn)評：這條性質(zhì)聯(lián)系了三角形的外心與垂心，所得向量關(guān)系也相當(dāng)簡潔。以此為背景出高考題，也確實(shí)體現(xiàn)了命題者深厚的知識功底。

三角形垂心性質(zhì)定理3：

三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。即：

的外心為O，垂心為H，D為BC中點(diǎn)，則AH=2OD。

證明：因?yàn)镈為BC中點(diǎn)所以由性質(zhì)2知：

得

所以AH=2OD。

點(diǎn)評：性質(zhì)定理3，也可看做是性質(zhì)定理2的推論。三角形垂心性質(zhì)定理4：

銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。分析：應(yīng)用上面的性質(zhì)定理3，上面這一結(jié)論可改為

銳角三角形的外接圓與內(nèi)切圓徑之和等于外心到三角形三邊距離之和。

即：如圖在銳角

中，O為外心，D,E,F分別為三邊的中點(diǎn)。設(shè)外接圓半徑

為R，內(nèi)切圓半徑為r,則OD+OE+OF=R+r.

證明：在銳角

，

中，O為外心，D,E,F分別為三邊的中點(diǎn)，則OF

，

所以有

=設(shè)

中角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.

=2C

在圓O中，弧AB所對的圓心角又因OA=OB，OF

，所以

OF=OA*cosC=RcosC。

同理OD=R*cosB,OE=R*cosA

所以

而由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)知：所以

這個式子就指出了內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的關(guān)系。

而要證OD+OE+OF=R+r，

需證：RcosA+RcosB+RcosC=R+即需證

需證(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC=a+b+c

而對上式的證明我們可采用正弦定理，化角為邊，即需證：

sinBcosA+sinCcosA+sinAcosB+sinCcosB+sinAcosC+sinBcosC=sinA+sinB+sinC需證：sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC

而因?yàn)锳+B+C=所以sin(A+B)+sin(A+C)+sin(B+C)=sinA+sinB+sinC顯然成立所以命題得證。

點(diǎn)評：此題的證明充分聯(lián)系我們初高中的大量知識，真是做到了“八方聯(lián)系，渾然一體”（孫維剛老師語）。通過這樣的一個問題，我們的數(shù)學(xué)能力將大大提高。

三角形垂心性質(zhì)定理5：

H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一垂心組)。

此定理的證明相對簡單，讀者不妨自已試試。在此提出這個性質(zhì)，主要是看到這里存在的一種廣義對稱性，即四個點(diǎn)中每一點(diǎn)都可為垂心。這個結(jié)論進(jìn)一步提醒我們要經(jīng)常換個角度相問題。

三角形垂心性質(zhì)定理6：

H為△ABC的垂心，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。分析：要證兩圓為等圓，只要證明它們的半徑（或直徑）相等就可以啦。而這兩圓都是三角形的外接圓，于是我們就想到了正弦定理。

的直徑為

因?yàn)镠D

，，

的直徑為，

所以四邊形BEHD是圓內(nèi)接四邊形

所以所以sinB=sin

所以

所以

=，

的外接圓為等圓。

同理△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。證明略。

點(diǎn)評：該題的證明過程中，應(yīng)用到了性質(zhì)1中的圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和正弦定理。這也正是在提示我們要注意八方聯(lián)系。

以上我對與三角形垂心有關(guān)的性質(zhì)做了一些總結(jié)，當(dāng)然也難免還有其它性質(zhì)，我還沒有發(fā)現(xiàn)。我寫文章的目的，也就是在于啟發(fā)讀者經(jīng)常進(jìn)行總結(jié)，在總結(jié)中我們才會有新的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。

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