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復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時(shí)間:2019-05-29 15:35:37 | 移動(dòng)端:復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

目錄

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)………………………………1第二章解析函數(shù)………………………………………3第三章復(fù)變函數(shù)的積分………………………………5第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示…………………………6第五章留數(shù)及其應(yīng)用…………………………………8第八章傅里葉變換……………………………………9第九章拉普拉斯變換………………………………10

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1.復(fù)數(shù)的基本概念:復(fù)數(shù):,稱為復(fù)數(shù)單位,并規(guī)定,與是任意實(shí)數(shù),依次稱為的實(shí)部與虛部,分別表示為。

2.共軛復(fù)數(shù):設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù),稱為的共軛復(fù)數(shù),共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):①②③④⑤⑥

3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算:設(shè),是兩個(gè)復(fù)數(shù),則:①加(減)法:②乘法:③除法:

4.復(fù)數(shù)的模與輻角:如果是一個(gè)不為零的復(fù)數(shù),我們把它所對(duì)應(yīng)向量的長(zhǎng)度叫做的模,記作;把它所對(duì)應(yīng)向量的方向角叫做輻角。用記號(hào)Arg作為的輻角的一般表示,再用arg表示的輻角中介于與之間(包括)的那一個(gè)角,并把它稱為的主輻角,即

④,,⑤,

6.復(fù)數(shù)的三角表示:設(shè)是一個(gè)不為零的復(fù)數(shù),是的模,是的任意一個(gè)輻角,則:,一個(gè)復(fù)數(shù)的三角表示不是唯一的,因?yàn)槠渲械妮椊怯袩o窮多種選擇,如果有兩個(gè)三角表示相等:=,則可推出,,其中為某個(gè)整數(shù)。7.用復(fù)數(shù)的三角表示作乘除法:乘法:除法:

8.復(fù)數(shù)的乘方與開方:設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù),是一個(gè)正整數(shù),則:①

②設(shè),則復(fù)數(shù)開方有:

9.平面曲線:以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,以為半徑的圓周,寫成復(fù)數(shù)的形式為:

10.復(fù)變函數(shù):設(shè)是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集,如果對(duì)于中任意的一點(diǎn),有確定的(一個(gè)或多個(gè))復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng),則說在上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù),記作。11.復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性:①設(shè)函數(shù),則的充要條件是,

②函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)

12.在有界閉區(qū)域上的復(fù)連續(xù)函數(shù),具有下列幾個(gè)性質(zhì):①有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是有界的

②有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),在上其模至少取得最大值與最小值各一次③有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),在上是一致連續(xù)的

第二章解析函數(shù)

1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

2.解析函數(shù):如果在及的領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱在處解析;如果在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱在內(nèi)解析,或說是內(nèi)的解析函數(shù);如果在處不解析,則稱為的奇點(diǎn)。

3.函數(shù)在一點(diǎn)處解析,則一定在該點(diǎn)可導(dǎo),但反過來不一定成立;函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)是等價(jià)的。4.解析函數(shù)的求導(dǎo)法則:

(1)四則運(yùn)算法則:設(shè)和都是區(qū)域上的解析函數(shù),則:①②③

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:設(shè),則有:

5.函數(shù)解析的充分必要條件:函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)出可微,且滿足柯西-黎曼方程(C-R方程):

6.調(diào)和函數(shù):如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足二維拉普拉斯方程,則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

7.定理:設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,則的實(shí)部和虛部都是區(qū)域內(nèi)得調(diào)和函數(shù)。8.對(duì)于函數(shù),其中的和的求法:

9.初等函數(shù):

(1)指數(shù)函數(shù):對(duì)于復(fù)數(shù),稱為指數(shù)函數(shù)。歐拉公式:性質(zhì):①

②設(shè),,則

③是以為周期的函數(shù),即:

④復(fù)變量指數(shù)函數(shù)當(dāng)趨向于時(shí)沒有極限(2)對(duì)數(shù)函數(shù):,令,則:性質(zhì):①運(yùn)算性質(zhì):,

②解析性:的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析,且有相同的導(dǎo)數(shù)值。(3)冪函數(shù):(為復(fù)常數(shù),)

