二次函數(shù)性質(zhì)知識點總結(jié)填空(非試卷)
二次函數(shù)性質(zhì)(復(fù)習(xí))
潤州區(qū)教研室徐義明
一、教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)性質(zhì)及系數(shù)a、b、c及△與函數(shù)yax2bxc圖象之間的關(guān)系。
2、會求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點,理解二次函數(shù)與二次方程、二次不等式之間關(guān)系。4、讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的思想,初步掌握數(shù)形結(jié)合解決問題的方法。
5、通過自主探究、合作交流活動,激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)熱情以及與同伴合作的欲望。二、教學(xué)重點:二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用;難點:對數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的感受。三、教學(xué)過程:教學(xué)內(nèi)容學(xué)生活動1、回顧并歸納總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)2、交流討論基礎(chǔ)練習(xí)。3、展示成果4提出問題討論交流教師活動1、引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)2、組織學(xué)生交流、討論,并參與、指導(dǎo)3、總結(jié):方法和注意點(1)、增減性注意開口方向(2)、拋物線平移看頂點(3)、求與x軸、y軸交點的方法。(一)知識回顧1、填表ya(xh)2k(a0)yax2bxc(a0)對稱軸頂點最值增減性2、基礎(chǔ)訓(xùn)練(1)拋物線y1(x2)2的對稱軸為,2頂點坐標(biāo)為。當(dāng)x=時,y取最值,此值為。當(dāng)x2時,y隨x的增大而。(2)由拋物線y2112x怎樣平移得到y(tǒng)(X1)22。22(3)拋物線yxx2與x軸交點為與y軸交點為。(4)已知:函數(shù)y=4x-bx+5當(dāng)x-2時,y隨x的增大而增大,則b的值為(5)如圖,函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖所示,當(dāng)x=時,y=0;當(dāng)x時,y>0,當(dāng)x時,y1.獨立(二).問題探究思考問題1.函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示,2.合作探究,2你能確定a、b、c及△=b-4ac的符號嗎?有規(guī)律嗎?3.小組交流4.班級展示(問題1A層面學(xué)生,問2問題2.已知:拋物線y=x-(a+2)x+9的頂點在坐標(biāo)軸,求a的值.題2、3B層面學(xué)生)問題3.已知。對任意實數(shù)x,二次函數(shù)y=--x2+x+2m-1的值均為負(fù)數(shù),求m的范圍。5.學(xué)生相互評價(三)課堂鞏固總結(jié)。1、函數(shù)yax2bxc的圖像如圖所示,則a、b、c符號為()A、a0,b0,c0練習(xí)1獨立思考B、a0,b0,c0回答(A層次學(xué)生)C、a0,b0,c0D、a0,b0,c0練習(xí)222、直線yaxb與拋物線yaxb在同一坐標(biāo)系中的圖像大致獨立思考,為()同伴交流(B層次學(xué)生回答)問題1:1.巡視并指導(dǎo)學(xué)生討論2.幫助學(xué)生歸納規(guī)律:a-開口b-對稱軸(左同右異)c-與y軸交點△-與x軸交點個數(shù)問題2:強(qiáng)調(diào)分類討論。問題3:啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合分析問題。練習(xí)1重點檢查A層次學(xué)生掌握情況。練習(xí)2(1)a、b分別在兩函數(shù)圖象中幾何意義。(2)排除法方法(3)兩函數(shù)圖象的聯(lián)系3、已知:二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖,下列結(jié)論:(1)abc0;(2)abc0;(3)abc0;(4)b2ab其中正確的結(jié)論有()A、1個B、2個C、3個D、4個4、函數(shù)yx2xm(m為常數(shù))的圖像如圖,若xa時,y0,則xa1時,函數(shù)值()A、y0B、0ymC、ymD、ym(四)、課堂小結(jié):1.二次函數(shù)的性質(zhì)2.a(chǎn)、b、c及b24ac與函數(shù)yax2bxc圖象之間的關(guān)系。3.拋物線yax2bxc與坐標(biāo)軸交點求法4.拋物線yaxbxc與x軸位置關(guān)系5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系6.?dāng)?shù)形結(jié)合思想2練習(xí)3、4采用小組討論,同伴合作方式進(jìn)行。學(xué)生對本節(jié)課進(jìn)行歸納總結(jié)練習(xí)3啟發(fā)學(xué)生:(1)x=1時函數(shù)值等于什么?(2)圖中有那些信息?練習(xí)4啟發(fā)學(xué)生:(1)a的范圍是什么?(2)a-1的范圍是什么?(3)取特殊值a12進(jìn)行判斷。引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容五、課后作業(yè)1、已知yax2bxc的圖象如圖所示,試判斷a,b,c的符號。2、直線yaxb和拋物線yx2axb在同一坐標(biāo)系中的圖象,可能是()3、已知,點(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)均在拋物線y2x24x1上,且1x1x2x31,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為。4、已知,二次函數(shù)yx2(3m)x2m1的圖象不經(jīng)過第三象限,求m的范圍。
擴(kuò)展閱讀:初中二次函數(shù)知識點總結(jié)與練習(xí)題
二次函數(shù)知識點總結(jié)
一、二次函數(shù)概念:
a0)b,c是常數(shù),1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yax2bxc(a,的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這
c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項系數(shù)a0,而b,數(shù).
