復變函數與積分變換總結

第二章小結

本章主要介紹了解析函數的概念，給出了一些初等函數的定義，并研究了這些初等函數的性質,主要知識點有

一、與函數解析有關的問題：要看解析，先看可導

1.解析與可導的關系：

區(qū)域內等價，一點處并不等價，一點處解析是比一點處可導更強的概念

2.一元實變函數具有的一些求導運算法則對復變函數同樣成立，如四則運算、復合運算、反函數求導等

3.形式較簡單的函數在一點可導的判斷及求導方法(1).可導定義

(2).轉化為這些復變函數對應的兩個二元實變函數的討論a.判斷可導：可微性、C-R方程

b.求導：f"(z)uvixx4.形式較復雜函數在一點可導判斷及求導步驟：

拆解為一些形式較簡單的函數；研究這些函數的可導性并求導；利用求導法則得原函數的可導性及導數

二、與初等函數有關的問題及要求

1.熟記各種初等函數的定義公式、解析性及求導公式2.高數中的初等函數與復變函數中初等函數的區(qū)別

ez僅是一個記號、指數函數的周期為2ki(kZ)；負實數的對數有意義、

LnznLnz,Lnz1nn1n在復數范圍內不再成立；abebLna(a0)；Lnzsinz1,cosz1在復數范圍內不再成立

三、與三角函數及雙曲函數有關的復數方程的求解步驟

1.根據三角函數及雙曲函數的定義將所給方程用e或e表示2.整理為關于e或e的一元二次方程后并配方、開方3.利用方程ez解的公式得原方程解公式例求解方程shzi

wizzizz

擴展閱讀：復變函數與積分變換重要知識點歸納

復變函數復習重點

(一)復數的概念

1.復數的概念：zxiy，x,y是實數,

xRez,yImz.i21.

注：一般兩個復數不比較大小，但其模（為實數）有大小.2.復數的表示1）模：zx2y2；

2）幅角：在z0時，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz與arctany之間的關系如下：

xy；xyxyx當x0,

argzarctany0,argzarctan當x0,y0,argzarctan；

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中間一定是“+”號。

5）指數表示：z(二)復數的運算

1.加減法：若z1x1iy1,z2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y22.乘除法：

1）若z1x1iy1,z2x2iy2，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

zei，其中argz。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2,

。

2）若z1則

z1z2z1z2e1i2；z1z2z1z2e1i2

3.乘冪與方根1）若z2）若zn1nz(cosisin)zei，則znz(cosnisinn)zeinnn。

z(cosisin)zei，則

2k2kzzcosisinnn(k0,1,2n1)（有n個相異的值）

（三）復變函數

1．復變函數：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個點集D變到w平面上的一個點集G的映射.2．復初等函數

1）指數函數：ezexcosyisiny，在z平面處處可導，處處解析；且ezez。

注：ez是以2i為周期的周期函數。（注意與實函數不同）3）對數函數：

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數）；

主值：lnzlnziargz。（單值函數）

Lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內處處

解析，且lnz1；

z注：負復數也有對數存在。（與實函數不同）

3）乘冪與冪函數：abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

注：在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且zbbzb1。

eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4）三角函數：sinz2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面內解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實函數不同）

4）雙曲函數

shzezezezezshz,chz22；

平面內解析，且

奇函數，chz是偶函數。在sh,zchzzshzc,hzchz。shz

（四）解析函數的概念1．復變函數的導數1）點可導：

fz0=limfz0zfz0zz0；

2）區(qū)域可導：fz在區(qū)域內點點可導。2．解析函數的概念

1）點解析：fz在z0及其z0的鄰域內可導，稱fz在z0點解析；2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內每一點解析，稱fz在區(qū)域內解析；3）若f(z)在z0點不解析，稱z0為fz的奇點；

3．解析函數的運算法則：解析函數的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數；解析函數的復合函數仍為解析函數；（五）函數可導與解析的充要條件

1．函數可導的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

uvyxuv,xy此時，有fzuiv。

xx2．函數解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內解析

ux,y和vx,y在x,y在

uv；yxD內可微，且滿足

CD條件：

uv,xy此時fzuiv。

xx注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導數，則ux,y,vx,y在區(qū)域D內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足CR條件時，函數f(z)uiv一定是可導或解析的。

