二次函數(shù)圖像和性質(zhì)第一課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能

1．學(xué)會畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，初步認(rèn)識拋物線2．掌握形如y=ax2(a≠0)的拋物線的特征過程與方法

1．學(xué)生經(jīng)歷探索描點法畫二次函數(shù)的圖象，體會拋物線的特征，通過列表、描點的過程，體驗數(shù)形結(jié)合的思想

2．教師用電腦現(xiàn)場畫圖，通過對比同一坐標(biāo)系內(nèi)多條函數(shù)圖像，總結(jié)歸納拋物線y=ax2的性質(zhì)。情感、態(tài)度和價值觀

1．動畫演示投射炮彈，讓學(xué)體會拋物線名稱來源于實際2．體會拋物線的對稱美學(xué)習(xí)重點

畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象并理解其性質(zhì)。學(xué)習(xí)難點

理解二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的最高（或最低）點，最大（或最�。┲档刃再|(zhì)。教學(xué)準(zhǔn)備

教具：多媒體課件；學(xué)具：每人一張學(xué)案教學(xué)流程

一、提出問題導(dǎo)入新課

一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)的圖象是什么呢？通常如何畫函數(shù)的圖象呢？今天我們共同來探討一下二次函數(shù)y＝ax2的圖像和性質(zhì)。（板書課題）

二、動手操作合作探究

1、畫一般函數(shù)圖像的步驟是什么呢？（列表、描點、連線）

2、師生共同畫函數(shù)y=-2x2的圖像

教師用電腦操作、學(xué)生在坐標(biāo)紙上跟隨老師一步一步操作。3、電腦動態(tài)演示炮彈投射過程并講述相關(guān)概念（拋物線、頂點）

4、學(xué)生動腦思考，初步感知拋物線的特征：關(guān)于y軸對稱，開口方向向下。三、再探圖象明確性質(zhì)

11、教師用電腦在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫圖。（y=2x2,y=x2,y=8x2）

22、學(xué)生觀察，從a的取值、頂點、對稱軸、開口方向上總結(jié)拋物線的性質(zhì)。3、教師用電腦在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫圖。（y=－2x2,y=－

12

x,y=－8x2）24、學(xué)生觀察，從a的取值、頂點、對稱軸、開口方向上總結(jié)拋物線的性質(zhì)。四、知識歸納構(gòu)建體系

1、小組交流，歸納總結(jié)拋線的性質(zhì)2、小組代表匯報，老師梳理并板書性質(zhì)五、新知應(yīng)用深化理解從三個深度對學(xué)生加以考評1、直接運(yùn)用性質(zhì)⑴、口答

①函數(shù)y=3x2的開口方向________，對稱軸________頂點坐標(biāo)_________。

②函數(shù)y=－4x2圖像是_____，開口方向_____對稱軸是______，頂點坐標(biāo)是______。2、理論升華性質(zhì)

比較二次函數(shù)y=3x2與y=－x2相同點與不同點。3、整體把握二次函數(shù)

已知函數(shù)y=(a+1)xa是二次函數(shù)，且其開口向下，則a=______六、歸納小結(jié)布置作業(yè)

一、導(dǎo)入（前面我們已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)和反比例函數(shù)，今天我又給大家?guī)�來了一個新的朋友二次函數(shù)。（進(jìn)入新課）

1、（課件），讓學(xué)生了解二次函數(shù)的概念。根據(jù)概念來判斷我所寫的函數(shù)是不是二次函數(shù)。2、（板書）二次函數(shù)并讓學(xué)生識別

①y=－x2②y=3x2③y=－8x2④y=x2⑤y=－3x2⑥y=8x2

3、一次函數(shù)的圖像是一條直線，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，二次函數(shù)的圖像是什么形狀呢？二、新授（我們就來畫一下y＝－2x2的圖像，畫一般函數(shù)圖像的步驟是什么呢？下面我們就來用描點法畫函數(shù)圖像）

4、應(yīng)用電腦用描點法畫y＝－2x2的圖像，（點擊畫圖）用動畫演示拋物線的由來，并介紹相關(guān)概念（拋物線、對稱性、頂點）。（所以我們在畫圖像的時候要在對稱軸左右描點，這就要求我們在列表時自變量的取值應(yīng)在0左右分別取有代表性的值。）

5、學(xué)生用描點法畫函數(shù)y＝2x2的圖像，學(xué)生回答拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)。6、利用你所得到的結(jié)論，判斷①y=－x2②y=3x2的性質(zhì)。電腦直接畫函數(shù)圖像。①y=－x2②y=3x2③y=－8x2④y=x2⑤y=－3x2⑥y=8x2

7、拋物線都有哪些性質(zhì)呢？學(xué)生交流探究拋物線的性質(zhì)。學(xué)生口述，教師梳理板書。三、練習(xí)8、鞏固練習(xí)。四、小結(jié)

