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導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-29 15:37:26 | 移動端:導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)

導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用題型總結(jié)題型一:切線問題

①求曲線在點(xo,yo)處的切線方程②求過曲線外一點的切線方程

③求已知斜率的切線方程④切線條數(shù)問題例題1:已知函數(shù)f(x)=x+x-16,求:(1)曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程

(2)過原點的直線L是曲線y=f(x)的切線,求它的方程及切點坐標(biāo)

(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-(1/4)x+3垂直,求切線方程及切點坐標(biāo)例題2:已知函數(shù)f(x)=ax+2bx+cx在xo處去的極小值-4.使其導(dǎo)數(shù)f"(x)>0的x的取值范圍為(1,3),求:(1)f(x)的解析式;(2)若過點P(-1,m)的曲線y=f(x)有三條切線,求實數(shù)m的取值范圍。

題型二:復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則的綜合問題例題3:求函數(shù)y=xcos(x+x-1)sin(x+x-1)的導(dǎo)數(shù)題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(定義域優(yōu)先法則)②求已知單調(diào)性的含參函數(shù)的參數(shù)的取值范圍③證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

例題4:設(shè)函數(shù)f(x)=x+bx+cx,已知g(x)=f(x)-f"(x)是奇函數(shù),求y=g(x)的單調(diào)區(qū)間例題5:已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1,

(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍

(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減?若存在,求出a的范圍;若不存在,說明理由。

例題6:證明函數(shù)f(x)=lnx/x2在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)。題型四:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像問題

例1:若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的圖象可能是y

題型五:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值

例題7:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx在區(qū)間(-2,1)上x=-1時取得極小值,x=2/3時取得極

yy3

2323

oaoobxoabxbxabxaA.B.C.D.大值。求(1)函數(shù)y=f(x)在x=-2時的對應(yīng)點的切線方程(2)函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值。

△判斷函數(shù)極值點的注意事項:

(1)函數(shù)的極值點只出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點不能成為極值點

(2)若f(x)在(a,b)上有極值,那么y=f(x)在(a,b)上絕不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)函數(shù)沒有極值

(3)導(dǎo)數(shù)不存在的點也有可能是極值點,如y=|x|在x=0處取得極小值(4)若可能極值點有多個時,以實用表格形式進行作答。

題型六:不等式的恒成立問題

例題8:設(shè)函數(shù)f(x)=(a/3)x3-(3/2)x2+(a+1)x+1,其中a為實數(shù)。

(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值。(2)已知不等式f"(x)>x2-x-a+1對于任意a>0都成立,求實數(shù)x的取值范圍。題型七:導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用(優(yōu)化問題)題型八:定積分的應(yīng)用

例題9:在區(qū)間[0,1]上給定曲線y=x2,試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值,使圖中陰影部分面積之和最小。

擴展閱讀:高考導(dǎo)數(shù)問題常見題型總結(jié)

高考有關(guān)導(dǎo)數(shù)問題解題方法總結(jié)

一、考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù);兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析

題型一:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。

32f(x)x3x2在區(qū)間1,1上的最大值是21.

22.已知函數(shù)yf(x)x(xc)在x2處有極大值,則常數(shù)c=6;

33.函數(shù)y13xx有極小值-1,極大值3

題型二:利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程

31,3處的切線方程是yx2y4xx1.曲線在點

42.若曲線f(x)xx在P點處的切線平行于直線3xy0,則P點的坐標(biāo)為(1,0)

4yx3.若曲線的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為4xy30

4.求下列直線的方程:

322(1)曲線yxx1在P(-1,1)處的切線;(2)曲線yx過點P(3,5)的切線;

32y/3x22xky/|x-13-21解:(1)點P(1,1)在曲線yxx1上,

即xy20所以切線方程為y1x1,

2/(2)顯然點P(3,5)不在曲線上,所以可設(shè)切點為A(x0,y0),則y0x0①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y2x,