3．函數可導與解析的判別方法

1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件（函數以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習題2）

3）利用可導或解析函數的四則運算定理。（函數fz是以z的形式給出，如第二章習題3）

（六）復變函數積分的概念與性質

1．復變函數積分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲線。nk1注：復變函數的積分實際是復平面上的線積分。2．復變函數積分的性質1）2）

nfzdzccc1fzdz（c1與c的方向相反）；

cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數；

123）若曲線c由c1與c2連接而成，則cfzdzcfzdzcfzdz。

3．復變函數積分的一般計算法

1）化為線積分：cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理論證明）2）參數方法：設曲線c：

zzt(t)，其中對應曲線c的起

點，對應曲線c的終點，則cfzdz[f)。tdtz]t(z（七）關于復變函數積分的重要定理與結論

1．柯西古薩基本定理：設fz在單連域B內解析，c為B內任一閉曲線，則

fzdz0

c2．復合閉路定理：設fz在多連域D內解析，c為D內任意一條簡單閉曲線，c1,c2,cn是c內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D內，則

fzdz,其中c與ck均取正向；①fzdzk1cckn1②fzdz0，其中由c及c(k1,2,n)所組成的復合閉路。

3．閉路變形原理：一個在區(qū)域D內的解析函數fz沿閉曲線c的積分，不因c在D內作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經過使fz不解析的奇點。

4．解析函數沿非閉曲線的積分：設fz在單連域B內解析，Gz為fz在B內的一個原函數，則zz21fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明：解析函數fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數即可。

5�？挛鞣e分公式：設fz在區(qū)域D內解析，c為D內任一正向簡單閉曲線，c的內部完全屬于

4

D，z0為c內任意一點，則

zzdz2ifz

c00fz6．高階導數公式：解析函數fz的導數仍為解析函數，它的n階導數為

fz2idzc(zz)n1n!0fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬于D。7．重要結論：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲

線）

8．復變函數積分的計算方法

1）若fz在區(qū)域D內處處不解析，用一般積分法

fzdzcf[zt]ztdt

2）設fz在區(qū)域D內解析，

c是D內一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，cfzdz0c是D內的一條非閉曲線，z1,z2對應曲線c的起點和終點，則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）設fz在區(qū)域D內不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內僅有一個奇點：（f(z)在c內解析）fzdz2ifnz0c(zz)n1n!0n曲線c內有多于一個奇點：fzdz（ci內只有一個奇fzdzck1ck

點zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留數基本定理）

ck1n若被積函數不能表示成算。

fz(zzo)n1，則須改用第五章留數定理來計

（八）解析函數與調和函數的關系

1．調和函數的概念：若二元實函數(x,y)在D內有二階連續(xù)偏導數

22且滿足220，

xy(x,y)為D內的調和函數。

2．解析函數與調和函數的關系

解析函數fzuiv的實部u與虛部v都是調和函數，并稱虛部v為實部u的共軛調和函數。

兩個調和函數u與v構成的函數f(z)uiv不一定是解析函數；但是若u,v如果滿足柯西

黎曼方程，則uiv一定是解析函數。

3．已知解析函數fz的實部或虛部，求解析函數fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實部uux,y，利用CR條件，得v,v；

xy對vu兩邊積分，得vudygx（*）

yxx再對（*）式兩邊對x求偏導，得vxudygxxx（**）

gx；

由CR條件，uv，得uyxyudygx，可求出xx

代入（*）式，可求得虛部vudygx。

x2）線積分法：若已知實部

dvvvuudxdydxdy，xyyxx,y00uu,xy，利用

CR條件可得

故虛部為vx,yudxudyc；

yx由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點。

3）不定積分法：若已知實部uux,y，根據解析函數的導數公式和CR條件得知，

fzuvuuiixyxy將此式右端表示成z的函數Uz，由于fz仍為解析函數，故

fzUzdzc（c為實常數）注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.（九）復數項級數1．復數列的極限