9、小結(jié)10、作業(yè)。

擴(kuò)展閱讀：二次函數(shù)圖像和性質(zhì)練習(xí)題1

二次函數(shù)圖像和性質(zhì)1

一、選擇題

1．已知二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx＋C的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a(chǎn)＋b＋c＞0

(第10題)

2．如圖5，已知拋物線yx2bxc的對稱軸為x2，點A，B均在拋物線上，且AB

與x軸平行，其中點A的坐標(biāo)為（0，3），則點B的坐標(biāo)為

yx=2ABOx圖5

A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）

3．函數(shù)yaxb和yax2bxc在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是()

4．把拋物線y=x+bx+c的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y=x－3x＋5，則（）

A．b=3，c=7B．b=6，c=3C．b=9，c=5D．b=9，c=215．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是A．a(chǎn)b＜0B．a(chǎn)c＜0

C．當(dāng)x＜2時，函數(shù)值隨x的增大而增大；當(dāng)x＞2時，函數(shù)值隨x的增大而減小

D．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的根。

6．已知函數(shù)y1＝x2與函數(shù)y2＝－

圍是（）．

1x＋3的圖象大致如圖，若y1＜y2，則自變量x的取值范2

A．－

333＜x＜2B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜2222D．x＜－2或x＞

327．若把函數(shù)y=x的圖象用E（x，x）記，函數(shù)y=2x+1的圖象用E（x，2x+1）記，則E（x，x2x1）可以由E（x，x）怎樣平移得到？A．向上平移１個單位B．向下平移１個單位C．向左平移１個單位D．向右平移１個單位8．已知拋物線yax2bxc（a＜0）過A（2，0）、O（0，0）、B（3，y1）、C（3，y2）四點，則y1與y2的大小關(guān)系是

A．y1＞y2

B．y1y2

C．y1＜y2D．不能確定

29．下列函數(shù)：①y3x；②y2x1；③y1x0；④yx22x3，其中xy的值隨x值增大而增大的函數(shù)有（）

A、4個B、3個C、2個D、1個

22

10．設(shè)a、b是常數(shù)，且b＞0，拋物線y=ax+bx+a-5a-6為下圖中四個圖象之一，則a的值為（）yyyy－1O1x－1O1xOxOx

A.6或－1B.－6或1C.6D.－1

11．已知函數(shù)y3(xm)(xn)，并且a,b是方程3(xm)(xn)0的兩個根，則實數(shù)m,n,a,b的大小關(guān)系可能是

mabnB．manbC．a(chǎn)mbnD．a(chǎn)mnbA．

12．如圖，AB為半圓的直徑，點P為AB上一動點，動點P從點A出發(fā)，沿AB勻速運(yùn)動到點B，運(yùn)動時間為t，分別以AP于PB為直徑做半圓，則圖中陰影部分的面積S與時間t之間的函數(shù)圖像大致為

13．定義[a,b,c]為函數(shù)yaxbxc的特征數(shù),下面給出特征數(shù)為[2m，1m,1m]

的函數(shù)的一些結(jié)論：

①當(dāng)m=3時，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(

218，)；333；2②當(dāng)m>0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于③當(dāng)m<0時，函數(shù)在x>

1時，y隨x的增大而減��；4④當(dāng)m0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點.其中正確的結(jié)論有

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④14．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長為x，四

邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

ADBC

(第10題)

B．yA．y22x25422xC．yx2255D．y42x515．已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

①b24ac0；②abc0；③8ac0；④9a3bc0．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是

（A）1（C）3y（B）2（D）4

21Oxx1第（15）題

16．將拋物線y2x212x16繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）．A．y2x12x16B．y2x12x16C．y2x12x19D．y2x12x20

17．y=x＋（1－a）x＋1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍是1≤x≤3時，y在x＝1時取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（）。A．a(chǎn)=5B．a(chǎn)≥5C．a(chǎn)＝3D．a(chǎn)≥3

18．已知二次函數(shù)yxbxc中函數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示，點

22

22A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)03．已知拋物線y12xbx經(jīng)過點A(4,0)。設(shè)點C（1，-3），請在拋物線的對稱軸上確定2一點D,使得ADCD的值最大，則D點的坐標(biāo)為＿＿＿＿＿＿＿。

4．如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.

12yx1上運(yùn)動，當(dāng)⊙P與x軸相切5．如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線

2時，圓心P的坐標(biāo)為▲.