性質(zhì):①當(dāng)為正整數(shù)時(shí),,是一個(gè)單值函數(shù)②當(dāng)為零時(shí),

③當(dāng)為有理數(shù)(與為互質(zhì)的整數(shù),)時(shí),④當(dāng)為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí),

(4)三角函數(shù):函數(shù)與分別稱為復(fù)變量的余弦函數(shù)與正弦函數(shù),記作與,即:=;=

性質(zhì):①與均為單值函數(shù)

②與均為以為周期的周期函數(shù)③為偶函數(shù),為奇函數(shù)④;⑤

⑥與在復(fù)平面上均為解析函數(shù),且

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

1.定理:設(shè)在光滑曲線上連續(xù),則它的積分:

2.設(shè)曲線的參數(shù)方程為,則解析函數(shù)的積分就變成:3.圓的參數(shù)方程:,則積分4.復(fù)積分的基本性質(zhì):①②③

④,其中

5.柯西積分公式:設(shè)在簡(jiǎn)單閉曲線所包圍的區(qū)域內(nèi)解析,在上連續(xù),是內(nèi)任一點(diǎn),則

6.解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù):

第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示

1.定理:設(shè),,則的充分必要條件是,

2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):,部分和序列:如果極限存在,則稱級(jí)數(shù)是收斂的,稱為級(jí)數(shù)的和;如果沒有極限,級(jí)數(shù)發(fā)散

3.定理:級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂4.定理:級(jí)數(shù)收斂的必要條件是:;若,則級(jí)數(shù)必然發(fā)散5.定理:如果收斂,則也收斂6.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):7.冪級(jí)數(shù):,或者:

8.定理:若冪級(jí)數(shù)在處收斂,那么該級(jí)數(shù)對(duì)任意滿足的都絕對(duì)收斂;在處發(fā)散,則該級(jí)數(shù)對(duì)任意滿足的都發(fā)散

9.定理:對(duì)冪級(jí)數(shù),如果下列條件之一成立:(1)(2),那么級(jí)數(shù)收斂。

收斂半徑:

10.冪級(jí)數(shù)和函數(shù)性質(zhì):若冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析,則在收斂圓內(nèi)可逐次求導(dǎo)和逐次積分,即:

11.泰勒級(jí)數(shù):設(shè)函數(shù)在圓盤內(nèi)解析,則在內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)展式為:12.邁克勞林展開式:在泰勒級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上取,則有:13.基本泰勒展式:①②

14.洛朗級(jí)數(shù)(含有負(fù)指數(shù)冪):(①式)它可以分為:(②式)和(③式)

性質(zhì):若②式的收斂半徑為,則當(dāng)時(shí),②式絕對(duì)收斂;若③式的收斂半徑為,則當(dāng)時(shí),③式絕對(duì)收斂,①式的收斂性如下:

(1)若,那么級(jí)數(shù)②③同時(shí)在圓環(huán)內(nèi)收斂,從而級(jí)數(shù)①在該圓環(huán)內(nèi)收斂;(2)若,級(jí)數(shù)①處處發(fā)散;

(3)若,則級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散15.定理:設(shè)函數(shù)在圓環(huán)上解析,則在內(nèi)有:

,其中

第五章留數(shù)及其應(yīng)用

1.孤立奇點(diǎn):在處不解析,但在的某一個(gè)去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點(diǎn)2.孤立奇點(diǎn)的分類:

(1)可去奇點(diǎn):當(dāng)時(shí),有,則稱為函數(shù)的可去奇點(diǎn),此時(shí)洛朗展式為

(2)極點(diǎn):對(duì)于分子式的函數(shù),若該函數(shù)的分母的階導(dǎo)數(shù),使得將孤立奇點(diǎn)代入階導(dǎo)數(shù)后不為零,則稱是該函數(shù)的階極點(diǎn)

(3)本性奇點(diǎn):若得洛朗展式有無限個(gè),,則稱為函數(shù)的本性奇點(diǎn)3.定理:設(shè)在內(nèi)解析,則是的①可去奇點(diǎn),②極點(diǎn)③本性奇點(diǎn)的充要條件是:①;②;③不存在也不為無窮大