所以過

2x0A(x0,y0)點的切線的斜率為

ky/|xx02x0,又切線過A(x0,y0)、P(3,5)點,所以有

y05x03x01x05y1或y250②,由①②聯(lián)立方程組得,0,即切點為(1,1)時,切線斜率為

k12x02;;當(dāng)切點為(5,25)時,切線斜率為k22x010;所以所求的切線有兩條,方程分

即y2x1或y10x25別為y12(x1)或y2510(x5),

題型三:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值、最值

32f(x)xaxbxc,過曲線yf(x)上的點P(1,f(1))的切線方程為y=3x+11.已知函數(shù)

第1頁共10頁(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x2處有極值,求f(x)的表達式;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)yf(x)在[-3,1]上的最大值;(Ⅲ)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍

322f(x)xaxbxc,求導(dǎo)數(shù)得f(x)3x2axb.解:(1)由

過yf(x)上點P(1,f(1))的切線方程為:

yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).

的切線方程為y3x1.而過yf(x)上P[1,f(1)]32ab3故ac32ab0即ac3

①②

∵yf(x)在x2時有極值,故f(2)0,4ab12③

32f(x)x2x4x5.由①②③得a=2,b=-4,c=5∴

2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).

23x2時,f(x)0;當(dāng)2x時,f(x)0;3當(dāng)

2當(dāng)x1時,f(x)0.f(x)極大f(2)133又f(1)4,f(x)在[-3,1]上最大值是13。

2f(x)3x2axb,由①知2a+b=0。(3)y=f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,又

2依題意f(x)在[-2,1]上恒有f(x)≥0,即3xbxb0.

x①當(dāng)

b1時,f(x)minf(1)3bb0,b66;b2時,f(x)minf(2)122bb0,b6;

x②當(dāng)

612bb221時,f(x)min0,則0b6.b12③當(dāng)

綜上所述,參數(shù)b的取值范圍是[0,)

322.已知三次函數(shù)f(x)xaxbxc在x1和x1時取極值,且f(2)4.

第2頁共10頁(1)求函數(shù)yf(x)的表達式;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域為[4,16],試求m、n應(yīng)滿足的條件.

(x)3x22axbf解:(1),

2由題意得,1,1是3x2axb0的兩個根,解得,a0,b3.

3f(2)4f(x)x3x2.c2再由可得.∴

(x)3x233(x1)(x1)f(2),

當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;當(dāng)1x1時,f(x)0;當(dāng)x1時,f(x)0;

當(dāng)x1時,f(x)0.∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]上是增函數(shù);]上是減函數(shù);在區(qū)間[1,)上是增函數(shù).在區(qū)間[1,1函數(shù)f(x)的極大值是f(1)0,極小值是f(1)4.

(3)函數(shù)g(x)的圖象是由f(x)的圖象向右平移m個單位,向上平移4m個單位得到的,所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,nm]上的值域為[44m,164m](m0).而f(3)20,∴44m20,即m4.

于是,函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,n4]上的值域為[20,0].令f(x)0得x1或x2.由f(x)的單調(diào)性知,1n4綜上所述,m、n應(yīng)滿足的條件是:m4,且3n

3.設(shè)函數(shù)f(x)x(xa)(xb).

(1)若f(x)的圖象與直線5xy80相切,切點橫坐標(biāo)為2,且f(x)在x1處取極值,求實數(shù)a,b的值;

6.

2,即3n6.

第3頁共10頁(2)當(dāng)b=1時,試證明:不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點.

解:(1)f(x)3x2(ab)xab.

由題意f(2)5,f(1)0,代入上式,解之得:a=1,b=1.

