高中函數對稱性總結

高中函數對稱性總結

安徽省太湖縣樸初中學/蘇深強

新課標高中數學教材上就函數的性質著重講解了單調性、奇偶性、周期性，但在考試測驗甚至高考中不乏對函數對稱性、連續(xù)性、凹凸性的考查。尤其是對稱性，因為教材上對它有零散的介紹，例如二次函數的對稱軸，反比例函數的對稱性，三角函數的對稱性，因而考查的頻率一直比較高。以筆者的經驗看，這方面一直是教學的難點，尤其是抽象函數的對稱性判斷。所以這里我對高中階段所涉及的函數對稱性知識做一個粗略的總結。

一、對稱性的概念及常見函數的對稱性1、對稱性的概念

①函數軸對稱：如果一個函數的圖像沿一條直線對折，直線兩側的圖像能夠完全重合，則稱該函數具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數的對稱軸。

②中心對稱：如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心。

2、常見函數的對稱性（所有函數自變量可取有意義的所有值）

①常數函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

②一次函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點均為它的對稱中心，與該直線相垂直的直線均為它的對稱軸。

③二次函數：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸方程為x=-b/(2a)。

④反比例函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中原點為它的對稱中心，y=x與y=-x均為它的對稱軸。⑤指數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。⑥對數函數：既不是軸對稱，也不是中心對稱。

⑦冪函數：顯然冪函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點；冪函數中的偶函數是軸對稱，對稱軸是y軸；而其他的冪函數不具備對稱性。

⑧正弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中（kπ，0）是它的對稱中心，x=kπ+π/2是它的對稱軸。⑨正弦型函數：正弦型函數y=Asin(ωx+φ)既是軸對稱又是中心對稱，只需從ωx+φ=kπ中解出x，就是它的對稱中心的橫坐標，縱坐標當然為零；只需從ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的對稱軸；需要注意的是如果圖像向上向下平移，對稱軸不會改變，但對稱中心的縱坐標會跟著變化。

⑩余弦函數：既是軸對稱又是中心對稱，其中x=kπ是它的對稱軸，（kπ+π/2，0）是它的對稱中心。⑾正切函數：不是軸對稱，但是是中心對稱，其中（kπ/2，0）是它的對稱中心，容易犯錯誤的是可能有的同學會誤以為對稱中心只是（kπ,0）。

⑿對號函數：對號函數y=x+a/x(其中a>0)因為是奇函數所以是中心對稱，原點是它的對稱中心。但容易犯錯誤的是同學們可能誤以為最值處是它的對稱軸，例如在處理函數y=x+1/x時誤以為會有f0.5)=f(1.5)，我在教學時總是問學生：你可看見過老師將“√”兩邊畫得一樣齊？學生們立刻明白并記憶深刻。

⒀三次函數：顯然三次函數中的奇函數是中心對稱，對稱中心是原點，而其他的三次函數是否具備對稱性得因題而異。

⒁絕對值函數：這里主要說的是y=f(│x│)和y=│f(x)│兩類。前者顯然是偶函數，它會關于y軸對稱;后者是把x軸下方的圖像對稱到x軸的上方，是否仍然具備對稱性，這也沒有一定的結論，例如y=│lnx│就沒有對稱性，而y=│sinx│卻仍然是軸對稱。

二、函數的對稱性猜測1、具體函數特殊的對稱性猜測①一個函數一般是不會關于x軸的

這是由函數定義決定的，因為一個x不會對應兩個y的值。但我們在此略微引申，一個曲線是可能關于x軸對稱的。

例1判斷曲線y^2=4x的對稱性。②函數關于y軸對稱

例2判斷函數y=cos(sin(x))的對稱性。③函數關于原點對稱

例3判斷函數y=（x^3）×sinx的對稱性。④函數關于y=x對稱

例4判斷函數y=1/x的對稱性。⑤函數關于y=-x對稱

例5判斷函數y=-4/x的對稱性。我總結為：設（x,y）為原曲線圖像上任一點，如果（x,-y）也在圖像上，則該曲線關于x軸對稱；如果（-x,y）也在圖像上，則該曲線關于y軸對稱；如果（-x,-y）也在圖像上，則該曲線關于原點對稱；如果（y,x）也在圖像上，則該曲線關于y=x對稱；如果（-y,-x）也在圖像上，則該曲線關于y=-x軸對稱。2、抽象函數的對稱性猜測①軸對稱