2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:
⑴等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.
b,c是常數(shù),a是二次項系數(shù),b是一次項系數(shù),c是常數(shù)項.⑵a,二、二次函數(shù)的基本形式
1.二次函數(shù)基本形式:yax2的性質(zhì):a的絕對值越大,拋物線的開口越小。
a的符號a0開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸向上00,00,性質(zhì)x0時,y隨x的增大而增大;x0時,y隨y軸x的增大而減。粁0時,y有最小值0.x0時,y隨x的增大而減。粁0時,y隨a0向下y軸x的增大而增大;x0時,y有最大值0.
2.yax2c的性質(zhì):上加下減。
a的符號a0開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸向上c0,c0,性質(zhì)x0時,y隨x的增大而增大;x0時,y隨y軸x的增大而減小;x0時,y有最小值c.x0時,y隨x的增大而減;x0時,y隨a0向下y軸x的增大而增大;x0時,y有最大值c.
3.yaxh的性質(zhì):
左加右減。
2a的符號a0開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸向上0h,0h,性質(zhì)xh時,y隨x的增大而增大;xh時,y隨X=hx的增大而減;xh時,y有最小值0.xh時,y隨x的增大而減;xh時,y隨a0向下X=hx的增大而增大;xh時,y有最大值0.
14.yaxhk的性質(zhì):
2a的符號a0開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸向上性質(zhì)xh時,y隨x的增大而增大;xh時,y隨h,kh,kX=hx的增大而減。粁h時,y有最小值k.xh時,y隨x的增大而減小;xh時,y隨a0向下X=hx的增大而增大;xh時,y有最大值k.三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:
方法一:⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axhk,確定其頂點坐標(biāo)h,k;⑵保持拋物線yax2的形狀不變,將其頂點平移到h,k處,具體平移方法如下:
向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k
五點繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)yaxbxc化為頂點式y(tǒng)a(xh)2k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:頂點、與y軸
2的交點0,c、以及0,c關(guān)于對稱軸對稱的點2h,c、與x軸的交點x1,0,x2,0(若與x軸沒有交點,則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點).
畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點:開口方向,對稱軸,頂點,與x軸的交點,與y軸的交點.
六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)
b4acb2b1.當(dāng)a0時,拋物線開口向上,對稱軸為x,頂點坐標(biāo)為,.
2a4a2a當(dāng)xbbb時,y隨x的增大而減;當(dāng)x時,y隨x的增大而增大;當(dāng)x時,y有最小2a2a2a4acb2值.
4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時,拋物線開口向下,對稱軸為x,頂點坐標(biāo)為,時,y隨.當(dāng)x2a4a2a2a4acb2bb.x的增大而增大;當(dāng)x時,y隨x的增大而減;當(dāng)x時,y有最大值
2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法
1.一般式:yax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0);
2.頂點式:ya(xh)2k(a,h,k為常數(shù),a0);
3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)).
注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式,只
有拋物線與x軸有交點,即b24ac0時,拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系
1.二次項系數(shù)a
二次函數(shù)yax2bxc中,a作為二次項系數(shù),顯然a0.