2令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.(2)當(dāng)b=1時,

224(aa1)0,故方程有兩個不同實根x1,x2.因

""xxf(x)3(xx)(xx)f(x)的符號如下:2,由12可判斷不妨設(shè)1"""xx時,xxx時,xx時,f(x)f(x)f(x)>01122當(dāng)>0;當(dāng)<0;當(dāng)

因此x1是極大值點,x2是極小值點.,當(dāng)b=1時,不論a取何實數(shù),函數(shù)f(x)總有兩個不同的極值點。

題型四:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

/f1.如右圖:是f(x)的導(dǎo)函數(shù),(x)的圖象如右圖所示,則f(x)的圖象只可能是(D)

(A)(B)(C)(D)2.函數(shù)

642-4-2y642-4-2y642x-4-2y642y24-2-4xo24-2-4xyy13x4x1的圖像為3(A)

o24-2-4xo24-2-4

323.方程2x6x70在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為(B)

A、0B、1C、2D、3

題型五:利用單調(diào)性、極值、最值情況,求參數(shù)取值范圍

第4頁共10頁1f(x)x32ax23a2xb,0a1.31.設(shè)函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值.

(2)若當(dāng)x[a1,a2]時,恒有|f(x)|a,試確定a的取值范圍.

22xa,x23af(x)x4ax3a解:(1)=(x3a)(xa),令f(x)0得1列表如下:

x(-∞,a)a

(a,3a)3a+

0極大

(3a,+∞)-

f(x)f(x)

-0極小

∴f(x)在(a,3a)上單調(diào)遞增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上單調(diào)遞減

4f極小(x)ba33,x3a時,f極小(x)bxa時,

22f(x)x4ax3a(2)∵0a1,∴對稱軸x2aa1,

∴f(x)在[a+1,a+2]上單調(diào)遞減

(a1)24a(a1)3a22a1fmin(a2)24a(a2)3a24a4fMax∴,

|a|f|a,|fmin依題|f(x)|aMax即|2a1|a,|4a4|a

44a1[,1)解得5,又0a1∴a的取值范圍是5

22.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時都取得極值(1)求a、b的值與函

數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對x〔-1,2〕,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍。解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b

-由f(

21241-a+b=0-3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=2,b=-2

f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:

第5頁共10頁x22(-,-3)-302(-3,1)-1(1,+)f(x)+f(x)0+極大值極小值22所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-,-3)與(1,+),遞減區(qū)間是(-3,1)1222(2)f(x)=x3-2x2-2x+c,x〔-1,2〕,當(dāng)x=-3時,f(x)=27+c

為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值。要使f(x)c2(x〔-1,2〕)恒成立,只需c2f(2)=2+c,解得c-1或c2

題型六:利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

131.已知平面向量a=(3,-1).b=(2,2).

(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,x⊥y,

試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);

(2)據(jù)(1)的結(jié)論,討論關(guān)于t的方程f(t)-k=0的解的情況.

yxy解:(1)∵x⊥,∴=0即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0.

22整理后得-ka+[t-k(t2-3)]ab+(t2-3)b=0

122∵ab=0,a=4,b=1,∴上式化為-4k+t(t2-3)=0,即k=4t(t2-3)

11(2)討論方程4t(t2-3)-k=0的解的情況,可以看作曲線f(t)=4t(t2-3)與直線y=k的交點個

數(shù).

33于是f′(t)=4(t2-1)=4(t+1)(t-1).

令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時,f′(t)、f(t)的變化情況如下表:tf′(t)F(t)(-∞,-1)+-10極大值(-1,1)-10極小值(1,+∞)+1當(dāng)t=-1時,f(t)有極大值,f(t)極大值=2.

第6頁共10頁1當(dāng)t=1時,f(t)有極小值,f(t)極小值=-21函數(shù)f(t)=4t(t2-3)的圖象如圖13-2-1所示,

可觀察出:

11(1)當(dāng)k>2或k<-2時,方程f(t)-k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k=2或k=-2時,方程f(t)-k=0有兩解;11(3)當(dāng)-2<k<2時,方程f(t)-k=0有三解.