4.留數(shù):設(shè)在內(nèi)解析,而是的孤立奇點(diǎn),作圓,稱為函數(shù)在處的留數(shù),記作即:

5.留數(shù)的求法:

(1)當(dāng)為的可去奇點(diǎn)時(shí),

(2)當(dāng)為的本性奇點(diǎn)時(shí),只能通過的洛朗展式來求(3)當(dāng)孤立奇點(diǎn)為的極點(diǎn)時(shí),有:

①如果為的簡(jiǎn)單極點(diǎn)(一階極點(diǎn))時(shí),②若,其中,則有:③如果為的階極點(diǎn),則:

6.留數(shù)定理:設(shè)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn):,則:

第八章傅里葉變換

1.定理:設(shè)是以為周期的實(shí)值函數(shù),且在上滿足狄氏條件:①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類剪短點(diǎn);②只有有限個(gè)極值點(diǎn),則有:其中

2.傅氏積分定理:如果在上的任一有限區(qū)間滿足狄氏條件,且在上絕對(duì)可積(即),則有:

3.①傅里葉變換:②傅里葉逆變換:

4.單位沖擊函數(shù)(函數(shù)):定義①:定義②5.單位沖擊函數(shù)的性質(zhì):(1)對(duì)任意連續(xù)函數(shù)有:①;②

(2)函數(shù)為偶函數(shù),即

(3)相似性質(zhì):設(shè)為實(shí)常數(shù),則有:

(4)函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。單位階躍函數(shù):6.函數(shù)的傅氏變換:

第九章拉普拉斯變換

1.拉普拉斯變換:設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù),如果對(duì)于復(fù)參數(shù),積分收斂,則稱為的拉普拉斯變換2.若,則

3.拉普拉斯變換存在定理:設(shè)函數(shù)在上滿足下列兩個(gè)條件:①在任意有限區(qū)間上分段連續(xù);②存在常數(shù),使得則函數(shù)的拉普拉斯變換存在

4.拉普拉斯逆變換(反演積分公式):,其中

5.利用留數(shù)計(jì)算反演積分:若是函數(shù)的所有奇點(diǎn),且當(dāng)時(shí),有,則有:

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復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

(一)復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)的概念:zxiy,x,y是實(shí)數(shù),xRez,yImz.i21.

注:一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小,但其模(為實(shí)數(shù))有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1)模:

zxy22

;

2)幅角:在z0時(shí),矢量與x軸正向的夾角,記為Argz(多值函數(shù));

主值argz是位于(,]中的幅角。

3)argz與arctan之間的關(guān)系如下:

xy當(dāng)x0,

argzarctanyx;

yy0,argzarctanx當(dāng)x0,y0,argzarctanyx;

4)三角表示:z5)指數(shù)表示:zzcosisinzei,其中argz。

argz;注:中間一定是“+”

,其中(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法:若z1x1iy1,z22.乘除法:1)若z1x1iy1,z2x2iy2x2iy2,則z1z2x1x2iy1y2

,則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2;

z1z2x1iy1x2iy2ix1iy1x2iy2x2iy2x2iy2i2x1x2y1y2xy2222iy1x2y2x1xyz1z22222。

i122)若z1

z1e1,z2z2e,則z1z2z1z2ei12;

z1z2e

3.乘冪與方根1)若z2)若z1nz(cosisin)zez(cosisin)zei,則zn,則

z(cosnisinn)zennin。

izzn2k2kcosisinnn(k0,1,2n1)(有n個(gè)相異的值)

(三)復(fù)變函數(shù)

1.復(fù)變函數(shù):wfz,在幾何上可以看作把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D變到w平

面上的一個(gè)點(diǎn)集G的映射.

