一元二次函數的圖像和性質

3.4一元二次函數的圖象和性質

復習目標1．掌握一元二次函數圖象的畫法及圖象的特征

2．掌握一元二次函數的性質，能利用性質解決實際問題3．會求二次函數在指定區(qū)間上的最大（�。┲�4．掌握一元二次函數、一元二次方程的關系。

知識回顧1．函數yax2bxc(a0)叫做一元二次函數。2.一元二次函數的圖象是一條拋物線。

3．任何一個二次函數yax2bxc(a0)都可把它的解析式配方為頂點式：

b2a4acb4a2ya(x)2，

性質如下：

（1）圖象的頂點坐標為(（2）最大（�。┲�

①當a0，函數圖象開口向上，y有最小值，ymin4acb4a4acb4ab2a2b2a,4acb4a2)，對稱軸是直線xb2a。

2，無最大值。

②當a0，函數圖象開口向下，y有最大值，ymax（3）當a0，函數在區(qū)間(,當a0，函數在區(qū)間上(b2ab2a)上是減函數，在(，無最小值。

,)上是增函數。b2a)上是增函數。

,)是減函數，在(,【說明】1.我們研究二次函數的性質常用的方法有兩種：配方法和公式法。

2．無論是利用公式法還是配方法我們都可以直接得出二次函數的頂點坐標與對稱軸；

但我們討論函數的最值以及它的單調區(qū)間時一定要考慮它的開口方向。

例題精解一、一元二次函數的圖象的畫法【例1】求作函數y【解】y12212x4x6的圖象

12(x8x12)

22x4x12[(x4)22-4]12(x4)22-2

以x4為中間值，取x的一些值，列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函數yx24x3的圖象。【解】yx24x3(x24x3)[(x2)27][(x2)27

先畫出圖角在對稱軸x2的右邊部分，列表

xy-2-176051423

【點評】畫二次函數圖象步驟：(1)配方；(2)列表；

(3)描點成圖；也可利用圖象的對稱性，先畫出函數的左（右）邊部分圖象，再利用對稱性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函數性質

【例3】求函數yx26x9的最小值及圖象的對稱軸和頂點坐標，并求它的單調區(qū)間�！窘狻縴x26x2x26x97(x3)27

由配方結果可知：頂點坐標為(3，7)，對稱軸為x3；10∴當x3時，ymin7

函數在區(qū)間(，3]上是減函數，在區(qū)間[3，)上是增函數。

【例4】求函數y5x3x1圖象的頂點坐標、對稱軸、最值及它的單調區(qū)間。

b2a32(5)3104acb4a,2922，

33104(5)134(5)292022920

∴函數圖象的頂點坐標為(50∴當x函數在區(qū)間(,3101020)，對稱軸為x

2920時，函數取得最大值ymaz

]上是增函數，在區(qū)間[3,)上是減函數。

【點評】要研究二次函數頂點、對稱軸、最值、單調區(qū)間等性質時，方法有兩個：(1)配方法；如例3

(2)公式法：適用于不容易配方題目(二次項系數為負數或分數)如例4，可避免出錯。任何一個函數都可配方成如下形式：ya(x三、二次函數性質的應用

【例5】(1)如果f(x)x2bxc對于任意實數t都有f(3t)f(3t)，那么（）

（A）f(3)f(1)f(4)（C）f(3)f(4)f(1)

（B）f(1)f(3)f(4)（D）f(4)f(3)f(1)

b2a)24acb4a2(a0)

【解】∵f(3t)f(3t)對于一切的tR均成立

∴f(x)的圖像關于x3對稱又a10∴

拋物線開口向上。

∴f(3)是f(x)的最小值。

1343，

∴f(3)f(4)f(1)

(2)如果f(x)x2bxc對于任意實數t都有f(2t)f(2t)，則f(1)

f(1)。(用“”或“”填空)

【解】∵f(2t)f(2t)對于一切的tR均成立

∴f(x)的圖像關于x2對稱又a10

∴

拋物線開口向下。

1(2)1(2)，

∴f(1)f(1)

【點評】1.當a0時，對稱軸通過它的最低點(此時函數有最小值)，如果這時有一個點離圖象對稱軸越遠，則對應的函數值就越大。如例5(1)中當x1所對應的點比當x4所對

應的點離對稱軸遠，所以x1時對應的函數值也比較大。

2．1.當a0時，對稱軸通過它的最高點(此時函數有最大值)，如果這時有一個點離圖象對稱軸越遠，則對應的函數值就越小。如例5(2)中當x1所對應的點比當x1所對應的點離對稱軸遠，所以x1對應的函數值也比較小。【例6】求函數yx2x5在給定區(qū)間[1,5]上的最值。