⑴當(dāng)a0時,拋物線開口向上,a的值越大,開口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;⑵當(dāng)a0時,拋物線開口向下,a的值越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.
總結(jié)起來,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大。2.一次項系數(shù)b
在二次項系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對稱軸.⑴在a0的前提下,
當(dāng)b0時,當(dāng)b0時,當(dāng)b0時,b0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè);2ab0,即拋物線的對稱軸就是y軸;2ab0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).2a⑵在a0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即
3當(dāng)b0時,當(dāng)b0時,當(dāng)b0時,b0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè);2ab0,即拋物線的對稱軸就是y軸;2ab0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來,在a確定的前提下,b決定了拋物線對稱軸的位置.
ab的符號的判定:對稱軸xb在y軸左邊則ab0,在y軸的右側(cè)則ab0,概括的說就是2a“左同右異”總結(jié):
3.常數(shù)項c
⑴當(dāng)c0時,拋物線與y軸的交點在x軸上方,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正;⑵當(dāng)c0時,拋物線與y軸的交點為坐標(biāo)原點,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時,拋物線與y軸的交點在x軸下方,即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來,c決定了拋物線與y軸交點的位置.
b,c都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.總之,只要a,二次函數(shù)解析式的確定:
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點,選擇適當(dāng)?shù)男问,才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:
1.已知拋物線上三點的坐標(biāo),一般選用一般式;
2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(。┲,一般選用頂點式;3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點,常選用頂點式.
九、二次函數(shù)圖象的對稱
二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點式表達(dá)1.關(guān)于x軸對稱
ya2xbx關(guān)于cx軸對稱后,得到的解析式是yax2bxc;
yaxhk關(guān)于x軸對稱后,得到的解析式是yaxhk;2.關(guān)于y軸對稱
ya2xbx關(guān)于cy軸對稱后,得到的解析式是yax2bxc;
22yaxhk關(guān)于y軸對稱后,得到的解析式是yaxhk;3.關(guān)于原點對稱
ya2xbx關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是cyax2bxc;yaxh關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是kyaxhk;4.關(guān)于頂點對稱(即:拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°)
2222b2yaxbx關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是cyaxbxc;
2a224
yaxhk關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是yaxhk.5.關(guān)于點m,n對稱
n對稱后,得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點m,2222根據(jù)對稱的性質(zhì),顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時,可以依據(jù)題意或方便運算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點坐標(biāo)及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.
十、二次函數(shù)與一元二次方程:
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點情況):
一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù):
①當(dāng)b24ac0時,圖象與x軸交于兩點Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次b24ac方程axbxc0a0的兩根.這兩點間的距離ABx2x1.
a2②當(dāng)0時,圖象與x軸只有一個交點;
③當(dāng)0時,圖象與x軸沒有交點.
1"當(dāng)a0時,圖象落在x軸的上方,無論x為任何實數(shù),都有y0;2"當(dāng)a0時,圖象落在x軸的下方,無論x為任何實數(shù),都有y0.2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交,交點坐標(biāo)為(0,c);
3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):
⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;
⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式;
⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a,b,c的符號,或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;
⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點對稱的點坐標(biāo),或已知與x軸的一個交點坐標(biāo),可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式,二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù);下面以a0時為例,揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:
00拋物線與x軸有兩個交點拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無交點二次三項式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個不相等實根二次三項式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.5
圖像參考:
y=2x2y=x22y=x2y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3
2y=-x2y=-x2y=-2x2
y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2
6十一、函數(shù)的應(yīng)用
剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時獲得最大利潤
最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型
1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì),有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中,如:
已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點,則m的值是2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像,習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查
兩個函數(shù)的圖像,試題類型為選擇題,如:
2如圖,如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù)ykxbx1的圖像大致是()
yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類型有中檔解答題和選
拔性的綜合題,如:已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點,對稱軸為x5,求這條拋物線的解析式。34.考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題,如:3
已知拋物線yax2bxc(a≠0)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是-1、3,與y軸交點的縱坐標(biāo)是-
2(1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo).
5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力,常見的作為專項壓軸題。【例題經(jīng)典】
由拋物線的位置確定系數(shù)的符號
例1(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1,則點M(b,)在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號;②當(dāng)x=1和x=3時,函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個
ca(1)(2)
7【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵.