1）復數列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復數abi的充要條件為

limana,nlimbnb

n（同時成立）

2）復數列{n}收斂實數列{an},{bn}同時收斂。2．復數項級數

1）復數項級數n(nanibn)收斂的充要條件是級數an與bn同

n0n0n0時收斂；

n0。2）級數收斂的必要條件是limn

注：復數項級數的斂散性可以歸納為兩個實數項級數的斂散性問題的討論。

（十）冪級數的斂散性

1．冪級數的概念：表達式cn(zz0)或cnzn為冪級數。

nn0n02．冪級數的斂散性

1）冪級數的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數cnzn在z00n0處收斂，那么對滿足zz0的一切z，該級數絕對收斂；如果在的一切z，級數必發(fā)散。

z0處發(fā)散，那么對滿足zz02）冪級數的收斂域圓域

冪級數在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。

3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。

cn1比值法如果limncn0，則收斂半徑R1；

根值法

limcn0，則收斂半徑Rn1；

如果0，則R；說明在整個復平面上處處收斂；

如果，則R0；說明僅在zz0或z0點收斂；

注：若冪級數有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）

n03．冪級數的性質

1）代數性質：設anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記

nn0n0RminR1,R2，

則當zR時，有

nn(an0nbn)zanzbnzn

n0n0（線性運算）

（乘積運算）

(anz)(bnz)(anb0an1b1a0bn)znnnn0n0n02）復合性質：設當且gzr，

則當zr時，fannn0，當zR時，gz解析

R時，f[gz]an[gz]n。

n03）分析運算性質：設冪級數anzn的收斂半徑為R0，則

n0其和函數fzanzn是收斂圓內的解析函數；

n0在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且

zR

fznanzn1

n0

在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變；0fzdzzR

zann1zn0n1

（十一）冪函數的泰勒展開1.泰勒展開：設函數fz在圓域zz0可以展開成冪級數fzn0R內解析，則在此圓域內fzfnz0n!n并且此展開式是唯一的。zz0；

注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑Rz0a；

其中R為從z0到fz的距z0最近一個奇點a之間的距離。

2．常用函數在z00的泰勒展開式

1nz2z3zn1）ez1z

2!3!n!n0n!z12）zn1zz2zn

1zn0z

z1

(1)n2n1z3z5(1)n2n13）sinzzzz

3!5!(2n1)!n0(2n1)!z

(1)n2nz2z4(1)n2n4）coszz1z

(2n)!2!4!(2n)!n0z

3．解析函數展開成泰勒級數的方法1）直接法：直接求出cn1fnz0n!，于是fzcnzz0n。

n02）間接法：利用已知函數的泰勒展開式及冪級數的代數運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數展開。（十二）冪函數的洛朗展開

1.洛朗級數的概念：cnzz0n，含正冪項和負冪項。

n2．洛朗展開定理：設函數fz在圓環(huán)域R1zz0R2內處處解析，

c為圓環(huán)域內繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓

環(huán)域內，有fzcnzz0n，且展開式唯一。

n3．解析函數的洛朗展開法：洛朗級數一般只能用間接法展開。*4．利用洛朗級數求圍線積分：設fz在rrzz0R內的任何一條正向簡單閉曲線，則c1為f(z)在rzz0R內洛朗展開式中

zz0R內解析，c為

fzdz2ic。其中

c11zz0的系數。

說明：圍線積分可轉化為求被積函數的洛朗展開式中(zz0)1的系

數。

（十三）孤立奇點的概念與分類

1。孤立奇點的定義：fz在z0點不解析,但在z0的0析。

2。孤立奇點的類型：

1）可去奇點：展開式中不含

fzc0c1zz0c2zz0

2zz0內解

zz0的負冪項；

2）極點：展開式中含有限項zz0的負冪項；

c(m1)gzcmc12fzcc(zz)c(zz),01020(zz0)m(zz0)m1(zz0)(zz0)m其中gzcmc(m1)(zz0)c1(zz0)m1c0(zz0)m在z0解析，且gz00,m1,cm0；

3）本性奇點：展開式中含無窮多項zz0的負冪項；

fzcmc1mcc(zz)c(zz)010m0m(zz0)(zz0)

（十四）孤立奇點的判別方法

fzc0常數；1．可去奇點：zlimz0fz2．極點：zlimz0fz不存在且不為。3．本性奇點：zlimz04．零點與極點的關系

1）零點的概念：不恒為零的解析函數fz，如果能表示成

fz(zz0)mz，

其中z在z0解析，z00,m為正整數，稱z0為fz的m級零點；2）零點級數判別的充要條件

z0是

nfz00,fz的m級零點mfz00(n1,2,m1)