題型七:導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合

3a0,函數(shù)f(x)xax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).1.設(shè)

(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)設(shè)

x0≥1,f(x)≥1,且f(f(x0))x0,求證:f(x0)x0.

22f(x)1,yf(x)3xa,y0,即a3x,這解:(1)若在上是單調(diào)遞減函數(shù),則須

樣的實數(shù)a不存在.故f(x)在1,上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).

2若f(x)在1,上是單調(diào)遞增函數(shù),則a≤3x,

2x1,,故3x3.從而0

3f(x)(x2)(xa)22.已知a為實數(shù),函數(shù)

(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍(2)若f"(1)0,(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

(Ⅱ)證明對任意的

x1、x2(1,0),不等式

|f(x1)f(x2)|516恒成立

f(x)x3ax2解:

333xaf"(x)3x22ax22,2

函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線,f"(x)0有實數(shù)解

4a243

39330a2(,2][2,)22,所以a的取值范圍是22,

399310af"(x)3x2x3(x)(x1)24,222,11f"(x)0,1x2;由2

f"(1)0,

32a由f"(x)0,x1或

x11(,1),(,)(1,)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是22;單調(diào)減區(qū)間為

f(1)2514927f()f(0)8,f(x)的極小值為216,又82749m8,最小值16

2749581616

易知f(x)的最大值為

f(x)在[1,0]上的最大值

M對任意x1,x2(1,0),恒有

|f(x1)f(x2)|Mm

題型八:導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用

1.請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心o1的距離為多少時,帳篷的體積最大?解:設(shè)OO1為xm,則1x4

第8頁共10頁由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為:

32(x1)282xx2,(單位:m)

6故底面正六邊形的面積為:

333((82xx2)22282xx)=24,(單位:m)

帳篷的體積為:

V(x)1333(1612xx3)(82xx2)[(x1)1]3322(單位:m)

V"(x)求導(dǎo)得

3(123x2)2。

(x)0,解得x2(不合題意,舍去)令V",x2,(x)0,V(x)當(dāng)1x2時,V"為增函數(shù);(x)0,V(x)當(dāng)2x4時,V"為減函數(shù)。

∴當(dāng)x2時,V(x)最大。

3答:當(dāng)OO1為2m時,帳篷的體積最大,最大體積為163m。

2.統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量

y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/

y小時)的函數(shù)解析式可以表示為:

13x3x8(0x120).12800080

已知甲、乙兩地相距100千米。

(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?

1002.5x40解:(I)當(dāng)時,汽車從甲地到乙地行駛了40小時,

13(403408)2.517.580要耗沒128000(升)。

100(II)當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了x小時,設(shè)耗油量為h(x)升,131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),12800080x1280x4依題意得

x800x3803h"(x)2(0x120).2640x640x

第9頁共10頁

令h"(x)0,得x80.

當(dāng)x(0,80)時,h"(x)0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x(80,120)時,h"(x)0,h(x)是增函數(shù)。

當(dāng)x80時,h(x)取到極小值h(80)11.25.

因為h(x)在(0,120]上只有一個極值,所以它是最小值。

答:當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。

題型九:導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合

3113a(,),b(,).2222若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使1.設(shè)平面向量

xa(t2k)b,ysatb,且xy,

(1)求函數(shù)關(guān)系式Sf(t);

,上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。(2)若函數(shù)Sf(t)在1a(解:(1)

3113,),b(,).ab1,ab02222

又xy,xy0,得2ab0,(tk)(satb)2222即sa(ttk)b-(tstsk)ab0。s(t2k)t0,故s(ft)t3kt。

(2)

f(t)3t2k且f(t)在1,上是單調(diào)函數(shù),

0則在1,上有f(t)0或f(t)222f(t)03tk0k3tk(3t)mink3;由

22f(t)03tk0k3t由。

因為在t∈1,上3t是增函數(shù),所以不存在k,使k3t在1,上恒成立。故k的取值范

22圍是k3。

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