例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2,O)、(x1,0),且1
(2)請你根據(jù)已有的信息,在原題中的矩形框中,填加一個適當(dāng)?shù)臈l件,把原題補(bǔ)充完整。
點評:對于第(1)小題,要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式,就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用,再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A(c,-2)”,就可以列出兩個方程了,而解析式中只有兩個未知數(shù),所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第(2)小題,只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件,可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標(biāo),可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點的坐標(biāo)等。
[解答](1)根據(jù)y12xbxc的圖象經(jīng)過點A(c,-2),圖象的對稱軸是x=3,2122cbcc2,得b3,122解得b3,
c2.12x3x2.圖象如圖所示。2所以所求二次函數(shù)解析式為y(2)在解析式中令y=0,得
12x3x20,解得x135,x235.2所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是(3+5,0)”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是
(35,0).
令x=3代入解析式,得y所以拋物線y5,2125x3x2的頂點坐標(biāo)為(3,),
225所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為(3,)等等。
2函數(shù)主要關(guān)注:通過不同的途徑(圖象、解析式等)了解函數(shù)的具體特征;借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù);將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型;滲透函數(shù)的思想;關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。
用二次函數(shù)解決最值問題
例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE(如圖),其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.
【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題,把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起,能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.同時,也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.
例2某產(chǎn)品每件成本10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表:
x(元)152030y(件)25201*若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).(1)求出日銷售量y(件)與銷售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使每日的銷售利潤最大,每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元?此時每日銷售利潤是多少元?
9【解析】(1)設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則15kb25,解得k=-1,b=40,即一次函數(shù)表達(dá)
2kb20式為y=-x+40.
(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元,所獲銷售利潤為w元w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.
產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元,此時每日獲得最大銷售利潤為225元.
【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似,也有區(qū)別,主要有兩點:(1)設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時,什么最大(或最小、最。钡脑O(shè)問中,“某某”要設(shè)為自變量,“什么”要設(shè)為函數(shù);(2)問的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.
例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時,繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示,正在甩繩
的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()
A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m分析:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案:B
二.二次函數(shù)部分
1.如圖所示是二次函數(shù)yaxbxc圖象的一部分,圖象過A點(3,0),二次函數(shù)圖象對稱軸為x1,
y給出四個結(jié)論:
①b4ac;②bc0;③2ab0;④a-b+c>0其中正確結(jié)論是()A.②④
B.①③
C.②③
D.①④
Ox122xA(3,0)第1題圖
20)、(x1,2.已知二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸交于點(2,0),且1x12,與y軸的正半軸的2)的下方.下列結(jié)論:①4a2bc0;②ab0;③2ac0;④2ab10;③交點在(0,4a+c
4.把拋物線yx2向左平移1個單位,然后向上平移3個單位,則平移后拋物線的解析式為()A.y(x1)23C.y(x1)23
2B.y(x1)23D.y(x1)23
5.把拋物線y=ax+bx+c的圖象先向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得的圖象的解析式是y=x-3x+5,則a+b+c=__________
6.圖6(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2m,水面寬4m.如圖6(2)建立平面直角坐標(biāo)系,則拋物線的關(guān)系式是()A.y2x2B.y2x2C.y212D.yx
212x2
圖6(1)圖6(2)
7、如圖是拋物線yax2bxc的一部分,其對稱軸為直線x=1,若其與x軸一交點為B(3,0),則由圖象可知,不等式axbxc>0的解集是
第7題圖
28.根據(jù)下表中的二次函數(shù)yax2bxc的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值,可判斷該二次函數(shù)的圖象與x軸().
x11y07412
742A.只有一個交點B.有兩個交點,且它們分別在y軸兩側(cè)C.有兩個交點,且它們均在y軸同側(cè)D.無交點
9.如圖,拋物線yax2bxc與x軸的一個交點A在點(-2,0)和(-1,0)之間(包括這兩點),頂點C是矩形DEFG上(包括邊界和內(nèi)部)的一個動點,則
(1)abc#.0(填“”或“”);(1)a的取值范圍是#.