2.復(fù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù):ezexcosyisiny,在z平面處處可導(dǎo),處處解析;且ezez。

注:ez是以2i為周期的周期函數(shù)。(注意與實(shí)函數(shù)不同)

對(duì)數(shù)函數(shù):Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)(多值函數(shù));

主值:lnzlnziargz。(單值函數(shù))

Lnz的每一個(gè)主值分支lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析,且lnz1z;

注:負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。(與實(shí)函數(shù)不同)

乘冪與冪函數(shù):abebLna(a0);zebbLnz(z0)

注:在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析,且zbbzb1。

三角函數(shù):sinzsinz,cosz在zee2iiziz,coszee2iziz,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinz

平面內(nèi)解析,且sinzcosz,coszsinz

注:有界性sinz1,cosz1不再成立;(與實(shí)函數(shù)不同)

雙曲函數(shù)shzshz

ee2zz,chzee2zz;

奇函數(shù),chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz。

(四)解析函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1)點(diǎn)可導(dǎo):fz0=limfz0zfz0z;

z02)區(qū)域可導(dǎo):fz在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的概念

1)點(diǎn)解析:fz在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo),稱fz在z0點(diǎn)解析;2)區(qū)域解析:fz在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析,稱fz在區(qū)域內(nèi)解析;3)若f(z)在z0點(diǎn)不解析,稱z0為fz的奇點(diǎn);

3.解析函數(shù)的運(yùn)算法則:解析函數(shù)的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn))

仍為解析函數(shù);解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù);

(五)函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件

1.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件:fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)

ux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y處滿足CD條件:

,uyvxuxvy此時(shí),有fzuxivx。

2.函數(shù)解析的充要條件:fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,yux和vx,y在x,y在

uyuxiD內(nèi)可微,且滿足

CD條件:

v,yvx;

此時(shí)fzvx。

注意:若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則ux,y,vx,y在區(qū)

域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí),只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足CR條件時(shí),函數(shù)f(z)uiv一定是可導(dǎo)或解析的。

3.函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法

1)利用定義(題目要求用定義,如第二章習(xí)題1)

2)利用充要條件(函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出,如第二章習(xí)題2)3)利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。(函數(shù)fz是以z的形式給出,如第二章習(xí)題3)

(六)復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

1.

復(fù)變函數(shù)積分的概念:cfzdzlimfkzk,c是光滑曲線。

nk1n注:復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。

2.復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)

1)fzdzfzdz(c1與c的方向相反);

cc12)[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù);ccc3)若曲線c由c1與c2連接而成,則fzdzcc1fzdzcf2zdz。

3.復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法

1)化為線積分:fzdzccudxvdyivdxudy;(常用于理論證明)

c2)參數(shù)方法:設(shè)曲線c:zzt(t),其中對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn),對(duì)應(yīng)曲線c的終點(diǎn),則fzdzcf[zt]z(t)dt。

(七)關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1.柯西古薩基本定理:

設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析,c為B內(nèi)任一閉曲線,則fzdz0

c2.復(fù)合閉路定理:設(shè)fz在多連域D內(nèi)解析,c為D內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉

曲線,c1,c2,cn是c內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線,它們互不包含互不相交,并且以

c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D

內(nèi),則

①fzdzcfzdz,其中c與ck1cknk均取正向;

1②,其中由及fzdz0cc(k1,2,n)所組成的復(fù)合閉路。3.閉路變形原理:一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分,

不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值,只要在變形過程中c不經(jīng)過使fz不解析的奇點(diǎn)。

4.解析函數(shù)沿非閉曲線的積分:設(shè)fz在單連域B內(nèi)解析,Gz為fz在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù),則z2z1fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明:解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān),計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。

5.柯西積分公式:設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析,c為D內(nèi)任一正向簡(jiǎn)單閉曲線,

c的內(nèi)部完全屬于D,z0為c內(nèi)任意一點(diǎn),則fzczz0dz2ifz0

6.高階導(dǎo)數(shù)公式:解析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為

fzc(zz0)dzn12in!fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,而且它的內(nèi)部完全屬于D。

7.重要結(jié)論:

(za)c1n12i,dz0,n0n0。(c是包含a的任意正向簡(jiǎn)單閉曲線)

8.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法

1)若fz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析,用一般積分法cfzdz2)設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)解析,

c是D內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則由柯西古薩定理,fzdz0

cf[zt]ztdt

c是D內(nèi)的一條非閉曲線,z1,z2對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn),則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3)設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn):fz2indzfz0c(zz)n1n!0(f(z)在c內(nèi)解析)

曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn):fzdzcnfzdz(ck1ckni內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)zk)

或:fzdz2iRes[f(z),zk](留數(shù)基本定理)

ck1若被積函數(shù)不能表示成

fzn1(zzo),則須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)算。

(八)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

1.調(diào)和函數(shù)的概念:若二元實(shí)函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足

x22y220,(x,y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

解析函數(shù)fzuiv的實(shí)部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù),并稱虛部v為實(shí)部u的共軛調(diào)和函數(shù)。

兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不一定是解析函數(shù);但是若u,v如果滿足柯西黎曼方程,則uiv一定是解析函數(shù)。3.已知解析函數(shù)fz的實(shí)部或虛部,求解析函數(shù)fzuiv的方法。1)偏微分法:若已知實(shí)部uux,y,利用CR條件,得對(duì)

vv,xy;

vyux兩邊積分,得vuxdygx(*)

再對(duì)(*)式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo),得

uyvxuyvxudygx(**)xx由CR條件,

,得

udygx,可求出gx;xx代入(*)式,可求得虛部vxdygx。

uu,xu2)線積分法:若已知實(shí)部

dvvxdxvyudyyy,利用

CR條件可得

udx,故虛部為dyvxx,yx0,y0uydxuxdyc;

由于該積分與路徑無關(guān),可選取簡(jiǎn)單路徑(如折線)計(jì)算它,其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。

3)不定積分法:若已知實(shí)部uux,y,根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和CR條

件得知,fzuxivyuxiuy

將此式右端表示成z的函數(shù)Uz,由于fz仍為解析函數(shù),fzUzdzc注:若已知虛部v也可用類似方法求出實(shí)部u.

(九)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限

1)復(fù)數(shù)列{n}{anibn}(n1,2)收斂于復(fù)數(shù)limana,nabi的充要條件為

limbnb(同時(shí)成立)

n2)復(fù)數(shù)列{n}收斂實(shí)數(shù)列{an},{bn}同時(shí)收斂。

2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n(nanibn)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)an與bn同時(shí)收斂;

n0n0n02)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是limn0。

n注:復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。

(十)冪級(jí)數(shù)的斂散性

1.冪級(jí)數(shù)的概念:表達(dá)式cn(zz0)或cnzn為冪級(jí)數(shù)。

nn0n02.冪級(jí)數(shù)的斂散性

1)冪級(jí)數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel):

如果冪級(jí)數(shù)cnzn在z00處收斂,那么對(duì)滿足zz0的一切z,該數(shù)絕對(duì)收斂;

n0如果在z0處發(fā)散,那么對(duì)滿足zz0的一切z,級(jí)數(shù)必發(fā)散。2)冪級(jí)數(shù)的收斂域圓域

冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi),絕對(duì)收斂;在圓域外,發(fā)散;在收斂圓的圓周上可能收斂;也可能發(fā)散。3)收斂半徑的求法:收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果lim根值法limcn1cn0,則收斂半徑R11n;

ncn0,則收斂半徑R;

如果0,則R;說明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂;如果,則R0;說明僅在zz0或z0點(diǎn)收斂;

注:若冪級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí),不能直接套用公式求收斂半徑。(如cnz2n)

n03.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1)代數(shù)性質(zhì):

設(shè)anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2,記RminR1,R2,

nn0n0nn則當(dāng)zR時(shí),(anbn)zanzbnzn(線性運(yùn)算)

n0n0n0(anzn0nn)(bnz)n0(an0nb0an1b1a0bn)zn(乘積運(yùn)算)

2)復(fù)合性質(zhì):設(shè)當(dāng)析且gzr時(shí),fann,當(dāng)zn0R時(shí),gz解

r,則當(dāng)zR時(shí),f[gz]an0n[gz]n。

3)分析運(yùn)算性質(zhì):設(shè)冪級(jí)數(shù)anzn的收斂半徑為R0,則

n0其和函數(shù)fzan0nzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù);