【解】（1）原函數化為yx22x5x16

2∵a10∴當x1時，ymin6

又∵1151∴當x5時，ymax(51)2610

（2）原函數可化為：y(x13)2109，圖象的對稱軸是直線x13

注意到當1x2時，函數為減函數∴yminf(2)2223214431133

【例7】已知函數y(n2)x2nx1是偶函數，試比較f(2)，f(2)，f(5)的大

小。

【解】解法一：∵y(n2)x2nx1是偶函數，

∴n0,∴y2x21

∴可知函數的對稱軸為直線x0又∵a20，

502020

∴f(2)f(2)f(5)

解法二：∵y(m1)x22mx3是偶函數，

∴n0,∴y2x21

可知y2x1在(0,)上單調遞減

22又∵y(n2)xnx1是偶函數，∴f(5)f(5)

而52

2

∴f(2)f(2)f(5)∴f(2)f(2)f(5)

三、一元二次函數、一元二次方程的關系。

【例8】求當k為何值時，函數y2x4xk的圖象與x軸(1)只有一個公共點；(2)

有兩個公共點；(3)沒有公共點.

【解】令2x4xk0，則2xxk0的判別式b4ac168k

22(1)當0，即168k0，k2時，方程有兩個相等的實根，這時圖象與x軸只

有一個公共點；(2)當0，即168k0，k2時，方程有兩個不相等的實根，這時圖象與x軸

有兩個公共點；(3)當0，即168k0，k2時，方程有兩個不相等的實根，這時圖象與x軸

無公共點；

同步訓練一．選擇題

1．二次函數yx22x5的值域是（）

4］Ｄ．(,�。粒�［4，　)Ｂ．(4,　　)Ｃ．(，　　4)

2．如果二次函數y5x2mx4在區(qū)間(,1)上是減函數，在區(qū)間[1,)上是增函數，則m（）

Ａ．2Ｂ．-2Ｃ．10Ｄ．-10

3．如果二次函數yx2mx(m3)有兩個不相等的實數根，則m的聚值范圍是（）Ａ．(,2)(6,)Ｂ．(2,6)Ｃ．[2,6)0Ｄ．{2,6}4．函數y12xx3的最小值是（）

12.Ｃ．3Ｄ．312.

2Ａ．-3.Ｂ．35．函數y2x24x2具有性質（）

Ａ．開口方向向上，對稱軸為x1，頂點坐標為（-1，0）

Ｂ．開口方向向上，對稱軸為x1，頂點坐標為（1，0）Ｃ．開口方向向下，對稱軸為x1，頂點坐標為（-1，0）Ｄ．開口方向向下，對稱軸為x1，頂點坐標為（1，0）6．下列命題正確的是（）Ａ．函數y2x6x3的最小值是

2232Ｂ．函數y2x6x3的最小值是

22154

Ｃ．函數yx4x3的最小值為7Ｄ．函數yx4x3的最大值為77．函數（1）y2x4x3；（2）y2x4x3；（3）y3x6x3；（4）

2y3x6x3中，對稱軸是直線x1的是（）

222Ａ．（1）與（2）Ｂ．（2）與（3）Ｃ．（1）與（3）Ｄ．（2）與（4）8．對于二次函數y2x8x，下列結論正確的是（）

Ａ．當x2時，y有最大值8Ｂ．當x2時，y有最大值8

Ｃ．當x2時，y有最小值8Ｄ．當x2時，y有最小值89．如果函數yax2bxc(a0)，對于任意實數t都有f(2t)f(2t)，那么下列選項中正確的是（）

Ａ．f(2)f(1)f(4)Ｂ．f(1)f(2)f(4)Ｃ．f(2)f(4)f(1)Ｄ．f(4)f(2)f(1)10．若二次函數ya2x24x1有最小值，則實數a＝（）Ａ．2Ｂ．二．填空

1．若函數f(x)2x2x1，則f(x)的對稱軸是直線2．若函數y2x2bx3在區(qū)間(,2]上是減函數，在區(qū)間(2,]是增函數，則b3．函數y2x23x9的圖象與y軸的交點坐標是，與x軸的交點坐標是、4．已知y9x26x6，則y有最值為5．已知y4x228x1，則y有最值為三．解答題

1．已知二次函數yx24x3，（1）指出函數圖象的開口方向；（2）當x為何值時y0；（3）求函數圖象的頂點坐標、對稱軸和最值。

2.如果二次函數f(x)xkx(k8)與x軸至多有一個交點，求k的值。

3．已知二次函數f(x)x2(m1)2mm，（1）如果它的圖象經過原點，求m的值。

（2）如果它的圖象關于y軸對稱，寫出函數的關系式。

（3）如果它的圖象關于y軸對稱，試比較f(2)、f(3)、f(2)。

2222Ｃ．2Ｄ．

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