10(本小題滿分6分)
2如圖二次函數(shù)yxbxc的圖象經(jīng)過A1,0和B3,0兩點,且交y軸于點C.
11(1)試確定b、c的值;
(2)過點C作CD∥x軸交拋物線于點D,點M為此拋物線的頂點,試確定△MCD的形狀.
b4acb2參考公式:頂點坐標(biāo),
4a2a
11如圖,拋物線yaxx2yA0C
Bx3與x軸正半軸交于點A(3,0).以O(shè)A為邊在x軸上方作正方形OABC,2延長CB交拋物線于點D,再以BD為邊向上作正方形BDEF.(1)求a的值.(2分)
(2)求點F的坐標(biāo).(5分)12.(本題滿分10分)
,2).如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OBOA,且OB2OA,點A的坐標(biāo)是(1(1)求點B的坐標(biāo);
(2)求過點A、O、B的拋物線的表達(dá)式;
(3)連接AB,在(2)中的拋物線上求出點P,使得S△ABPS△ABO.13.(本小題滿分10分)
已知一元二次方程xpxq10的一根為2.(1)求q關(guān)于p的關(guān)系式;
(2)求證:拋物線yxpxq與x軸恒有兩個交點;
1222yA1O1Bx
14.(10分)鞋子的“鞋碼”和鞋長(cm)存在一種換算關(guān)系,下表是幾組“鞋碼”與鞋長換算的對應(yīng)數(shù)值:[注:“鞋碼”是表示鞋子大小的一種號碼]
鞋長(cm)鞋碼(號)
1622
1928
2132
2438
(1)設(shè)鞋長為x,“鞋碼”為y,試判斷點(x,y)在你學(xué)過的哪種函數(shù)的圖象上?(2)求x、y之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果某人穿44號“鞋碼”的鞋,那么他的鞋長是多少?15.(滿分8分)閱讀材料,解答問題.y例用圖象法解一元二次不等式:x2x30.解:設(shè)yx2x3,則y是x的二次函數(shù).
22321a10,拋物線開口向上.
又當(dāng)y0時,x2x30,解得x11,x23.
221123123x由此得拋物線yx2x3的大致圖象如圖所示.
觀察函數(shù)圖象可知:當(dāng)x1或x3時,y0.
24(第22題)
x22x30的解集是:x1或x3.
(1)觀察圖象,直接寫出一元二次不等式:x2x30的解集是____________;(2)仿照上例,用圖象法解一元二次不等式:x10.(大致圖象畫在答題卡上)...
2213以下是二次函數(shù)和相似結(jié)合的幾道經(jīng)典題:
16、(9分)如圖11,拋物線ya(x3)(x1)與x軸相交于A、B兩點(點A在點B右側(cè)),過點A的直線交拋物線于另一點C,點C的坐標(biāo)為(-2,6).
(1)求a的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;(2)P是線段AC上一動點,過點P作y軸的平行線,交拋物線于點M,交x軸于點N.
①求線段PM長度的最大值;
②在拋物線上是否存在這樣的點M,使得△CMP與△APN相似?如果存在,請直接寫出一個M的坐標(biāo)(不必寫解答過程);如果不存在,請說明理由.
17.如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0,73),且頂點C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段AB
9的長為6.
⑴求二次函數(shù)的解析式;
⑵在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小,求出點P的坐標(biāo);
⑶在拋物線上是否存在點Q,使△QAB與△ABC相似?如果存在,求出點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
1418.(本題滿分10分)
如圖,拋物線的頂點為A(2,1),且經(jīng)過原點O,與x軸的另一個交點為B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上求點M,使△MOB的面積是△AOB面積的3倍;
(3)連結(jié)OA,AB,在x軸下方的拋物線上是否存在點N,使△OBN與△OAB相似?若存在,求出N點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
19.(本題滿分10分)
如圖,已知拋物線y=過點C的直線y=
yOABx32
x+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點,A點的坐標(biāo)為(-1,0),43x-3與x軸交于點Q,點P是線段BC上的一個動點,過P作PH⊥OB于點H.若4tPB=5t,且0<t<1.
(1)填空:點C的坐標(biāo)是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;(2)求線段QH的長(用含t的式子表示);
(3)依點P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說A15
CO為頂點的三角
yQHP明理由.