1的m級極點；fz3）零點與極點的關系：z0是fz的m級零點z0是4）重要結論

若za分別是z與z的m級與n級零點，則

za是zz的mn級零點；

z當mn時，za是的mn級零點；

zz當mn時，za是的nm級極點；

zz當mn時，za是的可去奇點；

z當mn時，za是zz的l級零點，lmin(m,n)

當mn時，za是zz的l級零點，其中l(wèi)m(n)（十五）留數的概念

1．留數的定義：設z0為fz的孤立奇點，fz在z0的去心鄰域

0zz0內解析，c為該域內包含z0的任一正向簡單閉曲線，則稱

c積分

fz2i1d為zfzfzdz

在

z0的留數（或殘留），記作

Res[fz,z0]c2i12．留數的計算方法

若z0是fz的孤立奇點，則Res[fz,z0]c1，其中c1為fz在

z0的去心鄰域內洛朗展開式中(zz0)1的系數。

1）可去奇點處的留數：若z0是fz的可去奇點，則Res[fz,z

12

0]

2）m級極點處的留數

法則I若z0是fz的m級極點，則

1dm1Res[fz,z0]limm1[(zz0)mfz]

(m1)!zz0dz特別地，若z0是fz的一級極點，則Res[fz,z0]lim(zz0)fz

zz0注：如果極點的實際級數比m低，上述規(guī)則仍然有效。

Pz法則II設fz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,

QzQz00,Qz00，則Res[PzQz,z0]Pz0Qz0（十六）留數基本定理

設fz在區(qū)域D內除有限個孤立奇點z1,z2,zn外處處解析，c為

cD內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則

nn1fzdz2iRes[fz,z]

說明：留數定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉化為求被積函數fz在c內各孤立奇點處留數的局部問題。

積分變換復習提綱

一、傅里葉變換的概念

F[f(t)]f(t)ejwtdtF(w)

F1[F()]12F()ejtdf(t)

二、幾個常用函數的傅里葉變換

F[e(t)]1j1()jF[u(t)]F[(t)]1F[1]2()

三、傅里葉變換的性質

位移性（時域）：F[f(tt0)]ejwt00F[f(t)]

0位移性（頻域）：F[ejwtf(t)]F(w)www位移性推論：F[sinw0tf(t)]F(ww0)

1[F(ww0)F(ww0)]2j位移性推論：F[cosw0tf(t)]1[F(ww0)F(ww0)]

2微分性（時域）：F[f(t)](jw)F(w)（tF[f(n)(t)](jw)nF(w)，t,f(n1)(t)0

,f(t)0），

微分性（頻域）：F[(jt)ft]Fw,F[(jt)nf(t)]F(n)(w)相似性：F[f(at)]1wF()aa(a0)

四、拉普拉斯變換的概念

L[f(t)]0f(t)estdtF(s)

五、幾個常用函數的拉普拉斯變換

L[ekt]1；sk(m1)m!1是自然數；（)L[tm](m(1)1,(),(m1)m(m)）

sm1sm12

L[u(t)]L[1]L[(t)]1

1；sL[sinkt]k,s2k2kL[shkt]2,sk2設

ss2k2sL[chkt]2sk2T1則L[f()（f(t)是以T為周期的周期f(tT)f(t)，]t()ftdt。Ts01eL[coskt]函數）

六、拉普拉斯變換的性質

微分性（時域）：L[ft]sFsf0,L[f(t)]s2F(s)sf(0)f(0)

([)tft]F微分性（頻域）：Ls，L[(t)nft]F(n)s

tFs積分性（時域）：L[0ftdt]

s積分性（頻域）：L[ftt]Fsds（收斂）

s位移性（時域）：L[eatft]Fsa相似性：L[f(at)]1F(s)

aa

位移性（頻域）：L[ft]esFs（0,t0,f(t)0）

(a0)

七、卷積及卷積定理

f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d

F[f1(t)f2(t)]F1(w)F2(w)

F[f1(t)f2(t)]1F1(w)F2(w)2L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s)

八、幾個積分公式f(t)(t)dtf(0)f(t)(tt0)dtf(t0)

15

0f(t)dtL[f(t)]dsF(s)ds1600t

0f(t)ektdtL[f(t)]sk

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