例6如果函數y=f(x)滿足f(x+1)=f(4-x)，求該函數的所有對稱軸。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中間2.5，從而該函數關于x=2.5對稱）

例7如果函數y=f(x)滿足f(x)=f(-x)，求該函數的所有對稱軸。（按上例一樣的方法可以猜出對稱軸為x=0，可見偶函數是特殊的軸對稱）

例8如果f(x)為偶函數，并且f(x+1)=f(x+3)，求該函數的所有對稱軸。（因為f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出對稱軸x=-1，又因為它以2為周期，所以x=k是它所有的對稱軸，k∈Z）

②中心對稱

例9如果函數y=f(x)滿足f(3+x)+f(4-x)=6，求該函數的對稱中心。（因為自變量加起來為7時函數值的和始終為6，所以中點固定為（3.5，3），這就是它的對稱中心）

例10如果函數y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0，求該函數的所有對稱中心。（按上例一樣的方法可以猜出對稱中心為（0，0），可見奇函數是特殊的中心對稱）

例11如果f(x)為奇函數，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求該函數的所有對稱中心和對稱軸。（由周期性定義知周期為4，又f(x+1)=-f(x+3)，從而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1為對稱軸，所以x=-1+2n為對稱軸，（2k，0）為對稱中心，其中k∈Z）

我總結為：

①當括號里面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性,其中的對稱為多少我們可以用特殊值代入來猜測,這里并不主張記結論，因為很容易與后面的結論相混淆。

②而當x前面的符號相同時告訴我們的是周期性。例如f(x+1)=f(x-5)是告訴我們它以6為周期。③當x前面的符號相同，同時告訴我們奇偶性時我們也可以推出對稱性，因為奇偶性有制造負號的能力。3、兩個抽象函數之間的對稱性猜測

例12求y=f(x+2)與y=f(1-x)的對稱軸方程。（當第一個函數的x取0時，值為f(2),這時第二個函數的x必須取-1才也對應那么多，他們的正中間為-1.5，因而猜測對稱軸為x=-1.5）

我總結為：

①當括號里面x前面的符號一正一負時告訴我們的就是對稱性，其中的對稱為多少我們仍然可以用特殊值代入來猜測,這里仍然不主張記結論，因為很容易與前面的結論相混淆。

②而當x前面的符號相同時告訴我們的是圖像平移。例如y=f(x+2)與y=f(x-1)，前者是由后者向左移三個單位得到。

三、對稱性的證明

如果在解答大題時僅僅猜測出結論是不夠的，我們要輔以完整的證明才行。1、一個函數的對稱性證明

例13證明如果函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則該函數關于直線x=(a+b)/2對稱。

證明：在y=f(x)上任取點（m，n），則n=f(m)，而點（m，n）關于x=(a+b)/2的對稱點為（a+b-m，n）,又因為f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,這正表明（a+b-m，n）也在原函數圖像上，從而原函數關于直線x=(a+b)/2對稱。

我總結為：核心是間接法，即在函數上任取一點，對稱點如果仍在函數圖像上，我們就可以下結論該函數關于它對稱。

2、兩個函數之間的對稱性的證明

例14證明函數y=f(a+x)與函數y=f(b-x)關于直線x=(b-a)/2對稱。（注意不是(a-b）/2,證明的方法類似于上例方法）

我總結為：仍是間接法，但是多一次，需在函數上任取一點，對稱點如果在對方函數圖像上，同時在對方函數上任取一點，對稱點又在該函數圖像上，我們才可以下結論該函數關于它對稱。取兩次的原因是以免兩個圖像一個只是另一個對稱過來圖像的一部分。

3、特別地關于y=x對稱性的證明

例15證明y=（2x+1）/(3x-2)關于y=x對稱。（只需求出它的反函數是自己即可）我總結為：①一個函數自身關于y=x對稱不需要用上面的間接法，只需要證明它的反函數是自己就可以了。