Bx
20.(本題滿分12分)
如圖,已知二次函數(shù)y212xbxc(c0)的圖象與x軸的正半軸相交于點A、B,與y軸2相交于點C,且OCOAOB.
(1)求c的值;
(2)若△ABC的面積為3,求該二次函數(shù)的解析式;
(3)設(shè)D是(2)中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點,試問在直線AC上是否存在一點P使△PBD的周長最小?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
21.(本小題滿分15分)
0),將此三角板繞原,0),B(0,3),O(0,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板,其頂點為A(1點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABO.
(1)如圖,一拋物線經(jīng)過點A、B、B,求該拋物線解析式;
(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動點,求使四邊形PBAB的面積達(dá)到最大時點P的坐標(biāo)及面積的最大值.y3
2B1A16
A1OB12x
22.如圖,已知直線y11x1與y軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線yx2bxc與直線交于22A、E兩點,與x軸交于B、C兩點,且B點坐標(biāo)為(1,0)。
⑴求該拋物線的解析式;⑵動點P在軸上移動,當(dāng)△PAE是直角三角形時,求點P的坐標(biāo)P。⑶在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AMMC|的值最大,求出點M的坐標(biāo)
23.(本小題滿分12分)
如圖,已知拋物線yx4x3交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點E,點B的坐標(biāo)為(1,0).
(1)求拋物線的對稱軸及點A的坐標(biāo);
(2)在平面直角坐標(biāo)系xoy中是否存在點P,與A、B、C三點構(gòu)成一個平行四邊形?若存在,請寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)連結(jié)CA與拋物線的對稱軸交于點D,在拋物線上是否存在點M,使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分?若存在,請求出直線CM的解析式;若不存在,請說明理由.
2y17CDAEBOx
24.(本題滿分10分)如圖,拋物線y12xx2的頂點為A,與y軸交于點B.4Ay(1)求點A、點B的坐標(biāo).
(2)若點P是x軸上任意一點,求證:PAPB≤AB.(3)當(dāng)PAPB最大時,求點P的坐標(biāo).
BOx
25.(13分)如圖,等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻,另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成,設(shè)該花圃的腰AB的長為x米.
(1)請求出底邊BC的長(用含x的代數(shù)式表示);(2)若∠BAD=60°,該花圃的面積為S米2.
①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(要指出自變量x的取
值范圍),并求當(dāng)S=933時x的值;
②如果墻長為24米,試問S有最大值還是最小值?這個值是多少?
26.(本題滿分10分)
2,0),與y軸的負(fù)半軸交于點C,如圖,已知拋物線yax2axb(a0)與x軸的一個交點為B(1頂點為D.
(1)直接寫出拋物線的對稱軸,及拋物線與x軸的另一個交點A的坐標(biāo);(2)以AD為直徑的圓經(jīng)過點C.①求拋物線的解析式;
②點E在拋物線的對稱軸上,點F在拋物線上,且以B,A,F(xiàn),E四點為頂點的四邊形為平行四邊y形,求點F的坐標(biāo).
18BOAx
27.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標(biāo)軸上,直角頂點C的坐標(biāo)為(1,0),點B在拋物線yax2ax2上.
(1)點A的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為;(2)拋物線的關(guān)系式為;
(3)設(shè)(2)中拋物線的頂點為D,求△DBC的面積;
(4)將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,到達(dá)△ABC的位置.請判斷點B、C是否在(2)中的拋物線上,并說明理由.
28.如圖11,已知二次函數(shù)y(xm)2km2的圖象與x軸相交于兩個不同的點A(x1,0)、B(x2,0),與y軸的交點為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點P.
(1)求⊙P與y軸的另一個交點D的坐標(biāo);
(2)如果AB恰好為⊙P的直徑,且△ABC的面積等于5,求m和k的值.
1929.如圖,直線y35x6分別與x軸、y軸交于A、B兩點;直線yx與AB交于點C,與過點A
44且平行于y軸的直線交于點D.點E從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動.過點E作x軸的
垂線,分別交直線AB、OD于P、Q兩點,以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分(陰影部分)的面積為S(平方單位),點E的運動時間為t(秒).(1)求點C的坐標(biāo).(1分)
(2)當(dāng)0
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