在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo),收斂半徑不變;且fzznan0znn1zR

在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積,收斂半徑不變;fzdz0ann1zn1zR

n0(十一)冪函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開:設(shè)函數(shù)fz在圓域

zz0R內(nèi)解析,則在此圓域內(nèi)fz可以

n展開成冪級(jí)數(shù)fzn0fnz0n!zz0;并且此展開式是唯一的。

注:若fz在z0解析,則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑

Rz0a;其中R為從z0到fz的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a之間的距離。

2.常用函數(shù)在z01)e2)

z0的泰勒展開式

z2n01n!z1zn2!z33!znn!z

11zzn0n2n1zzzz1

3)sinzn0(1)n(2n1)!(1)nz2n1zz33!z4z55!(1)n(2n1)!n2nz2n1z

4)coszn0(2n)!z2n1z22!4!(1)(2n)!zz

3.解析函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法1)直接法:直接求出cn1n!fnz0,于是fzcnzz0。

n0n2)間接法:利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。(十二)冪函數(shù)的洛朗展開1.洛朗級(jí)數(shù)的概念:

ncnzz0n,含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。

2.洛朗展開定理:設(shè)函數(shù)fz在圓環(huán)域R1zz0R2內(nèi)處處解析,c為圓環(huán)

域內(nèi)繞z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則在此在圓環(huán)域內(nèi),有

fzncznz0","p":{"h":20.977,"w":5.00fzcm(zz0)mc1(zz0)c0c1(zz0)cm(zz0)m

(十四)孤立奇點(diǎn)的判別方法1.可去奇點(diǎn):limfzc0常數(shù);

zz02.極點(diǎn):limfz

zz03.本性奇點(diǎn):limfz不存在且不為。

zz04.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

1)零點(diǎn)的概念:不恒為零的解析函數(shù)fz,如果能表示成fz(zz0)mz,其中z在z0解析,z00,m為正整數(shù),稱z0為fz的m級(jí)零點(diǎn);2)零點(diǎn)級(jí)數(shù)判別的充要條件:

fz0是fz的m級(jí)零點(diǎn)fnmz00,z00(n1,2,m1)

3)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系:z0是fz的m級(jí)零點(diǎn)z0是4)重要結(jié)論:

若za分別是z與z的m級(jí)與n級(jí)零點(diǎn),則za是zz的mn級(jí)零點(diǎn);當(dāng)mn時(shí),za是

zz1fz的m級(jí)極點(diǎn);

的mn級(jí)零點(diǎn);

當(dāng)mn時(shí),za是

zzzz的nm級(jí)極點(diǎn);

當(dāng)mn時(shí),za是的可去奇點(diǎn);

當(dāng)mn時(shí),za是zz的l級(jí)零點(diǎn),lmin(m,n)當(dāng)mn時(shí),za是zz的l級(jí)零點(diǎn),其中l(wèi)m(n)(十五)留數(shù)的概念

1.留數(shù)的定義:設(shè)z0為fz的孤立奇點(diǎn),fz在z0的去心鄰域0zz0內(nèi)解析,c為該域內(nèi)包含z0的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線,則稱積分

-11-

fzdz為2ic,記作Res[fz,z0]fz在z0的留數(shù)(或殘留)2.留數(shù)的計(jì)算方法

12ifzdz

c若z0是fz的孤立奇點(diǎn),則Res[fz,z]c1,其中c1為fz在z0的

0去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中(zz0)1的系數(shù)。

1)可去奇點(diǎn)處的留數(shù):若z0是fz的可去奇點(diǎn),則Res[fz,z]0

02)m級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)

法則I

若z0是fz的m級(jí)極點(diǎn),則Res[fz,z]01(m1)!zz0dzlimdm1m1[(zz0)fmz]

特別地,若z0是fz的一級(jí)極點(diǎn),則Res[fz,z]lim(zz0)fz

0zz0注:如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比m低,上述規(guī)則仍然有效。法則II設(shè)fzPzQzPzQz,Pz,Qz在z0解析,Pz00,Qz00,Qz00,

Pz0Qz0則Res[,z0]

(十六)留數(shù)基本定理

設(shè)fz在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,zn外處處解析,c為D內(nèi)包

圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則cfzdz2iRes[fz,zn]

n1說明:留數(shù)定理把求沿簡(jiǎn)單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。

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