②兩個函數關于y=x對稱性證明也不需要用上面那么繁瑣的方法，只需證明兩個函數互為反函數，即求一個的反函數為另外一個就可以了。

③反過來這句話也成立，如果需要證明兩個函數互為反函數，只需要證明它們的圖像關于y=x對稱即可。四、對稱性的運用1、求值

例16已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。（我們只需要考慮當兩個自變量加起來為0時函數值的和是否為定值，驗證果然。而這里顯然隱含的是函數的對稱性）

我總結為：“配對”，對稱性主要是考查一對函數值之間的關系。2、“對稱性+對稱性”可以推導出周期性

例17如果函數y=f(x)滿足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求該函數的最小正周期。（因為f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期為4）

我總結為：兩個對稱性拼起來就可以將里面的符號化為同號，從而得出周期性。3、“奇偶性+對稱性”可以推導出周期性

這在前面已經提到，還是因為奇偶性有制造負號的能力。4、三角函數的奇偶性

例18如果函數y=3sin(2x+θ+π/4)（其中0代入求出a和b的關系即可）

我總結為：對稱性的本義就是關于對稱中心（或對稱軸）對稱的兩個自變量的函數值的緊密關系。這就是我關于函數對稱性的簡單總結，難免掛一漏萬，還請大家批評指正。最后筆者建議新課標教材能類似于函數周期性，給對稱性獨立的一節(jié)，介紹它的概念和運用，同步練習上也給安排一節(jié)對它的獨立的練習，這樣教師在教學上就可以用適當引申的方法，而不是象現在這樣，老師忙于查資料，學生忙于記筆記，耗時費力地試圖盡可能系統(tǒng)而完整地補充。

結論1：若對于函數y=f(x)，中心對稱。

即若函數圖象關于點(a,b)對稱,則滿足:f(a-x)+f(a+x)=2b或f(x)+f(2a-x)=2b

,有f(a+x)+f(a-x)＝2b，則函數y＝f(x)的圖象關于點（a,b）

下面是結論2應用的例子，

例5函數y=f(x)的圖象與函數y=g(x)的圖象關于點(-1,-2）對稱，已知f（3）＝4,求g(-5)的值。

解：由結論2可知，g(x)＝一4-f(-2-x),∴g(-5)=-4-f〔-2-(-5)〕

即g(-5)=-4-f(3)=-4-4,∴g（-5）=-8

擴展閱讀：高中數學函數對稱性和周期性小結

高中數學函數對稱性和周期性小結

一、函數對稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.

f(a+x)=f(a-x)==>f(x)關于x=a對稱

f(a+x)=f(b-x)==>f(x)關于x=(a+b)/2對稱f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)關于點（a，0）對稱f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)關于點（a，b）對稱

f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)關于點[（a+b）/2，c/2]對稱y=f(x)與y=f(-x)關于x=0對稱y=f(x)與y=-f(x)關于y=0對稱y=f(x)與y=-f(-x)關于點(0,0)對稱

例1：證明函數y=f(a+x)與y=f(b-x)關于x=(b-a)/2對稱。

【解析】求兩個不同函數的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y=f(a+x)上，令關于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]

∴b2t=a，==>t=(b-a)/2，即證得對稱軸為x=(b-a)/2.

例2：證明函數y=f(a-x)與y=f(xb)關于x=(a+b)/2對稱。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y=f(a-x)上，令關于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]

∴2t-b=a，==>t=(a+b)/2，即證得對稱軸為x=(a+b)/2.

二、函數的周期性

令a,b均不為零，若：

1.函數y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函數最小正周期T=|a|

2.函數y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函數最小正周期T=|b-a|3.函數y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函數最小正周期T=|2a|4.函數y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函數最小正周期T=|2a|

5.函數y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函數最小正周期T=|4a|

這里只對第2~5點進行解析。

第2點解析：

令X=x+a，f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba

第3點解析：同理，f(x+a)=-f(x+2a)……①

f(x)=-f(x+a)……②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函數最小正周期T=|2a|

第4點解析:

f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)

又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)

∴函數最小正周期T=|2a|

第5點解析:

∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1

∴1f(x)=2/[f(x)+1]移項得f(x)=12/[f(x+a)+1]

那么f(x-a)=12/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1]，即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a)，-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①，又∵-1/f(x)=f(x+2a)②，

由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)

∴函數最小正周期T=|4a|

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