6．如圖，拋物線yaxc(a0)交x軸于點G、F，交y軸于點D，在x軸上方的拋物線上有兩點B、E，它們關(guān)于y軸對稱，點G、B在y軸左側(cè)。BA⊥OG于點A，BC⊥OD于點C。

四邊形OABC與四邊形ODEF的面積分別為6和10，則△ABG與△BCD的面積之和為。

2

7．（1）將拋物線y1＝2x2向右平移2個單位，得到拋物線y2的圖象，則y2=▲；（2）如圖，P是拋物線y2對稱軸上的一個動點，直線x＝t平行于y軸，分別與直線y＝x、拋物線y2交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t＝▲．

yyx

y2PO

三、解答題

x

1．（201*江蘇泰州）如圖，二次函數(shù)y129xc的圖象經(jīng)過點D3,，與x軸交22于A、B兩點．

⑴求c的值；⑵如圖①，設(shè)點C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數(shù)解析式；⑶設(shè)點P、Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由．（圖②供選用）

2．（201*福建福州）如圖，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．AHEF

（1）求證：＝；

ADBC

（2）設(shè)EF＝x，當(dāng)x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值；

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(當(dāng)點Q與點C重合時停止運(yùn)動)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，矩形EFFQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

(第21題)

第21題圖1

3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點B在直線y＝2x上，過點B作x軸的垂線，垂足為A，1

OA＝5．若拋物線y＝x2＋bx＋c過O、A兩點．

6

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若A點關(guān)于直線y＝2x的對稱點為C，判斷點C是否在該拋物線上，并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，⊙O1是以BC為直徑的圓．過原點O作⊙O1的切線OP，P為切點(點P與點C不重合)．拋物線上是否存在點Q，使得以PQ為直徑的圓與⊙O1相切?若存在，求出點Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．、

(第3題圖1)(第3題圖2)

4．如圖，矩形ABCD的頂點A、B的坐標(biāo)分別為（-4，0）和（2，0），BC=23．設(shè)直線AC與直線x=4交于點E．

（1）求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線

一定過點E；

（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一

動點，求△CMN面積的最大值．

yDCEAOBx=4x

5．（201*湖南邵陽）如圖，拋物線y＝12xx3與x軸交于點A、B，與y軸相交于點4C，頂點為點D，對稱軸l與直線BC相交于點E，與x軸交于點F。（1）求直線BC的解析式；

（2）設(shè)點P為該拋物線上的一個動點，以點P為圓心，r為半徑作⊙P。①當(dāng)點P運(yùn)動到點D時，若⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；②若r=45，是否存在點P使⊙P與直線BC相切，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存5在，請說明理由．

第5題圖

6．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象經(jīng)過點B（12,0）和C（0，－6），對稱軸為x＝2．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點D在線段AB上且AD＝AC，若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運(yùn)動速度；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

yPAODBQxC27．如圖，二次函數(shù)yxaxb的圖象與x軸交于A(,0),B(2,0)兩點，且與y軸交

12

于點C.

（1）求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；

（2）在x軸上方的拋物線上有一點D,且以A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標(biāo)；

（3）在此拋物線上是否存在點P,使得以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

第7題圖8．將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點A、C及點B(3，0)．(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；

(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等?若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

9．已知拋物線yaxbxc(a0)頂點為C（1，1）且過原點O.過拋物線上一點P（x，y）向直線y25作垂線，垂足為M，連FM（如圖）.434（1）求字母a，b，c的值；

（2）在直線x＝1上有一點F(1,)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標(biāo)，并證明此時△PFM為正三角形；

（3）對拋物線上任意一點P，是否總存在一點N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在請求

出t值，若不存在請說明理由.

10．(已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對稱軸；

(2)點P從B點出發(fā)以每秒0.1個單位的速度沿線段BC向C點運(yùn)動，點Q從O點出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點運(yùn)動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

①當(dāng)t為何值時，四邊形ABPQ為等腰梯形；②設(shè)PQ與對稱軸的交點為M，過M點作x軸的平行線交AB于點N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時，S有最大值或最小值．

第10題圖

11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.點E、F同時從B點出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動.已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設(shè)E點移動距離為x（x＞0）.

⑴△EFG的邊長是____（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x＝2時，點G的位置在_______；⑵若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求①當(dāng)0＜x≤2時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)2＜x≤6時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶探求⑵中得到的函數(shù)y在x取含何值時，存在最大值，并求出最大值.

BE→F→C2yQOMCPBANx

ADG12．如圖1，拋物線y1ax2axb經(jīng)過點A（－1，0），C（0，

3）兩點，且與x軸2的另一交點為點B．

（1）求拋物線解析式；

（2）若拋物線的頂點為點M，點P為線段AB上一動點（不與B重合），Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設(shè)OP=x，MQ=

2y2，求y2于x的函數(shù)關(guān)系式，并且直接寫出2自變量的取值范圍；

（3）如圖2，在同一平面直角坐標(biāo)系中，若兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于E、G兩點，與（2）中的函數(shù)圖像交于F、H兩點，問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求出m、n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請說明理由．圖2

圖1

13．已知一次函數(shù)y＝

1x1的圖象與x軸交于點A．與y軸交于點B；二次函數(shù)211yx2bxc圖象與一次函數(shù)y＝x1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E22兩點且D點的坐標(biāo)為(1,0)

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求四邊形BDEF的面積S；

（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，

求出所有的點P，若不存在，請說明理由。

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